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1、精选优质文档-倾情为你奉上简单的线性规划问题与基本不等式作业及答案一、选择题：1.(2009福建高考)在平面直角坐标系中，若不等式组(a为常数)所表示的平面区域的面积等于2，则a的值为 ()A5 B1 C2 D3解析：不等式组所围成的区域如图所示则A(1,0)，B(0,1)，C(1,1a)且a1，SABC2，(1a)12，解得a3. 答案：D2已知D是由不等式组所确定的平面区域，则圆x2y24在区域D内的弧长为 ()A. B. C. D.解析：如图，l1、l2的斜率分别是k1，k2，不等式组表示的平面区域为阴影部分tanAOB1，AOB，弧长2. 答案：B3.(2009天津高考)设变量x、y满
2、足约束条件则目标函数z2x3y的 最小值为 ()A6 B7 C8 D23解析：约束条件 表示的平面区域如图易知过C(2,1)时，目标函数z2x3y取得最小值zmin22317. 答案：B4(2009陕西高考)若x，y满足约束条件目标函数zax2y仅在点(1,0)处取得最小值，则a的取值范围是 ()A(1,2) B(4,2) C(4,0 D(2,4)解析：可行域为ABC，如图当a0时，显然成立当a0时，直线ax2yz0的斜率kkAC1，a2.当a0时，kkAB2，a4. 综合得4a2.答案：B5.(2009湖北高考)在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇现有4辆甲型货车和8辆
3、乙型货车可供使用每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台若每辆车至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为 ()A2 000元 B2 200元 C2 400元 D2 800元解析：设需使用甲型货车x辆，乙型货车y辆，运输费用z元，根据题意，得线性约束条件求线性目标函数z400x300y的最小值解得当时，zmin2 200. 答案：B6(2009四川高考)某企业生产甲、乙两种产品已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨；生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元 .该企业在一个生产周期
4、内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨，那么该企业可获得最大利润是 ()A12万元 B20万元 C25万元 D27万元解析：设该企业生产甲产品为x吨，乙产品为y吨，则该企业可获得利润为z5x3y，且联立解得由图可知，最优解为P(3,4)， z的最大值为z533427(万元) 答案：D7.设x、y均为正实数，且1，则xy的最小值为 ()A4 B4 C9 D16解析：由1可得xy8xy. x，y均为正实数，xy8xy82(当且仅当xy时等号成立)， 即xy280，可解得4，即xy16，故xy的最小值为16. 答案：D8(2009天津高考)设a0，b0.若是3a与3b的等比中项，则的最小值为
5、()A8 B4 C1 D.解析：是3a与3b的等比中项，()23a3b. 即33ab，ab1.此时2()224(当且仅当ab取等号) 答案：B9已知不等式(xy)()9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为 ()A8 B6 C4 D2解析：(xy)()1aaa12 a2 1，当且仅当a等号成立， 所以()2219，即()2280，得2或4(舍)， 所以a4，即a的最小值为4.答案：C10设a、b是正实数， 以下不等式；a|ab|b；a2b24ab3b2；ab2恒成立的序号为 ()A B C D解析：a、b是正实数，ab21.当且仅当ab时取等号， 不恒成立；ab|ab|a|ab|b恒成
6、立；a2b24ab3b2(a2b)20，当a2b时，取等号，不恒成立；ab2 2 2恒成立 答案：D11.若a是b与b的等比中项，则的最大值为 ()A. B1 C. D.解析：a是b与b的等比中项， a22b2a2b22.根据基本不等式知1. 即的最大值为1. 答案：B12若a，b是正常数，ab，x，y(0，)，则，当且仅当时取等号利用以上结论，函数f(x)(x(0，)取得最小值时x的值为 ()A1 B. C2 D.解析：由得，f(x)25.当且仅当时取等号，即当x时f(x)取得最小值25. 答案：B二、填空题：13点(3,1)和(4,6)在直线3x2ya0的两侧，则a的取值范围是_解析：点(
7、3,1)和(4,6)在直线3x2ya0的两侧，说明将这两点坐标代入3x2ya后，符号相反，所以(92a)(1212a)0， 解之得7a24. 答案：(7,24)14. 设m为实数，若(x，y)|x2y225，则m的取值范围是_解析：由题意知，可行域应在圆内，如图：如果m0，则可行域取到x5的点，不能在圆内；故m0，即m0.当mxy0绕坐标原点旋转时，直线过B点时为边界位置此时m，m.0m. 答案：0m15(2010太原模拟)若直线axby20(a0，b0)和函数f(x)ax11(a0且a1)的图象恒过同一个定点，则当取最小值时，函数f(x)的解析式是_解析：函数f(x)ax11的图象恒过(1,
8、2)，故ab1，(ab)().当且仅当ba时取等号，将ba代入ab1得a22，故f(x)(22)x11.答案：f(x)(22)x1116已知关于x的不等式2x7在x(a，)上恒成立，则实数a的最小值为_解析：因为xa，所以2x2(xa)2a2 2a2a4，即2a47，所以a，即a的最小值为. 答案：三、解答题：17已知关于x、y的二元一次不等式组(1)求函数u3xy的最大值和最小值； (2)求函数zx2y2的最大值和最小值解：(1)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示由u3xy，得y3xu，得到斜率为3，在y轴上的截距为u，随u变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的C点时，截
9、距u最大，即u最小，解方程组得C(2,3)， umin3(2)39.当直线经过可行域上的B点时，截距u最小，即u最大，解方程组得B(2,1)， umax3215.u3xy的最大值是5，最小值是9.(2)作出二元一次不等式组表示的平面区域，如图所示由zx2y2，得yxz1，得到斜率为，在y轴上的截距为z1，随z变化的一组平行线，由图可知，当直线经过可行域上的A点时，截距z1最小，即z最小，解方程组得A(2，3)， zmin22(3)26.当直线与直线x2y4重合时，截距 z1最大，即z最大，zmax426.zx2y2的最大值是6，最小值是6.18某人上午7时乘摩托艇以匀速v km/h(4v20)
10、从A港出发到距50 km的B港去，然后乘汽车以匀速w km/h(30w100)自B港向距300 km的C市驶去应该在同一天下午4至9点到达C市设乘摩托艇、汽车去所需要的时间分别是x h、y h若所需的经费p1003(5y)2(8x)元，那么v、w分别为多少时，所需经费最少？并求出这时所花的经费解：依题意，考查z2x3y的最大值，作出可行域，平移直线2x3y0，当直线经过点(4,10)时，z取得最大值38.故当v12.5、w30时所需要经费最少，此时所花的经费为93元19已知a、b、c(0，)且abc1，求证：(1)(1)(1)8.证明：a、b、c(0，)且abc1，(1)(1)(1)8. 当且
11、仅当abc时取等号20某造纸厂拟建一座平面图形为矩形且面积为162平方米的三级污水处理池，池的深度一定(平面图如图所示)，如果池四周围墙建造单价为400元/米，中间两道隔墙建造单价为248元/米，池底建造单价为80元/米2，水池所有墙的厚度忽略不计(1)试设计污水处理池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价；(2)若由于地形限制，该池的长和宽都不能超过16米，试设计污水池的长和宽，使总造价最低，并求出最低总造价解：(1)设污水处理池的宽为x米，则长为米 则总造价f(x)400(2x)2482x801621 296x12 9601 296(x)12 9601 2962 12 96038 880
12、(元)，当且仅当x(x0)， 即x10时取等号当长为16.2米，宽为10米时总造价最低，最低总造价为38 880元(2)由限制条件知，10x16.设g(x)x(10x16)， 由函数性质易知g(x)在10，16上是增函数，当x10时(此时16)， g(x)有最小值，即f(x)有最小值1 296(10)12 96038 882(元)当长为16米，宽为10米时，总造价最低，为38 882元21.为了提高产品的年产量，某企业拟在2010年进行技术改革经调查测算，产品当年的产量x万件与投入技术改革费用m万元(m0)满足x3(k为常数)如果不搞技术改革，则该产品当年的产量只能是1万件已知2010年生产该
13、产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元由于市场行情较好，厂家生产的产品均能销售出去厂家将每件产品的销售价格定为每件产品生产成本的1.5倍(生产成本包括固定投入和再投入两部分资金)(1)将2010年该产品的利润y万元(利润销售金额生产成本技术改革费用)表示为技术改革费用m万元的函数；(2)该企业2010年的技术改革费用投入多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意可知，当m0时，x1(万件)，13k，k2，x3，每件产品的销售价格为1.5(元)，2010年的利润yx1.5(816x)m(m1)29(元)(m0)(2)m0，(m1)28，y29821，当m1，即m3，ymax21.该企业2010年的技术改革费用投入3万元时，厂家的利润最大专心-专注-专业