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1、1 / 16 经济数学基础期末复习第 1 章函数复习知识点 ：函数的概念、函数的奇偶性、复合函数、分段函数、基本初等函数和初等函数、经济分析中的几个常见函数、建立函数关系式复习要求 ：(1) 理解函数概念，掌握求函数定义域的方法，会求初等函数的定义域和函数值；(2) 了解复合函数概念，会对复合函数进行分解；(3) 了解分段函数概念，掌握求分段函数定义域和函数值的方法；(4) 知道初等函数的概念，理解常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数（正弦、余弦、正切和余切）的解读表达式、定义域、主要性质及图形；(5) 了解需求、供给、成本、平均成本、收入和利润函数的概念；下面我们来看例题例 1 设
2、1)(xxf，则)1)(xff=（）AxBx + 1Cx + 2Dx + 3解由于1)(xxf，得)1)(xff1) 1)(xf2)(xf将1)(xxf代入，得)1)(xff=32)1(xx正确答案： D 例 2 下列函数中，（）不是基本初等函数Axy)e1(B2ln xyCxxycossinD35xy解 因为2ln xy是由uyln，2xu复合组成的，所以它不是基本初等函数正确答案： B 例 3 设函数0, 00,cos)(xxxxf，则（）A)4(f=)4(f B)2()0(ff C)2()0(ffD)4(f=22解 因为02，故1)2cos()2(f且1)0(f， 所以)2()0(ff正
3、确答案： C 例 4 生产某种产品的固定成本为1 万元，每生产一个该产品所需费用为20 元，若该产品出售的单价为30 元，试求：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页2 / 16 (1) 生产x件该种产品的总成本和平均成本； (2) 售出x件该种产品的总收入； (3) 若生产的产品都能够售出，则生产x件该种产品的利润是多少？解 （1）生产x件该种产品的总成本为xxC2010000)(；平均成本为：2010000)(xxC（2）售出x件该种产品的总收入为：xxR30)(（3）生产x件该种产品的利润为：)()()(xCxR
4、xL=)2010000(30 xx=1000010 x第 2 章一元函数微分学复习知识点 ：极限的概念、无穷小量与无穷大量、极限的四则运算法则、两个重要极限、函数的连续性和间断点、导数的定义、导数的几何意义、导数基本公式和导数的四则运算法则、复合函数求导法则、高阶导数、微分的概念及运算法则复习要求 ： 了解极限概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等； 了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质； 掌握极限的四则运算法则，掌握两个重要极限，掌握求简单极限的常用方法； 了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，知道连续与极限；会判断
5、函数在某点的连续性； 理解导数定义，会求曲线的切线方程，知道可导与连续的关系； 熟练掌握导数基本公式、导数的四则运算法则、复合函数求导法则，掌握求简单的隐函数导数的方法； 知道微分的概念，会求函数的微分； 知道高阶导数概念，会求函数的二阶导数下面我们举一些例题复习本章的重点内容例 5 极限xxx1sinlim0解因为当0 x时，x是无穷小量，x1sin是有界变量故当0 x时，xx1sin仍然是无穷小量所以xxx1sinlim00正确答案： 0 例 6 若Axfxx)(lim0，则)(xf在点0 x处( ) A有定义 B没有定义 C极限存在 D有定义，且极限存在解函数在一点处有极限与函数在该点处
6、有无定义无关正确答案： C 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页3 / 16 例 7 当 k 时，001)(2xkxxxxf在0 x处仅仅是左连续解因为函数是左连续的，即)0(1) 1(lim)0(0fxfx若1)(lim)0(20kkxfx即当k1 时，)(xf在0 x不仅是左连续，而且是连续的所以，只有当1k时，)(xf在0 x仅仅是左连续的正确答案：1例 8 若4cos)(xf，则xxfxxfx)()(0lim（）A0 B22 C4sin D4sin解因为4cos)(xf是常数函数，常数函数是可导的，而且它的导
7、数是0所以由导数定义可得xxfxxfx)()(0lim)0(f= 0正确答案： A注意：这里的4cos)(xf不是余弦函数例 9 曲线xxy3在点（ 1，0）处的切线是（）A22xyB22xyC22xyD22xy解由导数的定义和它的几何意义可知，13)() 1(xxxy2)13(12xx是曲线xxy3在点（ 1，0）处的切线斜率，故切线方程是)1(20 xy，即22xy正确答案： A 例 10 已知441xy，则y=（） A.3x B.23x C.x6 D. 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页4 / 16 解
8、直接利用导数的公式计算：34)41(xxy,233)(xxy正确答案： B 例 11 计算下列极限（1）xxx33sin9lim0（2）1245lim224xxxxx（3）)1113(lim21xxxx（1）解对分子进行有理化，即分子、分母同乘33sin9x，然后利用第一重要极限和四则运算法则进行计算即xxx33sin9lim0=) 33sin9() 33sin9)(33sin9(lim0 xxxxx=33sin91lim3sinlim00 xxxxx=21613（2）解将分子、分母中的二次多项式分解因式，然后消去零因子，再用四则运算法则和连续函数定义进行计算即1245lim224xxxxx)
9、3)(4()1)(4(lim4xxxxx733414)3()1(lim4xxx（3）解先通分，然后消去零因子，再四则运算法则和连续函数定义进行计算即)1113(lim21xxxx=)1)(1()1()3(lim1xxxxx112lim1xx例 12 求下列导数或微分：（ 1）设)11)(1(xxy， 求dy（2）设xxyxsine，求yd（3）设121lncosxxy，求y（1）解因为) 11)(1(xxyxx1精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页5 / 16 且)1(xxy32121xx)11(21xxdyxxxd
10、)11 (21注意：求导数时，要先观察函数，看看能否将函数化简，若能，应将函数化简后再求导数，简化计算过程导数运算的重点是复合函数求导数，难点是复合函数求导数和隐函数求导数（2）解因为xxxxyxxsine2)sine(=xxxxxxxsine2cosesine1所以xxxxxxyyxxd)sine2)sin(cose1dd（ 3）解) ) 12ln(cosxxy122)(sinxxx122sin21xxx复合函数求导数要注意下面两步： 分清函数的复合步骤，明确所有的中间变量； 依照法则依次对中间变量直至自变量求导，再把相应的导数乘起来第 3 章导数的应用复习知识点 ：函数的单调性、函数的极值
11、和最大（小）值、导数在经济问题中的应用复习要求： 掌握函数单调性的判别方法，会求函数的单调区间； 了解函数极值的概念，知道函数极值存在的必要条件，掌握极值点的判别方法，知道函数的极值点与驻点的区别与联系，会求函数的极值； 了解边际概念和需求弹性概念，掌握求边际函数的方法； 熟练掌握求经济分析中的应用问题（如平均成本最低、收入最大和利润最大等）下面通过例题复习本章重点内容例 13 函数xxxfln)(的单调增加区间是解因为xxxxf11)ln()(令011)(xxf，得1x故函数的单调增加区间是), 1(正确答案：), 1(精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -
12、- - - - -第 5 页，共 16 页6 / 16 例 14 满足方程0)(xf的点是函数)(xfy的（） A极大值点 B极小值点 C驻点 D间断点解由驻点定义可知，正确答案：C例 15 下列结论中（）不正确 . A)(xf在0 xx处连续，则一定在0 x处可微 . B)(xf在0 xx处不连续，则一定在0 x处不可导 . C可导函数的极值点一定发生在其驻点上. D若)(xf在a，b内恒有0)(xf，则在 a，b内函数是单调下降的.解因为函数在一点处连续并不能保证在该点处可导，所以，正确答案：A 求经济分析中的最值问题是本课程的重点之一，要掌握利用函数的导数求经济问题中的平均成本最低、总收
13、入最大、总利润最大等问题的方法下面举一个求获得最大利润时的产量的应用问题，而其它两种类型的应用问题请大家自己练习例 16 生产某种产品q台时的边际成本10005.2)(qqC（元 / 台），固定成本500 元，若已知边际收入为,20002)(qqR试求（1）获得最大利润时的产量；（2）从最大利润的产量的基础再生产100 台，利润有何变化？解（1）CRL =)10005.2(20002qq =10005.0q令0L，求得唯一驻点2000q因为驻点唯一，且利润存在着最大值，所以当产量为 2000 时，可使利润达到最大（2）在利润最大的基础上再增加100 台，利润的改变量为21002000d)100
14、05. 0(qqL2500)100041(210020002qq即利润将减少2500 元第 4 章一元函数积分学复习知识点 ：原函数、不定积分和定积分概念、积分的性质、积分基本公式、第一换元积分法、分部积分法、无穷限积分复习要求 ： 理解原函数与不定积分概念，了解定积分概念，知道不定积分与导数（微分）之间的关系； 熟练掌握积分基本公式和直接积分法；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16 页7 / 16 掌握第一换元积分法（凑微分法）、分部积分法； 知道无穷限积分的收敛概念，会求简单的无穷限积分下面通过例题复习本章重点内容例
15、 17 如果f xxxc( )sind2，则)(xf=解 根据不定积分的性质可知f（x） =xcxxxf2cos2)2(sin)d)(且)(xf= xx2sin4)2cos2(正确答案：x2sin4例 18 设f x( )的一个原函数是e2x，则f x( )（）Ae2xB22exCx2e4D42ex解 因为f x( )的一个原函数是e2x，故f x( )（e2x)22ex所以正确答案：B 例 19 广义积分02dexx= 解 因为02dexx02xe21limaa)e1 (21lim2aa=21所以正确答案：21例 20 计算不定积分xxxd423解用第一换元积分法求之xxxd423=222d
16、421xxx =22)d441(21xx = cxx)4ln(2222例 21 计算定积分10dcosxxx解 用分部积分法求之精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页8 / 16 10dcosxxx=1010dsin1sin1xxxx =102cos1x=22例 22计算定积分xxdsin20解 因为，当x0时，0sin x，即xxsinsin；当2x时，0sin x，即xxsinsin；xxdsin20=xxxxd)sin(dsin20 =20coscosxx =1 + 1 + 1 + 1 = 4 第 5 章积分应用
17、复习知识点 ：积分的几何应用、积分在经济分析中的应用、常微分方程复习要求 ：(1) 熟练掌握用不定积分和定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量的方法；(2) 了解微分方程的几个概念，掌握简单的可分离变量的微分方程的解法，会求一阶线性微分方程的解用不定积分或定积分求总成本函数、收入函数和利润函数或其增量，一般出现在应用题中，而且常常与导数应用中求最值问题相联系，所以一定要综合应用所学的知识求解应用问题有关的例题，我们在第3 章中已经讲过，这里就不在举例了微分方程中的基本概念是指微分方程、阶、解（也就是通解、特解），线性微分方程等，这些概念大家要比较清楚的比如例 23 0e)(23yyx是
18、阶微分方程 解因为微分方程0e)(23yyx中所含未知函数的导数的最高阶数是2 次，所以它是 2 阶微分方程正确答案： 2例 24 微分方程yy的通解是y（）A .cx25 .0B.xceC.xceD.cyxe解用可分离变量法很容易求解，因此，正确答案：B例 25 求微分方程yxy2e满足初始条件0)0(y的特解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页9 / 16 解 将微分方程yxy2e变量分离，得xyxydede2，等式两边积分得cxy2e21e将初始条件0)0(y代入，得21c.所以满足初始条件的特解为：) 1(e
19、5.0e2xy第 6 章数据处理考核知识点：总体与样本、重要特征数复习要求 ：了解总体、样本、均值、加权平均数、方差、标准差、众数和中位数等概念，掌握它们的计算方法；例 26 设一组数据1x=0,2x=10,3x=20，其权数分别为1.01p,6.02p, 3. 03p，则这组数据的加权平均数是（）A . 12B. 10C. 6D. 4 解因为加权平均数是203.0106 .001.031iiixp = 12所以，正确答案：A第七章随机事件与概率复习知识点：随机事件与概率、事件的关系与运算、概率的加法公式与乘法公式、事件的独立性复习要求： 知道随机事件的概念，了解事件互不相容和对立事件等概念，
20、； 了解概率的概念及性质，会计算简单古典概型问题；了解条件概率概念，掌握概率的加法公式和乘法公式； 理解事件独立概念，掌握有关计算下面举几个例题来说明这一章的重点例 27. 对任意二事件AB,，等式（）成立A .P ABP A P B()()()B.P ABP AP B()()()C.P ABP AP B()()( )0D.P ABP A P B AP A()( )()( ()0解 由概率乘法公式可知，正确答案：D 例 28 掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3” 的概率是（）.A .361 B.181C.121D.111解两颗均匀的骰子的“点数之和”样本总数有6 6 =36 个，而“点数之和
21、为3” 的事件含精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页10 / 16 有： 1+2 和 2+1 两个样本，因此，该事件的概率为181正确答案： B 例 29假设事件BA,相互独立，已知6.0)(3.0)(BPAP，求事件BA与只有一个发生的概率解BA与只有一个发生的事件为：BABA，且BA与BA是互斥事件，于是)()()(BAPBAPBABAP =)()()()(BPAPBPAP =6.0)3.01 ()6.013.0（=54.0例 30已知7.0)( AP，3 .0)(BP，5.0)( BAP，求)(BAP解 因为B
22、AABA，且AB与BA是互斥事件，得)()()(BAPABPAP所以，)(BAP)()(BPABP)()()(BPBAPAP323 .05.07.0例 31有甲、乙两批种子，发芽率分别是0.85 和 0.75，在这两批种子中各随机取一粒，求至少有一粒发芽的概率. 解设 A 表示甲粒种子发芽，B 表示乙粒种子发芽，则A，B 独立，且P(A) = 0.15， P(B) = 0.25故至少有一粒发芽的概率为：P(A+B) = 1 - P(BA) =1 - P(BA)=1 - P(A)P(B)= 1 0.150.25 = 0.9625 例 32 已知事件A,B,C相互独立，试证)(BA与C相互独立 证
23、因为事件A,B,C相互独立，即)()()(CPAPACP，)()()(CPBPBCP且)()()()(ABCPBCPACPCBAP =)()()()()()()(CPBPAPCPBPCPAP =)()()()()(CPBPAPBPAP =)()(CPBAP所以)(BA与C相互独立精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页11 / 16 第 8 章随机变量与数字特征复习知识点：两类随机变量、常见分布（二项分布、泊松分布、均匀分布、正态分布）、期望与方差复习要求： 了解离散型和连续型随机变量的定义及其概率分布的性质； 了解随
24、机变量期望和方差的概念及性质，掌握其计算方法； 了解二项分布，记住它的期望与方差； 理解正态分布、标准正态分布，记住其期望与方差熟练掌握将正态分布化为标准正态分布的方法熟练掌握正态分布的概率计算问题将一般正态分布),(2NX化为标准正态分布)1,0( NY的公式：XY它们的概率计算公式：P aYbba()( )( )，P aXbba()()()下面举几个例子说明本章的重点：例 33 设随机变量X的概率分布为则 a = .解根据离散型随机变量的概率分布的性质：pkk1正确答案： 0.3 例 34 设),(pnBX，且6)(XE，6 .3)(XD，则 n = .解根据二项分布的期望和方差的定义：6
25、 .3)1()(,6)(pnpXDnpXE得 1- p = 0.6，p = 0.4，n = 15正确答案： 15 例 35 设随机变量X 的密度函数为03)2(3)(2xaxxf求 (1) 常数 a； (2)E X()解 (1) 根据密度函数的性质132d)2(3d)(axxxxf=33)2(ax= 1(a2)3 得 a=2 kx- 1 0 1 2 kp0.1 0.2 a 0.4 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页12 / 16 所以032)2(3)(2xxxf(2)E X()=-d)(xxxf=322d)2(3
26、xxx =32234)6443(xxx=74例 36 某类钢丝的抗拉强度服从均值为100 (kg/cm2)，标准差为5 (kg/cm2)的正态分布，求抗拉强度在90110 之间的概率(1) = 0.841 3, (2) = 0.977 2 ) 解 设钢丝的抗拉强度为X，则 XN（100，52），且) 1 ,0(5100NX.P(90X110) = )51001105100510090(XP = (2)-(- 2) = 2(2) - 1 = 0.954 4 第 9 章矩阵复习知识点：矩阵概念与矩阵的运算、特殊矩阵、矩阵的初等行变换与矩阵的秩、可逆矩阵与逆矩阵复习要求： 了解矩阵概念，理解矩阵可逆
27、与逆矩阵概念，知道矩阵可逆的条件，了解矩阵秩的概念； 熟练掌握矩阵的加法、数乘、乘法和转置等运算，掌握这几种运算的有关性质； 了解单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角形矩阵和对称矩阵的定义和性质 理解矩阵初等行变换的概念，熟练掌握用矩阵的初等行变换将矩阵化为阶梯形矩阵、行简化阶梯形矩阵，熟练掌握用矩阵的初等行变换求矩阵的秩、逆矩阵矩阵乘法是本章的重点之一，在复习矩阵乘法时，要注意：矩阵乘法不满足交换律，即ABBA一般不成立矩阵乘法不满足消去律，即由矩阵ACBC及矩阵C0，不能推出AB但当C可逆时，ACBCAB矩阵AB00,，可能有AB0下面举例说明本章的重点：例 37 设矩阵321A，I 是单位
28、矩阵，则IAAT _解 因为TA= 321，AAT321321 = 963642321所以IAAT=863632320正确答案：863632320精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页13 / 16 该例题说明，可转置矩阵不一定是方阵；如果矩阵运算TAA成立，A也不一定是方阵例 38 矩阵1321 0011000010001000的秩是（）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解 化成阶梯形矩阵后，有3 个非 0 行，故该矩阵的秩为3正确答案： C 例 39 设矩阵 A =022011，B =210321，计算 (
29、BA)-1解 因为BA=210321022011=2435 (BAI )=1024111110240135542011112521023101所以(BA)-1=252231例 40 设矩阵111103231A，求矩阵1A解因为100010001111103231IA101340013790001231101340211110001231943100211110632101100113010237001349精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页14 / 16 所以9437323111A例 41 设 A，B均为 n 阶
30、对称矩阵，则ABBA 也是对称矩阵证因为 A，B 是对称矩阵，即BBAATT，且TTT)()()(BAABBAABTTTTBAABABBABAAB根据对称矩阵的性质可知，ABBA 是对称矩阵第 10 章线性方程组复习知识点：线性方程组、消元法、线性方程组有解判定定理、线性方程组解的表示复习要求： 了解线性方程组的有关概念，熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解； 理解并熟练掌握线性方程组的有解判定定理非齐次线性方程组AX = b 的解的情况归纳如下：AX = b 有唯一解的充分必要条件是秩(A) = 秩(A) = n；AX = b 有无穷多解的充分必要条件是秩(A) = 秩(A) n；AX =
31、b 无解的充分必要条件是秩(A) 秩(A)相应的齐次线性方程组AX = 0 的解的情况为：AX = 0 只有零解的充分必要条件是秩(A) = n； AX = 0 有非零解的充分必要条件是秩(A) n下面用几个例来说明本章的重点：例 42 若线性方程组的增广矩阵为41221A，则当（）时线性方程组有无穷多解A1 B4 C2 D12解将增广矩阵化为阶梯形矩阵，41221A021021此线性方程组未知量的个数是2，若它有无穷多解，则其增广矩阵的秩应小于2，即021，从而12正确答案： D 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16
32、 页15 / 16 例 43 若非齐次线性方程组AmnX=b的 ( )，那么该方程组无解A秩 (A) nB秩 (A)m C秩 (A）秩 (A)D 秩 (A）= 秩(A) 解根据非齐次线性方程组解的判别定理，得AmnX=b 无解秩(A) 秩(A) 正确答案： C例 44 求下列解线性方程组的一般解0232022023432143214321xxxxxxxxxxxx解将系数矩阵化成阶梯形矩阵311031101231232121211231A010030108001020031108101因为，秩 (A)=3 4 ，所以，方程组有非零解一般解为03834241xxxxx(4x是自由未知量)例 45
33、设线性方程组212132123123123xxxxxxxxxc试问 c 为何值时，方程组有解？若方程组有解时，求一般解解13501350112123111211112Accc00013501121可见，当c = 0 时，秩 (A)= 秩(A)= 2 3 ，所以方程组有无穷多解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页16 / 16 0000515310535101A原方程组的一般解为323153515153xxxx（3x是自由未知量）精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页