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1、经济数学基础综合练习及参考答案第二部分积分学一、 单项选择题1在切线斜率为2x 的积分曲线族中，通过点（1, 4）的曲线为（）Ay = x2 + 3By = x2 + 4Cy = 2 x + 2Dy = 4 x2.若10d)2(xkx= 2，则 k =（）A1 B- 1 C0D213下列等式不成立的是（）A)d(edexxxB)d(cosdsinxxxCxxxdd21D)1d(dlnxxx4若cxxfx2ed)(，则)(xf=（）. A. 2exB.2e21xC.2e41xD.2e41x5.)d(exx（）AcxxeBcxxxeeCcxxeDcxxxee6.若cxxfxx11ede)(，则 f
2、 (x) =（）Ax1B-x1C21xD-21x7.若)(xF是)(xf的一个原函数，则下列等式成立的是( )A)(d)(xFxxfxaB)()(d)(aFxFxxfxaC)()(d)(afbfxxFbaD)()(d)(aFbFxxfba8下列定积分中积分值为0 的是（）Axxxd2ee11Bxxxd2ee11Cxxxd)cos(3Dxxxd)sin(29下列无穷积分中收敛的是（）A1dlnxxB0dexxC12d1xxD13d1xx10 设R(q)=100- 4q ， 若销售量由10单位减少到5单位， 则收入 R的改变量是（） A-550 B-350 C 350 D以上都不对11下列微分方程
3、中，（）是线性微分方程Ayyyxln2Bxxyyye2CyyxyeDxyyxyxlnesin12微分方程0)()(432xyyyy的阶是（）.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 6 页A . 4 B. 3 C. 2 D. 1 二、 填空题1xxded22函数xxf2sin)(的原函数是3若cxxxf2) 1(d)(，则)(xf.4若cxFxxf)(d)(，则xfxx)de(e= .5e12dx)1ln(ddxx. 61122d)1(xxx7无穷积分02d)1(1xx是（判别其敛散性）8设边际收入函数为R(q) = 2 + 3
4、 q，且 R (0) = 0，则平均收入函数为9.0e)(23yyx是阶微分方程 .10微分方程2xy的通解是三、计算题xxxd1sin22xxxd23xxxdsin4xxxd1)ln(5xxxd)e1(e3ln026xxxdlne172e11d1lnxxx8xxxd2cos209xxd) 1ln(1e010求微分方程12xxyy满足初始条件47)1(y的特解11求微分方程0e32yyxy满足初始条件3) 1(y的特解12求微分方程xxyyln满足11xy的特解 . 13求微分方程yyxylntan的通解14求微分方程xxyyxln的通解 . 15求微分方程yxy2的通解16求微分方程xxyy
5、xsin的通解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 6 页四、应用题1投产某产品的固定成本为36(万元 )，且边际成本为)(xC=2x + 40(万元 /百台 ).试求产量由 4 百台增至6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.2已知某产品的边际成本C(x)=2（元 /件），固定成本为0，边际收益R(x)=12- 0.02x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产50 件，利润将会发生什么变化？3生产某产品的边际成本为C(x)=8x(万元 /百台 )，边际收入为R(x)=100- 2x（万元
6、 /百台），其中x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2 百台，利润有什么变化？4已知某产品的边际成本为34)(xxC(万元 /百台 )，x 为产量 (百台 )，固定成本为18(万元 )，求最低平均成本. 5设生产某产品的总成本函数为xxC3)(万元 )，其中 x 为产量， 单位： 百吨 销售 x 百吨时的边际收入为xxR215)(（万元 /百吨），求：(1) 利润最大时的产量；(2) 在利润最大时的产量的基础上再生产1 百吨，利润会发生什么变化？试题答案一、 单项选择题1. A 2A 3. D 4. D 5. B 6. C 7. B 8. A 9. C 10. B 1
7、1. D 12. C 二、填空题1. xxde22. -21cos2x + c ( c 是任意常数 ) 3.)1(2 x4. cFx)e(5.06. 0 7. 收敛的8. 2 + q239. 2 10. cxy33三、计算题 解cxxxxxx1cos)1(d1sind1sin22解cxxxxxx22ln2)(d22d23解cxxxxxxxxxxs i nc o sdc o sc osdsi n4解xxxd1 ) l n(=xxxxxd1)(21ln1)(2122=cxxxxx4)ln2(2122精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页
8、，共 6 页5解xxxd)e1 (e3ln02=3ln02)ed(1)e1(xx= 3ln03)e1 (31x=3566解)(lnd2ln2)2(dlndlne1e1e1e1xxxxxxxxxe1e14e2d2e2xxxe24d2e2e1xx7解xxxdln112e1=)lnd(1ln112e1xx=2e1ln12x=)13(28解xxxd2c o s20=202sin21xx-xxd2sin2120=202cos41x=219解法一xxxxxxxd1) 1l n (d)1l n (1e01e01e0=xxd )111 (1e1e0=1e0)1ln(1exxeln=1 解法二令1xu，则uuu
9、uuuuxxd1lndlnd)1ln(e1e1e11e0=11eeee1u10解因为xxP1)(，1)(2xxQ用公式d1) e(ed12d1cxxyxxxxd1 ) e(eln2lncxxxxxcxxcxxx24241324由4712141)1(3cy， 得1c所以，特解为xxxy124311解将方程分离变量：xyyxydede32等式两端积分得cxy3e31e212将初始条件3) 1(y代入，得c33e31e21，c =3e61所以，特解为：33ee2e32xy12解：方程两端乘以x1，得精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，
10、共 6 页xxxyxyln2即xxxyln)(两边求积分，得cxxxxxxxy2l n)( l ndl ndl n2通解为：cxxxy2ln2由11xy，得1c所以，满足初始条件的特解为：xxxy2ln213解将原方程分离变量xxyyydc o tlnd两端积分得lnlny = lnC sinx通解为y = eC sinx14. 解将原方程化为：xyxyln11，它是一阶线性微分方程，xxP1)(，xxQln1)(用公式()d( )de( )edP xxP xxyQ xxcdeln1ed1d1cxxxxxxdeln1elnlncxxxxdln1cxxxx)ln(lncxx15解在微分方程yxy
11、2中，xxQxP2)(,1)(由通解公式)de2(e)de2(eddcxxcxxyxxxx)e2e2(e)de2e2(ecxcxxxxxxxx)e22(xcx16解：因为xxP1)(，xxQsin)(，由通解公式得)desin(ed1d1cxxyxxxx=)desin(elnlncxxxx=)dsin(1cxxxx=)sincos(1cxxxx四、应用题1解当产量由4 百台增至6 百台时，总成本的增量为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 6 页64d)402(xxC=642)40(xx= 100（万元）又xcxxCxCx00
12、d)()(=xxx36402=xx3640令0361)(2xxC， 解得6x.x = 6 是惟一的驻点， 而该问题确实存在使平均成本达到最小的值. 所以产量为6 百台时可使平均成本达到最小.2解因为边际利润)()()(xCxRxL=12- 0.02x 2 = 10- 0.02x令)(xL= 0，得 x = 500 x = 500 是惟一驻点，而该问题确实存在最大值.所以，当产量为500 件时，利润最大. 当产量由 500 件增加至 550 件时，利润改变量为5505002550500)01.010(d)02. 010(xxxxL=500 - 525 = - 25 （元）即利润将减少25 元.
13、3.解L(x) =R(x) -C(x) = (100 2x) 8x =100 10 x令L(x)=0, 得 x = 10（百台）又 x = 10 是 L(x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x = 10 是 L(x)的最大值点，即当产量为 10（百台）时，利润最大.又xxxxLLd)10100(d)(1210121020)5100(12102xx即从利润最大时的产量再生产2百台，利润将减少20 万元 .4解：因为总成本函数为xxxCd)34()(=cxx322当 x = 0 时， C(0) = 18，得c =18 即C(x)=18322xx又平均成本函数为xxxxCxA1832)()(令0
14、182)(2xxA， 解得 x = 3 (百台 ) 该题确实存在使平均成本最低的产量. 所以当 x = 3 时，平均成本最低.最底平均成本为9318332)3(A(万元 /百台 ) 5解： (1) 因为边际成本为1)(xC，边际利润)()()(xCxRxL= 14 2x令0)(xL，得 x = 7 由该题实际意义可知，x = 7 为利润函数L(x)的极大值点， 也是最大值点.因此， 当产量为7百吨时利润最大.(2) 当产量由7 百吨增加至8 百吨时，利润改变量为87287)14(d)214(xxxxL=112 64 98 + 49 = - 1 （万元）即利润将减少1 万元 .精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 6 页