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1、经济数学基础综合练习及参考答案经济数学基础综合练习及参考答案第二部分第二部分积分学积分学一、一、单项选择题单项选择题1 1在切线斜率为在切线斜率为 2 2x x 的积分曲线族中，通过点（的积分曲线族中，通过点（1,41,4）的曲线为（）的曲线为（）A Ay y=x x2 2+3+3B By y=x x2 2+4+4C Cy y=2=2x x+2+2D Dy y=4=4x x2 2.若若(2x k)dx=2=2，则，则 k k=（）01A A1 1B B-1 1C C0 0D D3 3下列等式不成立的是（下列等式不成立的是（）A Aexdx d(ex)B Bsinxdx d(cosx)C C12
2、1dx d xD Dln xdx d()x2 x14 4若若f(x)dx ex2x2 c，则，则f(x)=（）.xxx111A A.eB B.e2C C.e2D D.e2244x5 5.xd(e)（）A Axe6 6.若若A AxcB Bxex ex c1x1xC C xexcD Dxexex cf(x)e dx e c，则，则 f f(x x)=)=（）1111B B-C C2D D-2xxxx7 7.若若F(x)是是f(x)的一个原函数，则下列等式成立的是的一个原函数，则下列等式成立的是()A AC Cxabf(x)dx F(x)B Bf(x)dx F(x)F(a)axaF(x)dx f(
3、b)f(a)D Df(x)dx F(b)F(a)ab8 8下列定积分中积分值为下列定积分中积分值为 0 0 的是（的是（）xx1e eexexdxB BdxA A11221C C(x3cosx)dxD D(x2sinx)dx9 9下列无穷积分中收敛的是（下列无穷积分中收敛的是（）A A1lnxdxB B0exdxC C111dxdxD D231xx1010设设R(q q)=100)=100-4 4q q，若销售量由，若销售量由 1010 单位减少到单位减少到 5 5 单位，则收入单位，则收入 R R 的改变量是的改变量是（）A A-550-550B B-350-350C C350350D D以
4、上都不对以上都不对1111下列微分方程中，（下列微分方程中，（）是线性微分方程）是线性微分方程2A Ayx lny yyB Byy xy ex2xC Cy xy eD Dysin x ye ylnx1212微分方程微分方程(y)2 y(y)3 xy4 0的阶是（的阶是（）.A A.4.4B B.3.3C C.2.2D D.1 1二、二、填空题填空题x1 1d edx 22 2函数函数f(x)sin2x的原函数是的原函数是4 4若若f(x)dx F(x)c，则，则e3 3若若f(x)dx (x 1)2 c，则，则f(x).xf(ex)dx=.deln(x21)dx.5 5dx11xdx 6 61
5、(x21)21dx是是7 7无穷积分无穷积分（判别其敛散性）（判别其敛散性）0(x 1)28 8设边际收入函数为设边际收入函数为R(q q)=2+3)=2+3q q，且，且 R R(0)=0(0)=0，则平均收入函数为，则平均收入函数为9 9.(y)3e2xy 0是是阶微分方程阶微分方程.1010微分方程微分方程y x2的通解是的通解是三、计算题三、计算题12xdxx2dx2 2xx3 3xsin xdx4 4(x 1)lnxdxsin5 57 79 9ln30e21e(1e)dx6 6xx2e1ln xxdx1dx8 82xcos2xdx0 x 1ln xe10ln(x 1)dxy7 x21
6、满足初始条件满足初始条件y(1)的特解的特解x42ey 3x1111求微分方程求微分方程y 0满足初始条件满足初始条件y(1)3的特解的特解yy1212求微分方程求微分方程y ln x满足满足yx11的特解的特解.x1313求微分方程求微分方程ytanx yln y的通解的通解x1414求微分方程求微分方程xy y 的通解的通解.ln x1515求微分方程求微分方程y 2x y的通解的通解1616求微分方程求微分方程xy y xsin x的通解的通解1010求微分方程求微分方程y四、应用题四、应用题1 1投产某产品的固定成本为投产某产品的固定成本为 36(36(万元万元)，且边际成本为且边际成
7、本为C(x)=2=2x x+40(+40(万元万元/百台百台).试求试求产量由产量由 4 4 百台增至百台增至 6 6 百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低百台时总成本的增量，及产量为多少时，可使平均成本达到最低.2 2 已知某产品的边际成本已知某产品的边际成本C(x x)=2)=2（元（元/件）件），固定成本为固定成本为 0 0，边际收益边际收益R(x x)=12)=12-0.020.02x x，问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产问产量为多少时利润最大？在最大利润产量的基础上再生产 5050 件，利润将会发生什么变件，利润将会发生什么变化？化？3 3生产
8、某产品的边际成本为生产某产品的边际成本为C(x x)=8)=8x x(万元万元/百台百台)，边际收入为，边际收入为R(x x)=100)=100-2 2x x（万元（万元/百台），其中百台），其中 x x 为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产为产量，问产量为多少时，利润最大？从利润最大时的产量再生产2 2 百台，百台，利润有什么变化？利润有什么变化？4 4已知某产品的边际成本为已知某产品的边际成本为C(x)4x 3(万元万元/百台百台)，x x 为产量为产量(百台百台)，固定成本为，固定成本为18(18(万元万元)，求最低平均成本，求最低平均成本.5 5 设生产某产品的总
9、成本函数为设生产某产品的总成本函数为C(x)3 x(万元万元)，其中其中 x x 为产量，为产量，单位：单位：百吨百吨 销销售售 x x 百吨时的边际收入为百吨时的边际收入为R(x)15 2x（万元（万元/百吨），求：百吨），求：(1)(1)利润最大时的产量；利润最大时的产量；(2)(2)在利润最大时的产量的基础上再生产在利润最大时的产量的基础上再生产1 1 百吨，利润会发生什么变化？百吨，利润会发生什么变化？试题答案试题答案一、一、单单项选择题项选择题1 1.A A2 2A A3 3.D D4 4.D D5 5.B B6 6.C C7 7.B B8 8.A A9 9.C C1010.B B1
10、111.D D1212.C C二、填空题二、填空题1x-cos2cos2x x+c c(c c 是任意常数是任意常数)3.)3.2(x 1)4.4.F(e)c5.5.dx2 2.23x3 c0 06 6.0 0 7.7.收敛的收敛的8 8.2+.2+q9 9.2 21010.y 231 1.ex2三、计算题三、计算题1111 解解2xdx sind()coscxxxx2xdx22 2解解 22xd(x)2xcln2x3 3解解xsin xdx xcos x cos xdx xcos x sin x csin11(x 1)22dx4 4解解(x 1)lnxdx=(x 1)lnx 22x12x2
11、x c=(x 2x)lnx 245 5解解ln30e(1e)dx=ln xxe1xx2ln301(1e)d(1e)=(1ex)33x2xee11ln30=5636 6解解e1dx ln xd(2 x)2 x ln x2 xd(ln x)2 e 2 e e1e12x2x1dx 2 e 4 x1edx 4 2 ed(1lnx)=2 1lnxe217 7解解e21x 1 ln x1dx=e211ln x=2(3 1)1112122sin2xdx=cos2x=xcos2xdx=-xsin2x0224020e1e1xe11e1dx=e1(1)dx9 9解法一解法一ln(x 1)dx xln(x 1)00
12、00 x 1x 18 8解解20=e 1x ln(x 1)解法二解法二令令u x 1，则，则e10lne=1=1e10ee1ee e e 11ln(x 1)dx lnudu ulnu1u du=e u111u1010解解因为因为P(x)用公式用公式y e1，Q(x)x21x(x 1)e2xdx1xdx1dx c elnx(x21)elnxdx c1 x4x2x3xc c x4242x131c7，得得c 1由由y(1)4214x3x1所以，特解为所以，特解为y 42x1111解解将方程分离变量：将方程分离变量：yeydy e3xdx等式两端积分得等式两端积分得21y21e e3x c231311
13、e e3 c，c c=e3236将初始条件将初始条件y(1)3代入，得代入，得所以，特解为：所以，特解为：3ey2 2e3xe31，得，得x1212解：方程两端乘以解：方程两端乘以yyln xxx2x即即ln xxyln xln2xdx ln xd(ln x)c两边求积分，得两边求积分，得xx2xln2x cx通解为：通解为：y 2由由yx11，得，得c 1()yxxln2x x所以，满足初始条件的特解为：所以，满足初始条件的特解为：y 21313解解将原方程分离变量将原方程分离变量dy cot xdxyln y两端积分得两端积分得lnlnlnlny y=ln=lnC C sinsinx x通
14、解为通解为y y=e=eC C sinsinx x11y，它是一阶线性微分方程，它是一阶线性微分方程，xln x11P(x)，Q(x)xln x11dxdxP(x)dxP(x)dx1exdx c用公式用公式y eQ(x)edxc exln x1ln x1lnxedx c xdx c eln xxln x x(lnln x c)1515解解 在微分方程在微分方程y 2x y中，中，P(x)1,Q(x)2x1414.解解将原方程化为：将原方程化为：y由通解公式由通解公式y edx(2xedx c)ex(2xexdx c)dx ex(2xex 2exdx c)ex(2xex 2ex c)(2x 2c
15、ex)11616解：因为解：因为P(x)，Q(x)sin x，由通解公式得，由通解公式得xy 1dxex(lnxsin xexdx1dx c)=e1(sin xelnxdx c)=(xsin xdx c)x1=(xcosx sin x c)x四、应用题四、应用题1 1解解当产量由当产量由 4 4 百台增至百台增至 6 6 百台时，总成本的增量为百台时，总成本的增量为C x0(2x40)dx=(x4062 40 x)=100=100（万元）（万元）46C(x)dx c又又C(x)x36令令C(x)1 0，解得解得x 6.2xx2 40 x 3636=x 40 xxx x=6=6 是惟一的驻点，是
16、惟一的驻点，而该问题确实存在使平均成本达到最小的值而该问题确实存在使平均成本达到最小的值.所以产量为所以产量为 6 6 百台时可百台时可使平均成本达到最小使平均成本达到最小.2 2解解因为边际利润因为边际利润L(x)R(x)C(x)=12=12-0.020.02x x 2=102=10-0.020.02x x令令L(x)=0=0，得，得 x x=500=500 x x=500=500 是惟一驻点，而该问题确实存在最大值是惟一驻点，而该问题确实存在最大值.所以，当产量为所以，当产量为 500500 件时，利润最大件时，利润最大.当产量由当产量由 500500 件增加至件增加至 550550 件时
17、，利润改变量为件时，利润改变量为L 550500(100.02x)dx (10 x 0.01x)2550500=500=500-525=525=-25 25（元）（元）即利润将减少即利润将减少 2525 元元.3 3.解解L(x x)=)=R(x x)-C(x x)=(100)=(100 2 2x x)8 8x x=100=100 10 10 x x令令L(x x)=0,)=0,得得 x x=10=10（百台）（百台）又又 x x=10=10 是是 L L(x x)的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故的唯一驻点，该问题确实存在最大值，故x x=10=10 是是 L L(x x)的最大值点，即当
18、的最大值点，即当产量为产量为 1010（百台）时，利润最大（百台）时，利润最大.又又L 1210L(x)dx(10010 x)dx(100 x 5x2)10121210 20即从利润最大时的产量再生产即从利润最大时的产量再生产 2 2 百台，利润将减少百台，利润将减少 2020 万元万元.4 4解：因为总成本函数为解：因为总成本函数为2C(x)(4x 3)dx=2x 3x c当当 x x=0=0 时，时，C C(0)=18(0)=18，得，得 c c=18=18即即C C(x x)=)=2x 3x 18又平均成本函数为又平均成本函数为A(x)令令A(x)22C(x)18 2x 3xx18 0，
19、解得解得 x x=3(=3(百台百台)x2该题确实存在使平均成本最低的产量该题确实存在使平均成本最低的产量.所以当所以当 x x=3=3 时，平均成本最低时，平均成本最低.最底平均成本为最底平均成本为18 9(万元万元/百台百台)35 5解：解：(1)(1)因为边际成本为因为边际成本为C(x)1，边际利润，边际利润L(x)R(x)C(x)=14=14 2 2x x令令L(x)0，得，得 x x=7=7A(3)233由该题实际意义可知，由该题实际意义可知，x x=7=7 为利润函数为利润函数 L L(x x)的极大值点，也是最大值点的极大值点，也是最大值点.因此，当产量为因此，当产量为7 7 百吨时利润最大百吨时利润最大.(2)(2)当产量由当产量由 7 7 百吨增加至百吨增加至 8 8 百吨时，利润改变量为百吨时，利润改变量为L 87(142x)dx (14x x2)=112=112 64 64 98+49 98+49=-1 1（万元）（万元）78即利润将减少即利润将减少 1 1 万元万元.