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1、第五章机械能知识网络：单元切块：按照考纲的要求，本章内容可以分成四个单元，即：功和功率；动能、势能、动能定理；机械能守恒定律及其应用；功能关系动量能量综合。 其中重点是对动能定理、机械能守恒定律的理解，能够熟练运用动能定理、机械能守恒定律分析解决力学问题。难点是动量能量综合应用问题。1 功和功率教学目标：理解功和功率的概念， 会计算有关功和功率的问题培养学生分析问题的基本方法和基本技能教学重点： 功和功率的概念教学难点： 功和功率的计算教学方法： 讲练结合，计算机辅助教学教学过程：一、功1功功是力的空间积累效应。它和位移相对应 （也和时间相对应） 。计算功的方法有两种：精选学习资料 - - -
2、 - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 46 页（1）按照定义求功。即：W=Fscos 。 在高中阶段，这种方法只适用于恒力做功。当20时 F做正功，当2时 F不做功，当2时 F做负功。这种方法也可以说成是：功等于恒力和沿该恒力方向上的位移的乘积。（2）用动能定理W=Ek或功能关系求功。当F 为变力时，高中阶段往往考虑用这种方法求功。 这里求得的功是该过程中外力对物体做的总功（或者说是合外力做的功）。这种方法的依据是：做功的过程就是能量转化的过程，功是能的转化的量度。如果知道某一过程中能量转化的数值，那么也就知道了该过程中对应的功的数值。【例 1】如图
3、所示， 质量为 m 的小球用长L 的细线悬挂而静止在竖直位置。在下列三种情况下，分别用水平拉力F将小球拉到细线与竖直方向成角的位置。在此过程中，拉力 F做的功各是多少？用 F缓慢地拉；F为恒力；若 F为恒力，而且拉到该位置时小球的速度刚好为零。可供选择的答案有A.cosFLB.sinFLC.cos1FLD.cos1mgL解析：若用 F缓慢地拉，则显然F为变力，只能用动能定理求解。F做的功等于该过程克服重力做的功。选D 若 F为恒力，则可以直接按定义求功。选B 若 F为恒力， 而且拉到该位置时小球的速度刚好为零，那么按定义直接求功和按动能定理求功都是正确的。选B、 D 在第三种情况下，由sinF
4、L=cos1mgL，可以得到2tansincos1mgF，可见在摆角为2时小球的速度最大。实际上，因为F与 mg 的合力也是恒力，而绳的拉力始终不做功，所以其效果相当于一个摆，我们可以把这样的装置叫做“歪摆”。【例 2】如图所示，线拴小球在光滑水平面上做匀速圆周运动，圆的半径是1m，球的质量是0.1kg，线速度 v=1m/s，小球由 A 点运动到B 点恰好是半个圆周。那么在这段运动中线的拉力做的功是（）m 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 46 页A0 B 0.1J C 0.314J D无法确定解析： 小球做匀速圆周运动，
5、线的拉力为小球做圆周运动的向心力，由于它总是与运动方向垂直，所以，这个力不做功。故A 是正确的。【例 3】下面列举的哪几种情况下所做的功是零（）A卫星做匀速圆周运动，地球引力对卫星做的功B平抛运动中，重力对物体做的功C举重运动员，扛着杠铃在头上的上方停留10s，运动员对杠铃做的功D木块在粗糙水平面上滑动，支持力对木块做的功解析： 引力作为卫星做圆周运动的向心力，向心力与卫星运动速度方向垂直，所以，这个力不做功。 杠铃在此时间内位移为零。支持力与位移方向垂直，所以， 支持力不做功。故 A、C、D 是正确的。【例 4】用力将重物竖直提起，先是从静止开始匀加速上升，紧接着匀速上升。如果前后两过程的运
6、动时间相同，不计空气阻力，则（）A加速过程中拉力做的功比匀速过程中拉力做的功大B匀速过程中拉力做的功比加速过程中拉力做的功大C两过程中拉力做的功一样大D上述三种情况都有可能解析： 应先分别求出两过程中拉力做的功，再进行比较。 重物在竖直方向上仅受两个力作用，重力mg、拉力 F。匀加速提升重物时，设拉力为F1，物体向上的加速度为a，根据牛顿第二定律得 F1-mg=ma拉力 F1所做的功211121)(atagmsFW2)(21atagm匀速提升重物时，设拉力为F2，根据平衡条件得F2=mg匀速运动的位移22attatvts精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -
7、 - - - -第 3 页，共 46 页所以匀速提升重物时拉力的功2222mgatsFW比较、式知：当ag 时，21WW；当 a=g 时，21WW；当 ag 时，21WW故 D选项正确。点评： 可见，力对物体所做的功的多少，只决定于力、位移、力和位移间夹角的大小，而跟物体的运动状态无关。在一定的条件下， 物体做匀加速运动时力对物体所做的功，可以大于、等于或小于物体做匀速直线运动时该力的功。2功的物理含义关于功我们不仅要从定义式W=Fs cos 进行理解和计算，还应理解它的物理含义功是能量转化的量度，即：做功的过程是能量的一个转化过程，这个过程做了多少功，就有多少能量发生了转化对物体做正功，物体
8、的能量增加做了多少正功，物体的能量就增加了多少；对物体做负功，也称物体克服阻力做功，物体的能量减少，做了多少负功， 物体的能量就减少多少因此功的正、 负表示能的转化情况，表示物体是输入了能量还是输出了能量【例 5】质量为m 的物体，受水平力F 的作用，在粗糙的水平面上运动，下列说法中正确的是（）A如果物体做加速直线运动，F一定做正功B如果物体做减速直线运动，F一定做负功C如果物体做减速直线运动，F可能做正功D如果物体做匀速直线运动，F 一定做正功解析： 物体在粗糙水平面上运动，它必将受到滑动摩擦力，其方向和物体相对水平面的运动方向相反。当物体做加速运动时，其力 F方向必与物体运动方向夹锐角（含
9、方向相同） ，这样才能使加速度方向与物体运动的方向相同。此时，力F 与物体位移的方向夹锐角，所以，力F对物体做正功，A 对。当物体做减速运动时，力 F 的方向可以与物体的运动方向夹锐角也可以夹钝角（含方向相反），只要物体所受合力与物体运动方向相反即可，可见，物体做减速运动时，力F可能对物体做正功，也可能对物体做负功，B错， C对。当物体做匀速运动时，力 F 的方向必与滑动摩擦力的方向相反，即与物体位移方向相同，所以，力F做正功， D 对。故 A、C、D 是正确的。【例 6】如图所示，均匀长直木板长L=40cm，放在水平桌面上，它的右端与桌边相齐，木板质量m=2kg，与桌面间的摩擦因数 =0.2
10、，今用水平推力F将其推下桌子，则水精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 46 页平推力至少做功为（） （g 取 10/s2）A0.8J B1.6J C8J D4J解析：将木板推下桌子即木块的重心要通过桌子边缘，水平推力做的功至少等于克服滑动摩擦力做的功，8.024.0202.02LmgFsWJ。故 A 是正确的。3一对作用力和反作用力做功的特点（1）一对作用力和反作用力在同一段时间内，可以都做正功、或者都做负功，或者一个做正功、一个做负功，或者都不做功。（2）一对作用力和反作用力在同一段时间内做的总功可能为正、可能为负、也可能
11、为零。（3）一对互为作用反作用的摩擦力做的总功可能为零（静摩擦力）、可能为负（滑动摩擦力），但不可能为正。点评： 一对作用力和反作用力在同一段时间内的冲量一定大小相等，方向相反，矢量和为零。【例 7】 关于力对物体做功，以下说法正确的是（）A一对作用力和反作用力在相同时间内做的功一定大小相等，正负相反B不论怎样的力对物体做功，都可以用W=FscosC合外力对物体不作功，物体必定做匀速直线运动D滑动摩擦力和静摩擦力都可以对物体做正功或负功解析： 一对作用力和反作用力一定大小相等、方向相反， 而相互作用的两物体所发生的位移不一定相等，它们所做的功不一定大小相等，所以，它们所做的功不一定大小相等，正
12、负相反。 公式 W=Fs cos，只适用于恒力功的计算。合外力不做功， 物体可以处于静止。滑动摩擦力、 静摩擦力都可以做正功或负功，如：在一加速行驶的卡车上的箱子，若箱子在车上打滑（有相对运动），箱子受滑动摩擦力，此力对箱子做正功；若箱子不打滑（无相对运动），箱子受静摩擦力，对箱子也做正功。故D 是正确的。二、功率功率是描述做功快慢的物理量。（1）功率的定义式：tWP，所求出的功率是时间t 内的平均功率。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 46 页（2）功率的计算式：P=Fvcos，其中 是力与速度间的夹角。该公式有两种用法
13、：求某一时刻的瞬时功率。这时F 是该时刻的作用力大小，v 取瞬时值，对应的 P为 F在该时刻的瞬时功率；当 v 为某段位移（时间）内的平均速度时，则要求这段位移（时间）内F必须为恒力，对应的P为 F在该段时间内的平均功率。重力的功率可表示为PG=mgvy，即重力的瞬时功率等于重力和物体在该时刻的竖直分速度之积。汽车的两种加速问题。当汽车从静止开始沿水平面加速运动时，有两种不同的加速过程，但分析时采用的基本公式都是 P=Fv 和 F-f = ma恒定功率的加速。由公式P=Fv 和 F-f=ma 知，由于P恒定，随着v 的增大， F 必将减小， a 也必将减小，汽车做加速度不断减小的加速运动，直到
14、F=f，a=0，这时 v 达到最大值fPFPvmmm。可见恒定功率的加速一定不是匀加速。这种加速过程发动机做的功只能用 W=Pt 计算，不能用W=Fs计算（因为F为变力）。恒定牵引力的加速。由公式P=Fv 和 F-f=ma 知，由于 F恒定，所以a 恒定，汽车做匀加速运动，而随着v 的增大， P 也将不断增大，直到P 达到额定功率Pm，功率不能再增大了。这时匀加速运动结束，其最大速度为mmmmvfPFPv，此后汽车要想继续加速就只能做恒定功率的变加速运动了。可见恒定牵引力的加速时功率一定不恒定。这种加速过程发动机做的功只能用W=F s 计算，不能用W=P t 计算（因为P为变功率）。要注意两种
15、加速运动过程的最大速度的区别。【例 8】质量为 2t 的农用汽车，发动机额定功率为30kW，汽车在水平路面行驶时能达到的最大时速为54km/h 。若汽车以额定功率从静止开始加速，当其速度达到v=36km/h 时的瞬时加速度是多大？解析： 汽车在水平路面行驶达到最大速度时牵引力F等于阻力f，即 Pm=f vm，而速度为 v 时的牵引力F=Pm/v，再利用F-f=ma，可以求得这时的a=0.50m/s2【例 9】卡车在平直公路上从静止开始加速行驶，经时间t 前进距离s，速度达到最大值 vm。设此过程中发动机功率恒为P，卡车所受阻力为f，则这段时间内，发动机所做的功为（）APt B fs CPt=f
16、s Dfvmt解析： 发动机所做的功是指牵引力的功。由于卡车以恒定功率运动，所以发动机所做的功应等于发动机的功率乘以卡车行驶的时间，A 对。 B项给出的是卡车克服阻力做的功，在这段时间内，牵引力的功除了克服阻力做功外还要增加卡车的功能，B 错。 C项给出的是卡车所受外力的总功。D 项中， 卡车以恒功率前进，将做加速度逐渐减小的加速v a f 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 46 页运动，达到最大速度时牵引力等于阻力，阻力f 乘以最大速度mv是发动机的功率，再乘以 t 恰是发动机在t 时间内做的功。故A D是正确的。【例
17、10】质量为m、额定功率为P 的汽车在平直公路上行驶。若汽车行驶时所受阻力大小不变，并以额定功率行驶，汽车最大速度为v1，当汽车以速率v2（v2t2，21PP5C由速度一时间图像可得加速度a=0.5m/s2由牛顿第二定律：2F-mg=ma5.102mamgFNP=Fv=10.522=42WWtFstWp214425 .10故选项 C正确。6C 飞机匀速飞行时，发动机牵引力等于飞机所受阻力，当飞机飞行速度为原来的2 倍时， 阻力为原来的4 倍，发动机产生的牵引力亦为原来的4 倍，由 P=Fv ，此时发动机的功率为原来的8 倍。7解：设物体质量为m，受恒力F1时， F1 ma1则 a1 F1m经
18、t 时间的位移mtFtas/21212121此时速度mtFtav/11，之后受恒力2F向左，与 v 方向相反，则物体做匀减速直线运动： F2ma2，加速度a2F2m，经 t 时间又回到原出发点，此过程位移为s，方向向左，则力2F做正功。因位移与v 的方向相反，则有2221tavts精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 46 页即tmtFtmFvttas122222121与式联立可得123FF，则力 F2做的功123WW。所以3121WW8解：在功的定义式W=Fscos中，s 是指力 F的作用点的位移。当物块从 A 点运动到
19、B 点时，连接物块的绳子在定滑轮左侧的长度变小，sinsinHHs，由于绳不能伸缩，故力F 的作用点的位移大小等于s。而这里物块移动的位移大小为（Hcot-Hcot） ，可见本题力F作用点的位移大小不等于物块移动的位移大小。根据功的定义式，有100)sinsin(HHFFsWJ教学后记内容简单， 学生掌握较好， 功的计算方法很多，关键是引导学生掌握不同的工的计算方法，还有汽车启动的两种模型。动能势能动能定理教学目标：理解功和能的概念，掌握动能定理，会熟练地运用动能定理解答有关问题教学重点： 动能定理教学难点： 动能定理的应用教学方法： 讲练结合，计算机辅助教学教学过程：一、动能1定义：物体由于
20、运动而具有的能，叫动能。其表达式为：221mvEk。2对动能的理解（1）动能是一个状态量，它与物体的运动状态对应动能是标量它只有大小，没有方向，而且物体的动能总是大于等于零，不会出现负值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 46 页（2）动能是相对的，它与参照物的选取密切相关如行驶中的汽车上的物品，对汽车上的乘客，物品动能是零；但对路边的行人，物品的动能就不为零。3动能与动量的比较（1）动能和动量都是由质量和速度共同决定的物理量，221mvEkmp22或kmEp2（2）动能和动量都是用于描述物体机械运动的状态量。（3）动能是
21、标量，动量是矢量。物体的动能变化，则其动量一定变化；物体的动量变化，则其动量不一定变化。（4）动能决定了物体克服一定的阻力能运动多么远；动量则决定着物体克服一定的阻力能运动多长时间。动能的变化决定于合外力对物体做多少功，动量的变化决定于合外力对物体施加的冲量。（5）动能是从能量观点出发描述机械运动的，动量是从机械运动本身出发描述机械运动状态的。二、重力势能1定义：物体和地球由相对位置决定的能叫重力势能，是物体和地球共有的。表达式：mghEp，与零势能面的选取有关。2对重力势能的理解（1）重力势能是物体和地球这一系统共同所有，单独一个物体谈不上具有势能即：如果没有地球， 物体谈不上有重力势能平时
22、说物体具有多少重力势能，是一种习惯上的简称重力势能是相对的，它随参考点的选择不同而不同，要说明物体具有多少重力势能，首先要指明参考点(即零点 )（2）重力势能是标量，它没有方向但是重力势能有正、负此处正、负不是表示方向， 而是表示比零点的能量状态高还是低势能大于零表示比零点的能量状态高， 势能小于零表示比零点的能量状态低零点的选择不同虽对势能值表述不同，但对物理过程没有影响即势能是相对的，势能的变化是绝对的，势能的变化与零点的选择无关（3）重力做功与重力势能重力做正功，物体高度下降，重力势能降低；重力做负功，物体高度上升，重力势能升高 可以证明， 重力做功与路径无关，由物体所受的重力和物体初、
23、末位置所在水精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 46 页平面的高度差决定，即：WG=mgh所以重力做的功等于重力势能增量的负值，即WG= -Ep= -（mgh2-mgh1） 三、动能定理1动能定理的表述合外力做的功等于物体动能的变化。（这里的合外力指物体受到的所有外力的合力，包括重力）。表达式为W=EK动能定理也可以表述为：外力对物体做的总功等于物体动能的变化。实际应用时， 后一种表述比较好操作。不必求合力， 特别是在全过程的各个阶段受力有变化的情况下，只要把各个力在各个阶段所做的功都按照代数和加起来，就可以得到总功。和动
24、量定理一样，动能定理也建立起过程量（功） 和状态量 （动能） 间的联系。 这样，无论求合外力做的功还是求物体动能的变化，就都有了两个可供选择的途径。和动量定理不同的是： 功和动能都是标量，动能定理表达式是一个标量式，不能在某一个方向上应用动能定理。【例 1】 一个质量为m 的物体静止放在光滑水平面上，在互成 60角的大小相等的两个水平恒力作用下，经过一段时间，物体获得的速度为v，在力的方向上获得的速度分别为 v1、v2，那么在这段时间内，其中一个力做的功为A261mvB241mvC231mvD221mv错解：在分力F1的方向上，由动动能定理得2221161)30cos2(2121mvvmmvW
25、，故 A 正确。正解：在合力F 的方向上，由动动能定理得，221mvFsW，某个分力的功为211412130cos30cos230cosmvFssFsFW，故 B 正确。2对外力做功与动能变化关系的理解：外力对物体做正功，物体的动能增加，这一外力有助于物体的运动，是动力； 外力对物体做负功， 物体的动能减少，这一外力是阻碍物体的运动，是阻力， 外力对物体做负功往往又称物体克服阻力做功功是能量转化的量度，外力对物体做了多少功；就有多少动能与其它形式的能发生了转化所以外力对物体所做的功就等于物体动能的变化量即3应用动能定理解题的步骤（1）确定研究对象和研究过程。和动量定理不同，动能定理的研究对象只
26、能是单个物体，如果是系统，那么系统内的物体间不能有相对运动。（原因是：系统内所有内力的总冲量一定是零，而系统内所有内力做的总功不一定是零）。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 46 页（2）对研究对象进行受力分析。（研究对象以外的物体施于研究对象的力都要分析，含重力） 。（3）写出该过程中合外力做的功，或分别写出各个力做的功（注意功的正负）。如果研究过程中物体受力情况有变化，要分别写出该力在各个阶段做的功。（4）写出物体的初、末动能。（5）按照动能定理列式求解。【例 2】 如图所示，斜面倾角为，长为 L，AB段光滑， BC
27、段粗糙，且BC=2 AB。质量为 m 的木块从斜面顶端无初速下滑，到达C 端时速度刚好减小到零。求物体和斜面BC段间的动摩擦因数 。解： 以木块为对象，在下滑全过程中用动能定理：重力做的功为mgLsin，摩擦力做的功为cos32m gL，支持力不做功。初、末动能均为零。mgLsincos32m gL=0，tan23点评： 从本例题可以看出，由于用动能定理列方程时不牵扯过程中不同阶段的加速度，所以比用牛顿定律和运动学方程解题简洁得多。【例 3】 将小球以初速度v0竖直上抛，在不计空气阻力的理想状况下，小球将上升到某一最大高度。由于有空气阻力，小球实际上升的最大高度只有该理想高度的80%。设空气阻
28、力大小恒定，求小球落回抛出点时的速度大小v。解： 有空气阻力和无空气阻力两种情况下分别在上升过程对小球用动能定理：2021mvmgH和20218.0mvHfmg，可得 H=v02/2g，mgf41再以小球为对象，在有空气阻力的情况下对上升和下落的全过程用动能定理。全过程重力做的功为零，所以有：22021218.02mvmvHf， 解得053vv点评： 从本题可以看出：根据题意灵活地选取研究过程可以使问题变得简单。有时取全过程简单； 有时则取某一阶段简单。原则是尽量使做功的力减少，各个力的功计算方便；或使初、末动能等于零。【例 4】如图所示，质量为m 的钢珠从高出地面h 处由静止自由下落，落到地
29、面进入沙坑h/10 停止，则（1）钢珠在沙坑中受到的平均阻力是重力的多少倍？B A v v/ f f h/10 h 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 46 页h （2）若让钢珠进入沙坑h/8，则钢珠在h 处的动能应为多少？设钢珠在沙坑中所受平均阻力大小不随深度改变。解析： （1）取钢珠为研究对象，对它的整个运动过程，由动能定理得W=WF+WG=EK =0。取钢珠停止处所在水平面为重力势能的零参考平面，则重力的功WG=1011mgh，阻力的功 WF=101Ff h， 代入得1011mgh101Ff h=0，故有 Ff /m
30、g=11。即所求倍数为11。（2） 设钢珠在h 处的动能为EK， 则对钢珠的整个运动过程，由动能定理得W=WF+WG=EK =0，进一步展开为9mgh/8Ff h/8= EK，得 EK=mgh/4。点评： 对第（ 2）问，有的学生这样做，h/8h/10= h/40，在 h/40 中阻力所做的功为Ff h/40=11mgh/40，因而钢珠在h处的动能EK =11mgh/40。这样做对吗？请思考。【例 5】 质量为 M 的木块放在水平台面上，台面比水平地面高出h=0.20m，木块离台的右端L=1.7m。质量为m=0.10M 的子弹以v0=180m/s的速度水平射向木块，并以v=90m/s的速度水平
31、射出，木块落到水平地面时的落地点到台面右端的水平距离为s=1.6m，求木块与台面间的动摩擦因数为 。解：本题的物理过程可以分为三个阶段，在其中两个阶段中有机械能损失：子弹射穿木块阶段和木块在台面上滑行阶段。所以本题必须分三个阶段列方程：子弹射穿木块阶段，对系统用动量守恒，设木块末速度为 v1，mv0= mv+Mv1木块在台面上滑行阶段对木块用动能定理，设木块离开台面时的速度为v2，有：22212121MvMvMgL木块离开台面后的平抛阶段，ghvs22由、可得=0.50 点评： 从本题应引起注意的是：凡是有机械能损失的过程，都应该分段处理。从本题还应引起注意的是：不要对系统用动能定理。在子弹穿
32、过木块阶段，子弹和木块间的一对摩擦力做的总功为负功。如果对系统在全过程用动能定理，就会把这个负功漏掉。四、动能定理的综合应用动能定理可以由牛顿定律推导出来，原则上讲用动能定律能解决物理问题都可以利用牛顿定律解决， 但在处理动力学问题中，若用牛顿第二定律和运动学公式来解，则要分阶段考虑， 且必须分别求每个阶段中的加速度和末速度，计算较繁琐。 但是， 我们用动能定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 46 页理来解就比较简捷。 我们通过下面的例子再来体会一下用动能定理解决某些动力学问题的优越性。1应用动能定理巧求变力的功如果我们
33、所研究的问题中有多个力做功，其中只有一个力是变力，其余的都是恒力，而且这些恒力所做的功比较容易计算，研究对象本身的动能增量也比较容易计算时，用动能定理就可以求出这个变力所做的功。【例 6】 如图所示， AB 为 1/4 圆弧轨道， 半径为 R=0.8m，BC 是水平轨道， 长 S=3m，BC 处的摩擦系数为 =1/15 ，今有质量m=1kg 的物体，自A 点从静止起下滑到C 点刚好停止。求物体在轨道AB 段所受的阻力对物体做的功。解析： 物体在从A 滑到 C 的过程中，有重力、AB 段的阻力、 BC 段的摩擦力共三个力做功， WG=mgR，fBC=mg，由于物体在AB 段受的阻力是变力，做的功
34、不能直接求。根据动能定理可知：W外=0，所以 mgR-mgS-WAB=0 即 WAB=mgR-mgS=1 10 0.8-1 10 3/15=6 J 【例 7】 一辆车通过一根跨过定滑轮的绳PQ 提升井中质量为m 的物体，如图所示绳的 P端拴在车后的挂钩上，Q 端拴在物体上设绳的总长不变，绳的质量、定滑轮的质量和尺寸、滑轮上的摩擦都忽略不计开始时，车在A 点，左右两侧绳都已绷紧并且是竖直的，左侧绳长为H提升时，车加速向左运动，沿水平方向从A 经过 B驶向 C设 A 到B 的距离也为H，车过 B 点时的速度为vB求在车由A 移到 B 的过程中，绳Q 端的拉力对物体做的功解析： 设绳的 P端到达 B
35、处时， 左边绳与水平地面所成夹角为 ，物体从井底上升的高度为 h，速度为v，所求的功为W，则据动能定理可得：221mvmghW因绳总长不变，所以：HHhsin精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 46 页根据绳联物体的速度关系得：v=vBcos 由几何关系得：4由以上四式求得：HmgmvWB)12(4122应用动能定理简解多过程问题。物体在某个运动过程中包含有几个运动性质不同的小过程（如加速、减速的过程），此时可以分段考虑，也可以对全过程考虑，但如能对整个过程利用动能定理列式则使问题简化。【例 8】 如图所示，斜面足够长，其
36、倾角为 ，质量为 m 的滑块，距挡板P为 s0，以初速度v0沿斜面上滑，滑块与斜面间的动摩擦因数为 ，滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，若滑块每次与挡板相碰均无机械能损失，求滑块在斜面上经过的总路程为多少？解析： 滑块在滑动过程中，要克服摩擦力做功，其机械能不断减少；又因为滑块所受摩擦力小于滑块沿斜面方向的重力分力，所以最终会停在斜面底端。在整个过程中， 受重力、 摩擦力和斜面支持力作用，其中支持力不做功。设其经过和总路程为L，对全过程，由动能定理得：200210cossinmvmgLmgS得cossin20210mgmvmgSL3利用动能定理巧求动摩擦因数【例 9】 如图所示，小滑
37、块从斜面顶点A 由静止滑至水平部分C点而停止。已知斜面高为 h，滑块运动的整个水平距离为s，设转角B 处无动能损失，斜面和水平部分与小滑块的动摩擦因数相同，求此动摩擦因数。解析： 滑块从 A 点滑到 C 点，只有重力和摩擦力做功，设滑块质量为m，动摩擦因数为，斜面倾角为，斜面底边长s1，水平部分长s2，由动能定理得：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 46 页0coscos21mgssmgmghsss21由以上两式得sh从计算结果可以看出，只要测出斜面高和水平部分长度，即可计算出动摩擦因数。4利用动能定理巧求机车脱钩问题【
38、例 10】总质量为M 的列车，沿水平直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为m，中途脱节，司机发觉时，机车已行驶L 的距离，于是立即关闭油门，除去牵引力。设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的。当列车的两部分都停止时，它们的距离是多少？解析： 此题用动能定理求解比用运动学、牛顿第二定律求解简便。对车头，脱钩后的全过程用动能定理得：201)(21)(vmMgsmMkFL对车尾，脱钩后用动能定理得：20221mvkmgs而21sss，由于原来列车是匀速前进的，所以F=kMg由以上方程解得mMMLs。五、针对训练1质量为m 的物体，在距地面h 高处以g/3 的加速度由静止竖直下落到地面.下列说法中
39、正确的是A.物体的重力势能减少31mgh精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 46 页B.物体的动能增加31mgh C.物体的机械能减少31mgh D.重力做功31mgh 2质量为 m 的小球用长度为L 的轻绳系住，在竖直平面内做圆周运动，运动过程中小球受空气阻力作用.已知小球经过最低点时轻绳受的拉力为7mg，经过半周小球恰好能通过最高点，则此过程中小球克服空气阻力做的功为A.mgL/4 B.mgL/3C.mgL/2 D.mgL3如图所示，木板长为l，板的 A 端放一质量为m 的小物块，物块与板间的动摩擦因数为 。开始时板水
40、平，在绕O 点缓慢转过一个小角度的过程中，若物块始终保持与板相对静止。对于这个过程中各力做功的情况，下列说法正确的是( ) A、摩擦力对物块所做的功为mglsin(1-cos) B、弹力对物块所做的功为mglsincosC、木板对物块所做的功为mglsinD、合力对物块所做的功为mgl cos4如图所示，小球以大小为v0的初速度由A 端向右运动，到B 端时的速度减小为vB；若以同样大小的初速度由B 端向左运动，到A 端时的速度减小为vA。已知小球运动过程中始终未离开该粗糙轨道。比较vA、vB的大小，结论是A.vAvBB.vA=vBC.vA2 R）.已知列车的车轮是卡在导轨上的光滑槽中只能使列车
41、沿着圆周运动，在轨道的任何地方都不能脱轨。试问： 在没有任何动力的情况下，列车在水平轨道上应具有多大初速度v0，才能使列车通过圆形轨道而运动到右边的水平轨道上？解析： 当游乐车灌满整个圆形轨道时，游乐车的速度最小，设此时速度为v，游乐车的质量为m，则据机械能守恒定律得：22021221mvgRLmRmv要游乐车能通过圆形轨道，则必有v0，所以有LgRv20【例 7】质量为 0.02 kg 的小球，用细线拴着吊在沿直线行驶着的汽车顶棚上，在汽车距车站 15 m 处开始刹车，在刹车过程中，拴球的细线与竖直方向夹角 37保持不变，如图所示，汽车到车站恰好停住.求：（1）开始刹车时汽车的速度；（2）汽
42、车在到站停住以后，拴小球细线的最大拉力。（取 g10 ms2，sin370.6，cos37 0.8）解析： （1）小球受力分析如图因为 F合=mgtan=ma精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 46 页所以 a=gtan=108.06.0m/s2=7.5 m/s2对汽车，由v02=2as得 v0=as2=155. 72m/s=15 （m/s）（2）小球摆到最低点时，拉力最大，设为T，绳长设为l根据机械能守恒定律，有mg（l-lcos）=21mv2 在最低点，有T-mg=mlv2，T = mg+2mg（1 一 cos） ，代
43、人数值解得T0.28 N 【例 8】 如图所示，一根长为m1，可绕O轴在竖直平面内无摩擦转动的细杆AB，已知mOBmOA4.0;6 .0，质量相等的两个球分别固定在杆的BA、端，由水平位置自由释放，求轻杆转到竖直位置时两球的速度？解析：BA、球在同一杆上具有相同的角速度，2:3:BABARRvv，BA、组成一个系统， 系统重力势能的改变量等于动能的增加量，选取水平位置为零势能面，则：mgRRmgmgRmgREEEPBPAP2.0)(21212222122)(212121RRmmvmvEEEBAKBKAKKPEE226.02. 0mmg解得：smvsmvsradBA1 .165.11310、精选
44、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 46 页【例 9】 小球在外力作用下，由静止开始从A点出发做匀加速直线运动，到B 点时消除外力。然后，小球冲上竖直平面内半径为R 的光滑半圆环，恰能维持在圆环上做圆周运动，到达最高点C 后抛出，最后落回到原来的出发点A 处，如图所示，试求小球在AB段运动的加速度为多大？解析： 要题的物理过程可分三段：从A 到孤匀加速直线运动过程；从B 沿圆环运动到 C 的圆周运动，且注意恰能维持在圆环上做圆周运动，在最高点满足重力全部用来提供向心力；从C回到 A 的平抛运动。根据题意，在C点时，满足Rvmm
45、g2从 B到 C过程，由机械能守恒定律得2221212BmvmvRmg由、式得gRvB5从 C回到 A 过程，满足2212gtR水平位移s=vt，gRv由、式可得s=2R从 A到 B 过程，满足22Bvasga45【例 10】如图所示，半径分别为R 和 r 的甲、乙两个光滑的圆形轨道安置在同一竖直平面上，轨道之间有一条水平轨道CD相通，一小球以一定的速度先滑上甲轨道，通过动摩擦因数为的 CD段，又滑上乙轨道，最后离开两圆轨道。若小球在两圆轨道的最高精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 28 页，共 46 页点对轨道压力都恰好为零，试求水平
46、CD段的长度。解析： （1） 小球在光滑圆轨道上滑行时，机械能守恒， 设小球滑过C点时的速度为，通过甲环最高点速度为v，根据小球对最高点压力为零，由圆周运动公式有Rvmmg2取轨道最低点为零势能点，由机械守恒定律2221221vmRmgmvC由、两式消去v，可得gRvC5同理可得小球滑过D 点时的速度grvD5，设 CD 段的长度为l，对小球滑过CD段过程应用动能定理222121CDmvmvmgl，将Cv、Dv代入，可得2)(5rRl三、针对训练1如图所示，两物体A、B 从同一点出发以同样大小的初速度v0分别沿光滑水平面和凹面到达另一端，则（）AA 先到BB 先到CA、B 同时到达D条件不足，
47、无法确定精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 29 页，共 46 页2将一球竖直上抛，若该球所受的空气阻力大小不变，则其力大小不变，则其上升和下降两过程的时间及损失的机械能的关系是（）A上t下t，E上E下B上t下t，E上E下C上tm 时，相对静止是的共同速度必向左，不会再次与墙相碰，可求得摩擦生热是mMMmvQ22；当 M=m 时，显然最终共同速度为零，当 Mm 时，相对静止时的共同速度必向右， 再次与墙相碰， 直到小车停在墙边，后两种情况的摩擦生热都等于系统的初动能221vmMQ【例 9】一传送带装置示意图如图，其中传送带经过AB 区域
48、时是水平的，经过BC区域时变为圆弧形（圆弧由光滑模板形成，为画出），经过 CD区域时是倾斜的，AB和 CD都与 BC相切。现将大量的质量均为m 的小货箱一个一个在A 处放到传送带上，放置时初速为零，经传送带运送到D 处， D 和 A 的高度差为h。稳定工作时传送带速度不变，CD段上各箱等距排列，相邻两箱的距离为L。每个箱子在A 处投放后，在到达B之前已经相对于传送带静止，且以后也不再滑动（忽略经BC 段时的微小滑动） 。已知在一段相当长的时间T 内，共B L L A C D m v精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 37 页，共 46
49、页运送小货箱的数目为N。这装置由电动机带动，传送带与轮子间无相对滑动，不计轮轴处的摩擦。求电动机的平均输出功率P。解析： 电动机做功的过程，电能除了转化为小货箱的机械能，还有一部分由于小货箱和传送带间的滑动摩擦而转化成内能。摩擦生热可以由Q=f d 求得，其中f 是相对滑动的两个物体间的摩擦力大小，d 是这两个物体间相对滑动的路程。本题中设传送带速度一直是 v，则相对滑动过程中传送带的平均速度就是小货箱的2 倍，相对滑动路程d 和小货箱的实际位移s 大小相同，故摩擦生热和小货箱的末动能大小相同Q=mv2/2。因此有W=mv2+mgh。又由已知，在一段相当长的时间T 内，共运送小货箱的数目为N，
50、所以有NWTP， vT=NL ，带入后得到ghTLNTNmP222。【例 10】用轻弹簧相连的质量均为2 kg 的 A、B 两物块都以v6 ms 的速度在光滑的水平地面上运动，弹簧处于原长，质量4 kg 的物块C 静止在前方，如图所示.B与 C碰撞后二者粘在一起运动.求：在以后的运动中：（1）当弹簧的弹性势能最大时，物体A 的速度多大 ? （2）弹性势能的最大值是多大? （3）A 的速度有可能向左吗?为什么 ? 解析： （1）当 A、B、C三者的速度相等时弹簧的弹性势能最大. 由于 A、B、C三者组成的系统动量守恒，（mA+mB）v（ mA+mB+mC）vA解得vA=4226)22(m/s=3