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1、精品_精品资料_第四讲排列组合一、分类计数原理与分步计数原理：1、分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案,在第1 类方案中有 m 种不同的方法.在第 2 类方案中有 n 种不同的方法,那么完场这件事共有m+n 种不同的方法.2、分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤,在第1 步有 m 种不同的方法.在第2 步有 n 种不同的方法,那么完场这件事共有mn 种不同的方法.二、排列数：Cn1、组合： n 中取 m 个,记作m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m（1） Cnn n1 n2m.nm1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 阶乘： m.mmmn m1m2
2、 2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） CnCnnC1n（4） C 0n2、排列：An（1） 全排列：将 n 个数全排列,记n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_An（2） nnn1 n22 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnmm（3） n 中取 m 个,并将 m 个数全排列：AC m Am可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、二项式定理：ab nC 0 a nb0C 1 an1b1C 2an2b 2C na 0bn可编辑资料 -
3、 - - 欢迎下载精品_精品资料_nnnnCCCCnnnn1、二次项系数之和：012nCr2、绽开式的第 r 项： Tr 1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 1： x1 4 的绽开式中的常数项是（）x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_523A、6B、4C、-4D、-6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例题 2：在二项式1 x22 y的绽开式中,含x y 的项的系数是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、-20B、-3C、6D、 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
4、随堂训练：1、在二项式 x21 5 的绽开式中,含xx 的项的系数是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4A、-10B、10C、 -5D、5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 512、 x2 x 的绽开式中的常数项是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、5B、-5C、10D、-10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、在二项式 x63 y 的绽开式中,含24x y 的项的系数是（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A、45B、90 C、135D、270可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、已知关于 x
5、的二项式 anx 的绽开式的二项式系数之和为32,常数项为80,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 x就 a 的值为（） A 、1B、 1C、 2D、 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、 12 x13x 4 的绽开式中,x2 的系数等于.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、 ax21 5 的绽开式中各项系数的和为243,就该绽开式中常数项为.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、 x212 n 绽开式中常数项是 70,就 n.x2可
6、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8、如 ax1 2 xx1 5 绽开式中常数项为 -40,就 a.x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、排列组合题型汇总（一）解决排列组合综合性问题的一般过程如下:（1） 仔细审题弄清要做什么事（2） 怎样才能完成所要做的事, 即实行分步仍是分类 , 或分步与分类同时进行, 确定分多少步及多少类.（3） 确定每一步或每一类是排列问题 有序 仍是组合 无序 问题 , 元素总数是多少及取出多少个元素 .（4） 解决排列组合综合性问题,往往类与步交叉,因此必需把握一些常用的解题策略（二）题型
7、演练：1、特别元素和特别位置优先策略例 1. 由 0,1,2,3,4,5可以组成多少个没有重复数字五位奇数.解: 由于末位和首位有特别要求, 应当优先支配 , 以免不合要求的元素占了这两个位置.先排末位共有C13然后排首位共有C14最终排其它位置共有A3C14A 34C134由分步计数原理得C C A113434288位置分析法和元素分析法是解决排列组合问题最常用也是最基本的方法, 如以元素分析为主, 需先支配特别元素 , 再处理其它元素 . 如以位置分析为主 , 需先满意特别位置的要求 , 再处理其它位置.如有多个约束条件,往往是考虑一个约束条件的同时仍要兼顾其它条件习题 :7 种不同的花种
8、在排成一列的花盆里, 如两种葵花不种在中间,也不种在两端的花盆里,问有多少不同的种法？2、相邻元素捆绑策略例 2. 7人站成一排 , 其中甲乙相邻且丙丁相邻,共有多少种不同的排法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：可先将甲乙两元素捆绑成整体并看成一个复合元素,同时丙丁也看成一个复合元素, 再与其它元素进行排列,同时对相邻元素内部进行自排.由分步计数原理可得共有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A A A522522480 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_甲 乙丙 丁要求某几个元素必需排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题 . 即将需要相邻的元素
9、合并为一个元素 ,再与其它元素一起作排列 ,同时要留意合并元素内部也必需排列.练习题 : 某人射击 8 枪,命中 4 枪, 4 枪命中恰好有3 枪连在一起的情形的不同种数为203、不相邻问题插空策略5例 3. 一个晚会的节目有4 个舞蹈 ,2 个相声 ,3 个独唱 , 舞蹈节目不能连续出场 , 就节目的出场次序有多少种？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: 分两步进行第一步排2 个相声和 3 个独唱共有A5 种,其次步将4 舞蹈插入第一步排好可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的 6 个元素中间包含首尾两个空位共有种A4 不同的方法 , 由分步计数原理 , 节目的不
10、同可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6A A56次序共有54种元素相离问题可先把没有位置要求的元素进行排队再把不相邻元素插入中间练习题：某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目. 假如将这两个新节目插入原节目单中,且两个新节目不相邻,那么不同插法的种数为304、定序问题倍缩空位插入策略例 4.7 人排队 , 其中甲乙丙 3 人次序肯定共有多少不同的排法解: 倍缩法 对于某几个元素次序肯定的排列问题, 可先把这几个元素与其他元素一起进行排列, 然后用总排列数除以这几个元素之间的全排列数, 就共有不同排法种数是：A 7/ A 373可编辑资料 - - -
11、欢迎下载精品_精品资料_ 空位法 设想有 7 把椅子让除甲乙丙以外的四人就坐共有A 4 种方法,其余的三个位置可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_77甲乙丙共有 1 种坐法,就共有A 4 种方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_摸索 : 可以先让甲乙丙就坐吗 .定序问题可以用倍缩法,仍可转化为占位练习题 :10 人身高各不相等 , 排成前后排,每排5 人, 要求从左至右身高逐步增加,共有多少排法？5、重排问题求幂策略例 5. 把 6 名实习生安排到7 个车间实习 , 共有多少种不同的分法解: 完成此事共分六步: 把第一
12、名实习生安排到车间有7种分法 . 把其次名实习生安排到车可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_间也有 7 种分依此类推 , 由分步计数原理共有76 种不同的排法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答应重复的排列问题的特点是以元素为讨论对象,元素不受位置的约束,可以逐一支配各个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_元素的位置,一般的 n 不同的元素没有限制的支配在m 个位置上的排列数为mn 种可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习题：1. 某班新年联欢会原定的5 个节目已排成节目单,开演前又增加了两个新节目. 假如将这两个节目插入原节目单中,那么不同
13、插法的种数为422. 某 8 层大楼一楼电梯上来8 名乘客人 , 他们到各自的一层下电梯, 下电梯的方法 786、环排问题线排策略4例 6. 8人围桌而坐 , 共有多少种坐法 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：围桌而坐与坐成一排的不同点在于,坐成圆形没有首尾之分,所以固定一人此位置把圆形展成直线其余7 人共有（ 8-1 ）；种排法即 7 ；A 4 并从可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CDBEAABCDEFFHGGHA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的 ,n 个不同元素作圆形排列 ,共有 n-1. 种排法 . 假如从 n 个不同元素中取出
14、m 个元素1m作圆形排列共有Ann练习题： 6 颗颜色不同的钻石,可穿成几种钻石圈1207、多排问题直排策略例 7.8 人排成前后两排 , 每排 4 人, 其中甲乙在前排 , 丙在后排 , 共有多少排法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15解:8 人排前后两排 , 相当于 8 人坐 8 把椅子 , 可以把椅子排成一排 . 个特别元素有A 2 种,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4再排后 4 个位置上的特别元素丙有4 种, 其余的 5 人在 5 个位置上任意排列有5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AA445种, 就共有A 2 A 1 A 5 种可编辑
15、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前 排后 排一般的 ,元素分成多排的排列问题 , 可归结为一排考虑 , 再分段练习题：有两排座位,前排11 个座位,后排 12 个座位,现支配 2 人就座规定前排中间的3 个座位不能坐,并且这2 人不左右相邻,那么不同排法的种数是3468、元素相同问题隔板策略例 10. 有 10 个运动员名额,分给7 个班,每班至少一个 , 有多少种安排方案？9解：由于 10 个名额没有差别,把它们排成一排.相邻名额之间形成个间隙.在个空档中选个位置插个隔板,可把名额分成份,对应的分给个班级,每一种插可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_板方法对应一种分法共
16、有C6 种分法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一二三四五六七班班班班班班班可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将 n 个相同的元素分成 m 份（ n,m 为正整数） , 每份至少一个元素 , 可以用 m-1 块Cn 1隔板,插入 n 个元素排成一排的 n-1 个间隙中,全部分法数为m 1练习题：C91 10 个相同的球装 5 个盒中 , 每盒至少一有多少装法？4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 .xyzw100 求这个方程组的自然数解的组数3C103可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9、正难就反总体剔除策略例 11. 从 0,1,2
17、,3,4,5,6,7,8,9这十个数字中取出三个数,使其和为不小于10 的偶数 , 不同的取法有多少种？解：这问题中假如直接求不小于10 的偶数很困难 , 可用总体剔除法.这十个数字中有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 个偶数 5 个奇数 , 所取的三个数含有3 个偶数的取法有C3 , 只含有 1 个偶数的取法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5有 C1C2 , 和为偶数的取法共有C 1C 2C 3 .再剔除和小于 10 的偶数共 9 种,符合条可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_55件的取法共有C1C
18、 2C 39555可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_555有些排列组合问题 ,正面直接考虑比较复杂 ,而它的反面往往比较简捷 ,可以先求出它的反面 , 再从整体中剔除 .练习题：我们班里有43 位同学 , 从中任抽 5 人, 正、副班长、团支部书记至少有一人在内的抽法有多少种 .10、平均分组问题除法策略例 12. 6本不同的书平均分成3 堆, 每堆 2 本共有多少分法？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解:分三步取书得222C C C642种方法 , 但这里显现重复计数的现象, 不妨记 6 本书为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABCDE,F 如第
19、一步取 AB,其次步取 CD,第三步取 EF该分法记为 AB,CD,EF, 就642C 2C 2C 2 中仍有 AB,EF,CD,CD,AB,EF,CD,EF,ABEF,CD,AB,EF,AB,CD共有32223可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A3 种取法 , 而这些分法仅是 AB,CD,EF 一种分法 , 故共有 C6C4 C2 / A 3种分法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n平均分成的组 ,不管它们的次序如何 , 都是一种情形 ,所以分组后要肯定要除以分的组数 防止重复计数.An n 为均可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习题：将 13 个球队分成 3 组, 一组 5 个队 , 其它两组 4 个队,有多少分法？5442（ C13C8 C4 / A 2 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载