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1、1.2 矩阵的初等变换与逆矩阵的求法,本节内容,1. 线性方程组的同解变换； 2. 矩阵的初等变换； 3. 初等矩阵； 4. 用初等行变换求逆矩阵.,线性方程组的同解变换,同解变换，就是变换后的线性方程组与原线性方程组同解。 初等变换就是线性方程组的同解变换。 定理：设方程组经过某一初等变换后变为另一个方程组，则新方程组与原方程组同解。（证明看课本第9页）,矩阵的初等变换,定义：以下三种变换称为矩阵的初等变换： 1. 对换矩阵的两行（或两列）； 记为 2. 以任意数 乘以矩阵的某一行（或列）每个元； 记为 3. 某一行（或列）的每个元乘以同一常数加到另一行（或列）的对应元上去. 记为 矩阵A经
2、过初等变换化为矩阵B表示为AB。 习惯上在箭头的上面写出行变换，下面写出列变换。,消元法解线性方程组,消元法的基本思想是：反复利用同解变换将方程组化为阶梯形状。 在消元法求解过程中，只涉及到对方程组的系数与常数的运算。因此只考虑对方程组的系数与常数组成的矩阵进行变换即可。相应的，对矩阵进行类似的变换叫做矩阵的初等变换。,矩阵的初等行变换的定义，完全对应着方程组的同解变换。因此，对矩阵进行初等行变换使其成为阶梯形矩阵的过程，实际上就是对方程组进行同解变换使其变为阶梯形状的过程。 例：解线性方程组,先将方程组的系数与等式右边的常数组成一个34的矩阵，然后对矩阵进行初等行变换。,变为阶梯型矩阵之后就
3、得到了原方程组的同解方程组。 或 注意：在对矩阵进行初等变换时，只能进行行变换，不能进行列变换！因为矩阵列变换对应的并不是线性方程组的同解变换。,初等矩阵,定义：由单位矩阵I经过一次初等变换的矩阵称为初等矩阵。 由于初等变换有三种类型，所以对应的初等矩阵就有三种类型。 （1）对调I的两行（或两列）； （2）非零数乘以I中的某行（或某列）； （3）某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）。 初等矩阵都是可逆的，并且,根据逆矩阵的定义，容易验证以上各式。 同时，上面等式表明：初等矩阵的逆仍然是初等矩阵。,初等矩阵的性质,定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆. 用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进
4、行相应的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。 若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么可以记为BPAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积 定理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆. 定理1.4 可逆矩阵经过有限次初等行变换可以化为单位矩阵. 定理1.5 方阵P为可逆矩阵的充要条件是P可以表示为有限个初等矩阵的乘积。,证明1.3，1.4，1.5,用初等行变换求逆矩阵,原理：可逆矩阵A可以分解为若干初等矩阵的乘积，设 则 上式表明，对矩阵A与I进行相同的行变换，在把A化为单位阵的同时，就把I化为了A的逆矩阵。 做法：将A与I按照行的方向组合成一个大矩阵
5、，对大矩阵进行行变换，在A部分成为I的时候，原来的I部分就成为A的逆。,例题,设 ，求 解：,小结,本节要求掌握内容 1. 矩阵初等变换的记号，初等矩阵的记号； 2. 初等矩阵的性质； 3. 用初等行变换求逆矩阵.,作业,P34 1.7（2）（5） 1.10,初等变换,线性方程组的初等变换有三种： 1. 互换两个方程的位置； 2. 把某个方程两边同乘以一个非零常数； 3. 将某个方程加上另一个方程的k倍. 初等变换是可逆的，即用同类型的变换可将新方程组变为原方程组。 注意：变换过程中方程组中方程的个数不变。,返回,互换两个方程的位置,返回,方程两边同乘以一个非零常数c,返回,一个方程加上另一个
6、方程的k倍,返回,对调I中的两行（或两列）,对调I的两行 对调I的两列,返回,非零数乘以I中的某行（或某列）,非零数乘以I的行 非零数乘以I的列,返回,某行（或列）的若干倍加到另一行（或列）,返回,初等矩阵左乘相当于行变换初等矩阵右乘相当于列变换,返回,矩阵的初等变换,定义：以下三种变换称为矩阵的初等变换： 1. 对换矩阵的两行（或两列）； 记为 2. 以任意数 乘以矩阵的某一行（或列）每个元； 记为 3. 某一行（或列）的每个元乘以同一常数加到另一行（或列）的对应元上去. 记为 矩阵A经过初等变换化为矩阵B表示为AB。 习惯上在箭头的上面写出行变换，下面写出列变换。,返回,初等矩阵的性质,定理1.2 有限个初等矩阵的乘积必可逆. 用初等矩阵左乘某矩阵，相当于对该矩阵进行相应的初等行变换；用初等矩阵右乘矩阵，相当于对该矩阵进行相应的初等列变换；反之亦然。 若矩阵B是矩阵A经过有限次初等变换得到的，那么可以记为BPAQ，其中P、Q为初等矩阵的乘积 定理1.3 可逆矩阵经过有限次初等变换仍可逆. 定理1.4 可逆矩阵经过有限次初等行变换可以化为单位矩阵. 定理1.5 方阵P为可逆矩阵的充要条件是P可以表示为有限个初等矩阵的乘积。,返回,例题,设 ，求 解：,返回,