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1、乃氏稳定性分析第一页，讲稿共三十一页哦2 主主 要要 内内 容容v幅角定理幅角定理v奈魁斯特稳定判据奈魁斯特稳定判据v奈氏稳定判据的应用奈氏稳定判据的应用v在伯德图或尼柯尔斯图上判别系统稳定性在伯德图或尼柯尔斯图上判别系统稳定性 奈魁斯特稳定判据是利用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不奈魁斯特稳定判据是利用开环频率特性判别闭环系统的稳定性。不仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统仅能判断系统的绝对稳定性，而且可根据相对稳定的概念，讨论闭环系统的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。它从代数判据脱颖而出，故可以的瞬态性能，指出改善系统性能的途径。它从代数判据脱颖而出，故可
2、以说是一种几何判据。说是一种几何判据。 奈魁斯特稳定判据是奈魁斯特稳定判据是(H.Nyquist)(H.Nyquist)于于19321932年提出，于年提出，于19401940年后得到年后得到广泛应用。广泛应用。5.45.4奈魁斯特奈魁斯特(Nyquist)(Nyquist)稳定性判据稳定性判据第二页，讲稿共三十一页哦3 奈魁斯特稳定判据无需求取闭环系统的特征根，而是利用奈魁斯特稳定判据无需求取闭环系统的特征根，而是利用)()(jHjG曲线，进而分析闭环系统的稳定性。曲线，进而分析闭环系统的稳定性。奈魁斯特稳定判据在工程上获得了广泛的应用：奈魁斯特稳定判据在工程上获得了广泛的应用： 1 1）系
3、统的某些环节的传递函数无法用分析法列写时，可用实验方法）系统的某些环节的传递函数无法用分析法列写时，可用实验方法获得这些环节的频率特性；整个系统的开环频率特性也可用实验获得获得这些环节的频率特性；整个系统的开环频率特性也可用实验获得，这样就可分析闭环后的稳定性。，这样就可分析闭环后的稳定性。 2 2）奈魁斯特稳定判据还能指出系统的稳定储备，即系统的相对稳定性以）奈魁斯特稳定判据还能指出系统的稳定储备，即系统的相对稳定性以及进一步提高和改善系统动态性能指标的途径。及进一步提高和改善系统动态性能指标的途径。第三页，讲稿共三十一页哦4奈奎斯特稳定判据奈奎斯特稳定判据(Nyquist (Nyquist
4、 Stability Criterion)Stability Criterion)原理原理C(s)R(s)G(s)H(s)图图5-4-1 5-4-1 闭环系统结闭环系统结构图构图闭环传递函数闭环传递函数)()(1)()()(sGsHsGsRsC为了保证系统稳定，特征方程为了保证系统稳定，特征方程( )1( ) ( )0F sH s G s 的全部根，都必须位于左半的全部根，都必须位于左半s s平面。平面。)()(sHsG虽然开环传递函数虽然开环传递函数 的极点或零点可能位于右半的极点或零点可能位于右半s s平平面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半面，但如果闭环传递函数的所有极点均位于左半
5、s s平面，平面，则系统是稳定的。则系统是稳定的。 系统稳定的充要条件系统稳定的充要条件第四页，讲稿共三十一页哦5奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应奈奎斯特稳定判据正是将开环频率响应)()(jHjG与闭环特征方程与闭环特征方程( )1( ) ( )F sH s G s 在右半在右半s s平面内极点数联系起来的判据，这种方法无须平面内极点数联系起来的判据，这种方法无须求出闭环极点，从而得到广泛应用。求出闭环极点，从而得到广泛应用。 奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形映射奈奎斯特稳定判据是建立在复变函数理论中的图形映射基础上的基础上的 。第五页，讲稿共三十一页哦65.4.1 5.4.1
6、预备知识预备知识0)()(1)(sGsHsF 可以证明，对于可以证明，对于S S平面上给定的一条不通过平面上给定的一条不通过 任何任何一个奇点的连续封闭曲线，在一个奇点的连续封闭曲线，在 平面上必存在一条封平面上必存在一条封闭曲线与之对应。闭曲线与之对应。)(sF)(sF平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下平面上的原点被封闭曲线包围的次数和方向，在下面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围原点面的讨论中具有特别重要的意义。我们将包围原点的次数和方向与系统的稳定性联系起来。的次数和方向与系统的稳定性联系起来。例如：例如：考虑下列开环传递函数：考虑下列开环传递函数：)2)(1(6)()(s
7、ssHsG)(sF第六页，讲稿共三十一页哦7)2)(1(6)()(sssHsG其特征方程为：其特征方程为：) 2)(1(61)()(1)(sssHsGsF0) 2)(1() 4 . 25 . 1)(4 . 25 . 1(ssjsjs函数函数)(sF在在s s平面内除了奇点外处处解析。对于平面内除了奇点外处处解析。对于s s平面上的每一个解平面上的每一个解析点，析点，)(sF平面上必有一点与之对应平面上必有一点与之对应21js，则，则)(sF为：为：577. 0115. 1)23)(22(61)21 (jjjjF这样，对于这样，对于s s平面上给定的连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点平面上给定的
8、连续封闭轨迹，只要它不通过任何奇点，在，在)(sF平面上就必有一个封闭曲线与之对应。平面上就必有一个封闭曲线与之对应。例如例如第七页，讲稿共三十一页哦8-101234-1-0.500.511.52-4-3-2-10100.20.40.60.811.21.41.61.82A B CDA1 B1 C1D1ImRejs平面平面)(sF图图5-4-2 s5-4-2 s平面上的图形在平面上的图形在 平面上的映射平面上的映射)(sF上半上半s s平面内的直线平面内的直线1 , 3和和2在在)(sF平面上的变换平面上的变换 第八页，讲稿共三十一页哦9-3-2-101-2-1.5-1-0.500.511.52
9、-101234-2-1.5-1-0.500.511.52A B C D E F A B C D E F1 A B C D E F A1 B1 C1 D1 E1 ImRej平面s平面)(sF001 1）当当s s平面上的图形包围两个平面上的图形包围两个)(sF的极点时，的极点时，-1和和-2)(sF的轨迹将反时针方向包围的轨迹将反时针方向包围)(sF平面上原点两次平面上原点两次 第九页，讲稿共三十一页哦10ImRej平面s平面)(sF002 2） s s平面上的图形包围包围一个零点，平面上的图形包围包围一个零点， 相应的相应的的轨迹将顺时的轨迹将顺时针包围原点一次，针包围原点一次， )(sF3
10、3）封闭曲线既不包围零点又不包围极点，封闭曲线既不包围零点又不包围极点，)(sF的轨迹将永远的轨迹将永远不会包围不会包围 平面上的原点平面上的原点 )(sF第十页，讲稿共三十一页哦11-3-2-101-3-2-1012301234-2-1.5-1-0.500.511.52AABFEDCA1B1F1E1D1C1Rej平面s平面)(sFIm4 4）当当s s平面上的图形包围平面上的图形包围)(sF的两个极点和两个零点，的两个极点和两个零点，)(sF的轨迹将不包围原点。的轨迹将不包围原点。 相应相应的的第十一页，讲稿共三十一页哦125 5）如果在如果在s s平面上曲线包围平面上曲线包围 k k个零点
11、和个零点和k k个极点个极点)(sF相应的封闭曲线不包围相应的封闭曲线不包围)(sF 上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳定上述讨论是映射定理的图解说明，奈奎斯特稳定判据正是建立在映射定理的基础上。判据正是建立在映射定理的基础上。 (k=0,1,2)(k=0,1,2)，即包围的零点数与极点数相同，则在，即包围的零点数与极点数相同，则在平面上，平面上，平面上，平面上，的原点。的原点。)(sF第十二页，讲稿共三十一页哦135.4.25.4.2映射定理映射定理设设)(sF为两个为两个s s的多项式之比，并设的多项式之比，并设P P为为)(sF 的极点数，的极点数，)(sF的零点数，它们位于的零点
12、数，它们位于s s平面上的某一封闭曲线内，平面上的某一封闭曲线内，)(sF的任何极点和零点。于是，的任何极点和零点。于是，s s平面上的这一平面上的这一)(sF平面上，也是一条封闭曲线。平面上，也是一条封闭曲线。)(sF平面上，相应的轨迹顺时针包围原点的总次数平面上，相应的轨迹顺时针包围原点的总次数R R等于等于Z-PZ-P。且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不且有多重极点和多重零点的情况。设上述封闭曲线不在在Z Z为为封闭曲线映射到封闭曲线映射到通过通过当变量当变量s s顺时针通过封闭曲线时顺时针通过封闭曲线时第十三页，讲稿共三十一页哦14若若R R为正数，表示为正数，表示)(sF
13、的零点数超过了极点数；的零点数超过了极点数；)(sF的极点数超过了零点数。的极点数超过了零点数。若若R R为负数，表示为负数，表示开环传递函数与闭环传递函数的关系：开环传递函数与闭环传递函数的关系：C(s)R(s)G(s)H(s)()()(11sAsBsG)()()(22sAsBsH开环传递函数开环传递函数)()()()()()()()(2121sDsNsAsAsBsBsHsGKK( )F s的含义：的含义：第十四页，讲稿共三十一页哦151212( )( )( )( )1( )( )1( )( )( )BKB s B sDsF sG s H sA s A sDs )()(sHsG很容易确定很容
14、易确定)()(1)(sHsGsF的极点数（的极点数（P P ）。因此，如果，）。因此，如果，)(sF的轨迹图中确定了的轨迹图中确定了R R，则，则s s平面上封闭曲线内的零点数平面上封闭曲线内的零点数在控制系统应用中，由在控制系统应用中，由很容易确定。而很容易确定。而 )(sF零点正是闭环系统的极点。零点正是闭环系统的极点。闭环传递函数闭环传递函数)()()()()()()()()()(212112sDsNsBsBsAsAsBsAsRsCBB第十五页，讲稿共三十一页哦165.4.35.4.3影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用影射定理在闭环系统稳定性分析中的应用 为了分析线性控制系统的稳定性，
15、令为了分析线性控制系统的稳定性，令s s平面上的封闭曲平面上的封闭曲线包围整个右半线包围整个右半s s平面。这时的封闭曲线由整个平面。这时的封闭曲线由整个j轴轴到到 该封闭曲线为该封闭曲线为奈奎斯特轨迹奈奎斯特轨迹( (轨迹的方向为顺时针方向轨迹的方向为顺时针方向) )。因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半因为奈奎斯特轨迹包围了整个右半s s平面，所以它包围了平面，所以它包围了) )和右半和右半s s平面上半径为无穷大的平面上半径为无穷大的( )1( )( )F sG s H s 的所有正实部的极点和零点。的所有正实部的极点和零点。( (从从半圆轨迹构成。半圆轨迹构成。第十六页，讲稿共三十一页哦17
16、( )( )( ) 1G s H sF s对原点的包围情况可用对原点的包围情况可用 ( )F s( )( )G s H s对对-1+j0-1+j0包围情况同样说明。包围情况同样说明。 说明：说明：( )1( )( )F sG s H s 则在右半则在右半s s平面不存在闭环极点，因而系统是稳定的。平面不存在闭环极点，因而系统是稳定的。 如果如果在右半在右半s s平面不存在零点，平面不存在零点，第十七页，讲稿共三十一页哦18平面sj0图图5-4-3 5-4-3 s s平面内的封闭曲线平面内的封闭曲线ReIm平面GH1)()(1jHjG10ReIm0)()(1jHjG)()(jHjG1平面GH曲线
17、对原点的包围，恰等于曲线对原点的包围，恰等于)()(jHjG)()(1jHjG轨迹对轨迹对-1+j0-1+j0点的包围点的包围第十八页，讲稿共三十一页哦19这一判据可表示为：这一判据可表示为：PRZZ函数函数)()(1)(sHsGsF在右半在右半s s平面内的零点数平面内的零点数R对对-1+-1+j0j0点顺时针包围的次数点顺时针包围的次数P函数函数)()(sHsG如果如果P P不等于零，对于稳定的控制系统，必须不等于零，对于稳定的控制系统，必须0Z或或PR，这意味着必须反时针方向包围，这意味着必须反时针方向包围-1+-1+j0j0点点P P次。次。5.4.45.4.4关于奈奎斯特稳定判据的几
18、点说明关于奈奎斯特稳定判据的几点说明式中式中在右半在右半s s平面内的极点数平面内的极点数如果函数如果函数)()(sHsG在右半在右半s s平面内无任何极点，则平面内无任何极点，则RZ 因此，为了保证系统稳定，因此，为了保证系统稳定，)()(jHjG的轨迹必须不包围的轨迹必须不包围-1+-1+j0j0点。点。)()(sHsG第十九页，讲稿共三十一页哦205.4.55.4.5)()(sHsG含有位于原点上极点和含有位于原点上极点和/ /或零点的特殊情况或零点的特殊情况平面sj0j0j j j1ABC平面GHReIm,FEDFEDABC00变量变量沿着沿着j轴从轴从 j运动到运动到0j，从，从0j
19、到到0j，变量，变量s沿着半径为沿着半径为1）的半圆运动，再沿着正）的半圆运动，再沿着正j轴从轴从0 j运动到运动到j（) 1()()(TssKsHsGs运动时运动时，最后顺时针沿无穷大半圆运动。，最后顺时针沿无穷大半圆运动。第二十页，讲稿共三十一页哦21对于包含因子对于包含因子1,1,2,s的开环传递函数的开环传递函数)()(sHsG，当变量，当变量s s沿半径为沿半径为(1) )的半圆运动时，的半圆运动时，)()(sHsG的图形中将有的图形中将有个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。个半径为无穷大的顺时针方向的半圆环绕原点。) 1()()(2TssKsHsGjes jeseKsHsGj
20、22)()(lim当当s s平面上的平面上的9090时，时，)()(sHsG的相角的相角180180例如，考虑开环传递函数：例如，考虑开环传递函数：第二十一页，讲稿共三十一页哦22例例5-3 5-3 设闭环系统的开环传递函数为：设闭环系统的开环传递函数为：) 1)(1()()(21sTsTKsHsG)()(jHjG的轨迹如图的轨迹如图5-415-41所示。所示。)()(sHsG在右半在右半s s平面内没有任何极点，即平面内没有任何极点，即P=0P=0，并且，并且的轨迹的轨迹不包围不包围01j，所以对于任何的，所以对于任何的K K值，该系统都是稳定的。值，该系统都是稳定的。)()(jHjGZ=R
21、+P=0+0=0，即，即R=0R=0第二十二页，讲稿共三十一页哦23Nyquist DiagramReal AxisImaginary Axis-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-0.6-0.4-0.200.20.40.6例例5-35-3中的中的)()(jGjH极坐标图极坐标图 第二十三页，讲稿共三十一页哦24例例5-4 5-4 设系统具有下列开环传递函数：设系统具有下列开环传递函数：) 1)(1()()(21sTsTsKsHsG试确定以下两种情况下，闭环系统的稳定性：试确定以下两种情况下，闭环系统的稳定性：增益增益K K较小较小增益增益K K较大。较大。平面GH
22、ReIm001000ZRP平面GHReIm001220ZRPjjjj00小小K K值时系统是稳定的值时系统是稳定的 大大K值时是不稳定的值时是不稳定的 第二十四页，讲稿共三十一页哦25例例5-5 5-5 设开环传递函数为：设开环传递函数为：)1()1()()(122sTssTKsHsG该系统的闭环稳定性取决于该系统的闭环稳定性取决于1T和和2T相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。相对大小。试画出该系统的奈奎斯特图，并确定系统的稳定性。ReIm00121TT 平面GH平面GHReIm00121TT 点矢量穿过01)()(jjHjG 21TT )()(sGsH的轨迹不包围的轨迹
23、不包围01j系统是稳定的系统是稳定的21TT )()(sGsH的轨迹通过的轨迹通过01j这表明闭环极点位于虚轴上这表明闭环极点位于虚轴上j1）2）点，点，第二十五页，讲稿共三十一页哦26平面GHReIm00121TT 21TT )()(sHsG的轨迹顺时针方向包围的轨迹顺时针方向包围01j点两次，因此系统有两个闭点两次，因此系统有两个闭环极点位于右半环极点位于右半s s平面，系统平面，系统是不稳定的。是不稳定的。 3）第二十六页，讲稿共三十一页哦27例例5-6 5-6 设一个系统具有下列设一个系统具有下列) 1()()(TssKsHsG试确定该闭环系统的稳定性。试确定该闭环系统的稳定性。平面G
24、HReIm100开环传递函数：开环传递函数：)()(sGsH在右半在右半s s平面内有一个极点平面内有一个极点Ts1) )，因此，因此1P图图5-445-44中的奈奎斯特图表明，中的奈奎斯特图表明，)()(sGsH轨迹顺时针方向包围轨迹顺时针方向包围01j点一次，点一次，1R因此因此2PRZ在右半在右半s s平面，因此系统是不稳定的。平面，因此系统是不稳定的。( (。这表明闭环系统有两个极点。这表明闭环系统有两个极点第二十七页，讲稿共三十一页哦28例例5-7 5-7 设一个闭环系统具有下列开环传递函数：设一个闭环系统具有下列开环传递函数：试确定该闭环系统的稳定性。试确定该闭环系统的稳定性。1,
25、) 1()3()()(KsssKsHsG平面GHReIm001)()(jGjH极坐标图极坐标图)()(sGsH在右半在右半s s平面内有一个极点平面内有一个极点1s) )，因此。开环系统是不稳定的。，因此。开环系统是不稳定的。1P)()(sGsH轨迹逆时针方向包围轨迹逆时针方向包围01 j点一次，因此，点一次，因此，1R因为因为0PRZ，这说明，这说明)()(1sGsH这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。这是一个开环系统不稳定，但是回路闭合后，变成稳定系统的例子。 (没有零点位于右半没有零点位于右半s s平面内，闭环系统闭环系统是稳定的。平面内，闭环系统闭环系统是稳定的
26、。第二十八页，讲稿共三十一页哦29 例例5-85-8系统结构图如右：试判断闭系统结构图如右：试判断闭环系统的稳定性并讨论稳定性和环系统的稳定性并讨论稳定性和k k的关系。的关系。1sk-)(sR)(sC 解解 ：开环系统奈氏图是：开环系统奈氏图是一个半径为一个半径为 ，圆心在，圆心在 的圆。显然，的圆。显然，k=1k=1时，时，包围包围(-1,j0)(-1,j0)点，点，k1k1k1时，时，奈氏曲线逆时针包围奈氏曲线逆时针包围 (-1,j0)(-1,j0)点一圈，点一圈，R=-1R=-1，而，而 ，则则 闭环系统是稳闭环系统是稳定的。定的。1P0PNZ第二十九页，讲稿共三十一页哦30当当k=1
27、k=1时，奈氏曲线通过时，奈氏曲线通过(-1,j0)(-1,j0)点，属临界稳定状态。点，属临界稳定状态。当当k1k1时，奈氏曲线不包围时，奈氏曲线不包围(-1,j0)(-1,j0)点，点，R=0R=0， ，所以，所以 ，闭环系，闭环系统不稳定。统不稳定。1P1Z第三十页，讲稿共三十一页哦31小小 结结v 柯西幅角定理。满足该定理的条件。柯西幅角定理。满足该定理的条件。R=Z-PR=Z-Pv 辅助方程。其极点为开环极点，其零点为闭环极点。辅助方程。其极点为开环极点，其零点为闭环极点。v 奈奎斯特稳定判据。奈奎斯特稳定判据。v 对数频率特性图和奈奎斯特频率特性图的关系。对数频率特性图和奈奎斯特频率特性图的关系。第三十一页，讲稿共三十一页哦