主成份分析因子分析讲稿.ppt

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1、关于主成份分析因子分析zf第一页，讲稿共一百零五页哦zf2因子分析的重点因子分析的重点v1 1、什么是因子分析？、什么是因子分析？v2 2、理解因子分析的基本思想、理解因子分析的基本思想v3 3、因子分析的数学模型以及模型中公共因子、因、因子分析的数学模型以及模型中公共因子、因子载荷变量共同度的统计意义子载荷变量共同度的统计意义v4 4、因子旋转的意义、因子旋转的意义 v5 5、结合、结合SPSSSPSS软件进行案例分析软件进行案例分析第二页，讲稿共一百零五页哦zf36.1 6.1 因子分析的基本理论因子分析的基本理论v1 1、什么是因子分析？、什么是因子分析？ 因子分析是主成分分析的推广，也

2、是利用因子分析是主成分分析的推广，也是利用降维降维的思的思想，由研究原始变量相关矩阵或协方差矩阵的内部依赖关系出想，由研究原始变量相关矩阵或协方差矩阵的内部依赖关系出发，把一些具有错综复杂关系的多个变量归结为少数几个综合发，把一些具有错综复杂关系的多个变量归结为少数几个综合因子的一种多元统计分析方法。因子的一种多元统计分析方法。v2 2、因子分析的基本思想：、因子分析的基本思想： 把每个研究变量分解为几个影响因素变量，将每个原始变把每个研究变量分解为几个影响因素变量，将每个原始变量分解成两部分因素，一部分是由所有变量共同具有的少数几量分解成两部分因素，一部分是由所有变量共同具有的少数几个个公共

3、因子公共因子组成的，另一部分是每个变量独自具有的因素，即组成的，另一部分是每个变量独自具有的因素，即特殊因子特殊因子。第三页，讲稿共一百零五页哦zf4v3 3、因子分析的目的：、因子分析的目的：l因子分析的目的之一，因子分析的目的之一，简化变量维数。简化变量维数。即要使因素结构简即要使因素结构简单化，希望以最少的共同因素（公共因子），能对总单化，希望以最少的共同因素（公共因子），能对总变异量作最大的解释，因而抽取得因子愈少愈好，但变异量作最大的解释，因而抽取得因子愈少愈好，但抽取因子的累积解释的变异量愈大愈好。抽取因子的累积解释的变异量愈大愈好。l在因子分析的公共因子抽取中，应最先抽取特征值最

4、大在因子分析的公共因子抽取中，应最先抽取特征值最大的公共因子，其次是次大者，最后抽取公共因子的特征的公共因子，其次是次大者，最后抽取公共因子的特征值最小值最小 通常会接近通常会接近0 0。第四页，讲稿共一百零五页哦zf5v例：在企业形象或品牌形象的研究中，消费者可以通过一个有例：在企业形象或品牌形象的研究中，消费者可以通过一个有2424个指标构成的个指标构成的评价体系，评价百货商场的评价体系，评价百货商场的2424个方面的优劣。个方面的优劣。v但消费者主要关心的是三个方面，即商店的环境、商店的服务和商品的价格。但消费者主要关心的是三个方面，即商店的环境、商店的服务和商品的价格。因子分析方法可以

5、通过因子分析方法可以通过2424个变量，找出反映商店环境、商店服务水平和商品价个变量，找出反映商店环境、商店服务水平和商品价格的三个潜在的因子，对商店进行综合评价。而这三个公共因子可以表示为：格的三个潜在的因子，对商店进行综合评价。而这三个公共因子可以表示为：v称称 是不可观测的潜在因子是不可观测的潜在因子, ,称为公共因子。称为公共因子。2424个变量共享这三个变量共享这三个因子，但是每个变量又有自己的个性，不被包含的部分个因子，但是每个变量又有自己的个性，不被包含的部分 ，称为特殊因子。称为特殊因子。iiiiiiFFFx332211321FFF、i第五页，讲稿共一百零五页哦zf6v4 4、

6、主成分分析分析与因子分析的联系和差异：、主成分分析分析与因子分析的联系和差异： 联系：联系：（1 1）因子分析是主成分分析的推广，是主成分分析的逆问题。（）因子分析是主成分分析的推广，是主成分分析的逆问题。（2 2）二）二者都是以者都是以降维降维为目的，都是从协方差矩阵或相关系数矩阵出发。为目的，都是从协方差矩阵或相关系数矩阵出发。 区别区别：（1 1）主成分分析模型是原始变量的线性组合，是将原始变量加以综合、归主成分分析模型是原始变量的线性组合，是将原始变量加以综合、归纳，仅仅是变量变换；而因子分析是将原始变量加以分解，描述原始变量协方差矩纳，仅仅是变量变换；而因子分析是将原始变量加以分解，

7、描述原始变量协方差矩阵结构的模型；只有当提取的公因子个数等于原始变量个数时，因子分析才对应变阵结构的模型；只有当提取的公因子个数等于原始变量个数时，因子分析才对应变量变换。（量变换。（2 2）主成分分析，中每个主成分对应的系数是唯一确定的；因子分析中每）主成分分析，中每个主成分对应的系数是唯一确定的；因子分析中每个因子的相应系数即因子载荷不是唯一的。（个因子的相应系数即因子载荷不是唯一的。（3 3）因子分析中因子载荷的不唯一性有）因子分析中因子载荷的不唯一性有利于对公因子进行有效解释；而主成分分析对提取的主成分的解释能力有限。利于对公因子进行有效解释；而主成分分析对提取的主成分的解释能力有限。

8、 第六页，讲稿共一百零五页哦zf7v5 5、因子分析模型：、因子分析模型： 设设 个变量，如果表示为个变量，如果表示为iX), 2 , 1(pip11iiiimmiXa Fa F)(pm 11111211122212222212mmpppppmpmXFXFXF或XAF或第七页，讲稿共一百零五页哦zf8（1 1）（2 2） 称为称为 公共因子，是不可观测的变量，他公共因子，是不可观测的变量，他们的系数称为因子载荷。们的系数称为因子载荷。 是特殊因子，是不能被前是特殊因子，是不能被前m m个公共因子包含的部分。其中：个公共因子包含的部分。其中：mFFF,21icov( , )0,F,F相互独立即不

9、相关；相互独立即不相关；IFD111)(mFFF,21即即 互不相关，方差为互不相关，方差为1 1。第八页，讲稿共一百零五页哦zf9（3 3）22221)(pD即互不相关，方差不一定相等，即互不相关，方差不一定相等， 。满足以上条件的，称为满足以上条件的，称为正交因子模型正交因子模型如果（）不成立，即如果（）不成立，即 各公共因子之间不独立，各公共因子之间不独立，则因子分析模型为则因子分析模型为斜交因子模型斜交因子模型), 0(2iiNIFD)(第九页，讲稿共一百零五页哦zf10公因子公因子F1公因子公因子F2共同度共同度hi特殊因子特殊因子ix1=代数代数10.8960.3410.9190.

10、081x2=代数代数20.8020.4960.8890.111x3=几何几何0.5160.8550.9970.003x4=三角三角0.8410.4440.9040.096x5=解析几何解析几何0.8330.4340.8820.118特征值特征值 G3.1131.4794.9590.409方差贡献率方差贡献率（变异量）（变异量）62.26%29.58%91.85%因子分析案例因子分析案例F F1 1 体现逻辑思维和运算能力，体现逻辑思维和运算能力，F F2 2 体现空间思维和推理能力体现空间思维和推理能力第十页，讲稿共一百零五页哦zf11v6 6、因子分析模型中的几个重要统计量的意义：、因子分析

11、模型中的几个重要统计量的意义：（1 1）因子负荷量（或称因子载荷）因子负荷量（或称因子载荷）-是指因子结构中原是指因子结构中原始变量与因子分析时抽取出的公共因子的相关程度。始变量与因子分析时抽取出的公共因子的相关程度。imim2i21i1*iFFFxijijm1ijm1ij*i Fj),cov()F,cov( )F,cov()F,Cov(xkikikikFF)var(*)var()*,cov(rijjijiFxFxr第十一页，讲稿共一百零五页哦zf12 在各公共因子不相关的前提下，在各公共因子不相关的前提下， （载荷矩阵中第（载荷矩阵中第i i行，第行，第j j列的元素）列的元素）是随机变量是

12、随机变量xi*与公共因子与公共因子F Fj j的相关的相关系数，系数，表示表示x xi i* *依赖于依赖于F Fj j的程度。的程度。反映了第反映了第i i个原始变个原始变量在第量在第j j个公共因子上的相对重要性。因此个公共因子上的相对重要性。因此 绝对值越绝对值越大，则公共因子大，则公共因子F Fj j与原有变量与原有变量x xi i的关系越强。的关系越强。ijij第十二页，讲稿共一百零五页哦zf13（2 2）共同度共同度-又称共性方差或公因子方差又称共性方差或公因子方差（community或或common variance）就是变量与每个公共因子之负荷量的平方总和就是变量与每个公共因子

13、之负荷量的平方总和（一行中所有因素负荷量的平方和）。变量（一行中所有因素负荷量的平方和）。变量 的共同度是因子载荷矩的共同度是因子载荷矩阵的第阵的第i i行的元素的平方和。记为行的元素的平方和。记为 从共同性的大小可以判断这个原始实测变量与公共因子间之从共同性的大小可以判断这个原始实测变量与公共因子间之关系程度。如因子分析案例中关系程度。如因子分析案例中 共同度共同度h h1 12 2=(0.896)=(0.896)平方平方+(0.341)+(0.341)平方平方=0.919=0.919o特殊因子方差（剩余方差）特殊因子方差（剩余方差）-各变量的特殊因素影响大小就是各变量的特殊因素影响大小就是

14、1 1减掉减掉该变量共同度的值。如该变量共同度的值。如 =1- 0.919 = 0.081=1- 0.919 = 0.081iX。mjijiah1222i第十三页，讲稿共一百零五页哦zf14统计意义统计意义：imimiiFaFaX11*两边求方差两边求方差 )()()()(2112imimiiVarFVaraFVaraXVar221221iimjiijha 所有的公共因子和特殊因子对变量所有的公共因子和特殊因子对变量 的贡献为的贡献为1 1。 h hi i2 2反映了全部公共因子对反映了全部公共因子对变量变量X Xi i* *的影响，是全部公共因子对变量方差所做出的贡献，或者说的影响，是全部公

15、共因子对变量方差所做出的贡献，或者说X Xi i* *对公共因对公共因子的共同依赖程度，称为公共因子对变量子的共同依赖程度，称为公共因子对变量X Xi i* *的方差贡献。的方差贡献。 H Hi i2 2接近于接近于1 1，表明该变量的原始信息几乎都被选取的公共因子说明了。，表明该变量的原始信息几乎都被选取的公共因子说明了。 特殊因子的方差，反映了原有变量方差中无法被公共因子描述的比例。特殊因子的方差，反映了原有变量方差中无法被公共因子描述的比例。*iX2i第十四页，讲稿共一百零五页哦zf15（3 3）特征值特征值-是第是第j j个公共因子个公共因子F Fj j对于对于X X* *的每一分量的

16、每一分量X Xi i* *所提供的方差所提供的方差的总和。又称第的总和。又称第j j个公共因子的方差贡献。即个公共因子的方差贡献。即每个变量与某一共同因每个变量与某一共同因素之因素负荷量的平方总和素之因素负荷量的平方总和（因子载荷矩阵中某一公共因子列所有因（因子载荷矩阵中某一公共因子列所有因子负荷量的平方和）。子负荷量的平方和）。 如因子分析案例中如因子分析案例中 F1F1的特征值的特征值 G=G=（0.8960.896）平方平方+ +（0.8020.802）平方）平方+ +（0.5160.516）平方）平方+ +（0.8410.841）平方）平方+ +（0.8330.833）平方）平方=3.

17、113=3.113（4 4）方差贡献率）方差贡献率-指公共因子对实测变量的贡献，又称变异量指公共因子对实测变量的贡献，又称变异量 方差贡献率方差贡献率= =特征值特征值G/G/实测变量数实测变量数p p， 是衡量公共因子相对重要性的指标，是衡量公共因子相对重要性的指标，G Gi i越大，表明公共因子越大，表明公共因子F Fj j对对X X* *的贡的贡献越大，该因子的重要程度越高献越大，该因子的重要程度越高 如因子分析案例中如因子分析案例中 F1F1的贡献率为的贡献率为3.113/5=62.26%3.113/5=62.26%第十五页，讲稿共一百零五页哦zf166.2 6.2 因子的基本内容因子

18、的基本内容v1 1、因子分析的基本步骤：、因子分析的基本步骤：（1 1）因子分析的前提条件鉴定）因子分析的前提条件鉴定 考察原始变量之间是否存在较强的相关关系，是否适合进行因考察原始变量之间是否存在较强的相关关系，是否适合进行因子分析。因为：子分析。因为： 因子分析的主要任务之一就是对原有变量中信息重叠的部分提因子分析的主要任务之一就是对原有变量中信息重叠的部分提取和综合成因子，最终实现减少变量个数的目的。所以要求原有取和综合成因子，最终实现减少变量个数的目的。所以要求原有变量之间应存在较强的相关关系。否则，如果原有变量相互独立，变量之间应存在较强的相关关系。否则，如果原有变量相互独立，不存在

19、信息重叠，也就无需进行综合和因子分析。不存在信息重叠，也就无需进行综合和因子分析。（2 2）因子提取）因子提取 研究如何在样本数据的基础上提取综合因子。研究如何在样本数据的基础上提取综合因子。第十六页，讲稿共一百零五页哦zf17（3 3）因子旋转）因子旋转 通过正交旋转或斜交旋转使提取出的因子具有可解释通过正交旋转或斜交旋转使提取出的因子具有可解释性。性。（4 4）计算因子得分）计算因子得分 通过各种方法求解各样本在各因子上的得分，为进一步通过各种方法求解各样本在各因子上的得分，为进一步分析奠定基础。分析奠定基础。第十七页，讲稿共一百零五页哦zf18v2 2、因子分析前提条件、因子分析前提条件

20、相关性分析：相关性分析：分析方法主要有：分析方法主要有：（1 1）计算相关系数矩阵）计算相关系数矩阵( (correlation correlation coefficients matrix)coefficients matrix) 如果相关系数矩阵中的大部分相关系数值如果相关系数矩阵中的大部分相关系数值均小于均小于0.30.3，即各变量间大多为弱相关，原，即各变量间大多为弱相关，原则上这些变量不适合进行因子分析。则上这些变量不适合进行因子分析。（2 2）计算反映象相关矩阵（）计算反映象相关矩阵（Anti-image Anti-image correlation matrix)correla

21、tion matrix)第十八页，讲稿共一百零五页哦zf19 反映象相关矩阵，如果其主对角线外的元素大多绝对值较小，反映象相关矩阵，如果其主对角线外的元素大多绝对值较小，对角线上的元素值较接近对角线上的元素值较接近1 1，则说明这些变量的相关性较强，适，则说明这些变量的相关性较强，适合进行因子分析。合进行因子分析。 其中主对角线上的元素为某变量的其中主对角线上的元素为某变量的MSA(Measure of Sample MSA(Measure of Sample Adequacy)Adequacy)： 是变量是变量 和变量和变量 （ ）间的简单相关系数，是变量间的简单相关系数，是变量 和变量和变

22、量 （ ）在控制了其他变量影响下的偏相关系数，即净相在控制了其他变量影响下的偏相关系数，即净相关系数。关系数。 取值在取值在0 0和和1 1之间，越接近之间，越接近1 1，意味着变量，意味着变量 与其他与其他变量间的相关性越强，越接近变量间的相关性越强，越接近0 0则相关性越弱。则相关性越弱。ijijijijijijiprrMSA222ijrixjxijijpixjxijiMSAix第十九页，讲稿共一百零五页哦zf20（3 3）巴特利特球度检验（）巴特利特球度检验（Bartlett test of sphericity)Bartlett test of sphericity) 该检验以原有变量

23、的相关系数矩阵为出发点，其零假设该检验以原有变量的相关系数矩阵为出发点，其零假设H0H0是：是：相关系数矩阵为单位矩阵，即相关系数矩阵主对角元素均为相关系数矩阵为单位矩阵，即相关系数矩阵主对角元素均为1 1，非主对角元素均为非主对角元素均为0 0。（即原始变量之间无相关关系）。（即原始变量之间无相关关系）。 依据相关系数矩阵的行列式计算可得其近似服从卡方分布。依据相关系数矩阵的行列式计算可得其近似服从卡方分布。如果统计量卡方值较大且对应的如果统计量卡方值较大且对应的sigsig值小于给定的显著性水平值小于给定的显著性水平a a时，时，零假设不成立。即说明相关系数矩阵不太可能是单位矩阵，变零假设

24、不成立。即说明相关系数矩阵不太可能是单位矩阵，变量之间存在相关关系，适合做因子分析。量之间存在相关关系，适合做因子分析。第二十页，讲稿共一百零五页哦zf21（4 4）KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)KMO(Kaiser-Meyer-Olkin)检验检验 KMOKMO检验的统计量是用于比较变量间简单相关系数矩阵和偏相关系数检验的统计量是用于比较变量间简单相关系数矩阵和偏相关系数的指标，数学定义为：的指标，数学定义为： KMO KMO与与MSAMSA区别是它将相关系数矩阵中的所有元素都加入到了平方区别是它将相关系数矩阵中的所有元素都加入到了平方和计算中。和计算中。KMOKMO值越接近

25、值越接近1 1，意味着变量间的相关性越强，原有变，意味着变量间的相关性越强，原有变量适合做因子分析；越接近量适合做因子分析；越接近0 0，意味变量间的相关性越弱，越不，意味变量间的相关性越弱，越不适合作因子分析。适合作因子分析。 KaiserKaiser给出的给出的KMOKMO度量标准：度量标准：0.90.9以上非常适以上非常适合；合；0.80.8表示适合；表示适合；0.70.7表示一般；表示一般；0.60.6表示不太适合；表示不太适合；0.50.5以下表以下表示极不适合。示极不适合。ijijijijijijiprrKMO222第二十一页，讲稿共一百零五页哦zf22v3 3、因子提取和因子载荷

26、矩阵的求解：、因子提取和因子载荷矩阵的求解：因子载荷矩阵求解的方法：因子载荷矩阵求解的方法： （1 1）基于主成分模型的主成分分析法）基于主成分模型的主成分分析法 （2 2）基于因子分析模型的主轴因子法）基于因子分析模型的主轴因子法 （3 3）极大似然法极大似然法 （4 4）最小二乘法）最小二乘法 （5 5）a a因子提取法因子提取法 （6 6）映象分析法）映象分析法第二十二页，讲稿共一百零五页哦zf23（1 1）基于主成分模型的主成分分析法）基于主成分模型的主成分分析法Principal Principal componentscomponents 设随机向量 的均值为 ，协方差为 , ,

27、为的特征根， 为对应的标准化特征向量，则pxxx,21x021pp21u,u,u12p = UUAA +D第二十三页，讲稿共一百零五页哦zf24o上式给出的上式给出的 表达式是精确的，然而，它实际上是毫无价值表达式是精确的，然而，它实际上是毫无价值的，因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子解释，故略的，因为我们的目的是寻求用少数几个公共因子解释，故略去后面的去后面的p-mp-m项的贡献，有：项的贡献，有：p2uuuuuuppp21122111100p212ppuuuuuu21111mmmmmmp1122ppu uu uu uuuu u第二十四页，讲稿共一百零五页哦zf25o上式有一个假定，模型

28、中的特殊因子是不重要的，因而从上式有一个假定，模型中的特殊因子是不重要的，因而从 的的分解中忽略了特殊因子的方差。分解中忽略了特殊因子的方差。12 mmm1122AA + Du uu uu uD22212(,)pdiagD其中221miiiijjsa1121122 mmp mpmmp2uuuuuDAADu第二十五页，讲稿共一百零五页哦zf26 例例: : 假定某地固定资产投资率假定某地固定资产投资率 ，通货膨胀率，通货膨胀率 ，失业，失业率率 ，相关系数矩阵为，相关系数矩阵为试用主成分分析法求因子分析模型。试用主成分分析法求因子分析模型。1x2x3x15/ 25/ 15/ 215/ 15/ 1

29、5/ 11第二十六页，讲稿共一百零五页哦zf27(1)(1)求解特征根求解特征根(2)(2)求解特征向量：求解特征向量：(3)(3)因子载荷矩阵：因子载荷矩阵：55. 11 85. 02 6 . 03 6 . 0707. 085. 0331. 055. 1629. 06 . 0707. 085. 0331. 055. 1629. 0085. 0883. 055. 1475. 0A707. 0331. 0629. 0707. 0331. 0629. 00883. 0475. 0U548. 0305. 0783. 0548. 0305. 0783. 00814. 0569. 0第二十七页，讲稿共一

30、百零五页哦zf28(4)(4)因子分析模型：因子分析模型： 可取前两个因子可取前两个因子F1F1和和F F2 2为公共因子，第一公因子为公共因子，第一公因子F F1 1物价就业因物价就业因子，对子，对X X的贡献为的贡献为1.551.55。第一公因子。第一公因子F F2 2为投资因子，对为投资因子，对X X的贡献为的贡献为0.850.85。共同度分别为。共同度分别为1 1，0.7060.706，0.7060.706。211814. 0569. 0FFx3212548. 0305. 0783. 0FFFx3213548. 0305. 0783. 0FFFx第二十八页，讲稿共一百零五页哦zf29（

31、2 2）基于因子分析模型的主轴因子法）基于因子分析模型的主轴因子法Principal axis Principal axis factoringfactoring 是对主成分方法的修正，假定我们首先对变量进行标准化变换。是对主成分方法的修正，假定我们首先对变量进行标准化变换。则则 R=AA+DR=AA+D R R* *=AA=R-D=AA=R-D称称R R* *为约相关矩阵，为约相关矩阵，R R* *对角线上的元素是对角线上的元素是 , ,而不是而不是1 1。2ih第二十九页，讲稿共一百零五页哦zf30 直接求直接求R R* *的前的前p p个特征根和对应的正交特征向量。个特征根和对应的正交特

32、征向量。得如下的矩阵：得如下的矩阵：2112122122212ppppphrrrhrRrrhR-D*1122ppAuuu*10pR特征根：*12,pu uu正交特征向量：第三十页，讲稿共一百零五页哦zf31当特殊因子当特殊因子 的方差已知：的方差已知：i21222pRR*11*221122*ppppuuuuuu*1122mmAuuu2121100phhD第三十一页，讲稿共一百零五页哦zf32方差矩阵未知，估计的方法有如下几种：方差矩阵未知，估计的方法有如下几种： 1 1）取）取 ，在这个情况下主因子解与主成分解等价；，在这个情况下主因子解与主成分解等价； 2 2）取）取 ， 为为x xi i与

33、其他所有的原始变量与其他所有的原始变量x xj j的复相关系数的平方，的复相关系数的平方，即即x xi i对其余的对其余的p-1p-1个个x xj j的回归方程的判定系数，这是因为的回归方程的判定系数，这是因为x xi i 与公共因子与公共因子的关系是通过其余的的关系是通过其余的p-1p-1个个x xj j 的线性组合联系起来的；的线性组合联系起来的； 3 3）取）取 ，这意味着取，这意味着取x xi i与其余的与其余的x xj j的简单相关的简单相关系数的绝对值最大者；系数的绝对值最大者；12ih22iiRh 2iR)( |max2ijrhiji第三十二页，讲稿共一百零五页哦zf33 4 4

34、）取）取 ，其中要求该值为正数。，其中要求该值为正数。 5 5）取）取 ，其中，其中 是是 的对角元素。的对角元素。pjijijirph, 1211iiirh/12iir1R第三十三页，讲稿共一百零五页哦zf34 例：例：假定某地固定资产投资率假定某地固定资产投资率 ，通货膨胀率，通货膨胀率 ，失业率，失业率 ，相关系数矩阵为，相关系数矩阵为试用主因子分析法求因子分析模型。假定用试用主因子分析法求因子分析模型。假定用代替初始的代替初始的 。 。1x2x3x15/25/15/215/15/15/11)( |max2ijrhiji2ih52, 1,51232221hhh221251111515/2

35、5/25/15/215/15/15/15/1*R第三十四页，讲稿共一百零五页哦zf35（1 1）求解特征根：）求解特征根：（2 2）对应的非）对应的非0 0特征向量：特征向量：（3 3）因子载荷矩阵表：）因子载荷矩阵表：9123. 010877. 0203261. 0657. 0261. 0657. 0929. 0369. 00877. 0261. 09123. 0657. 00877. 0261. 09123. 0657. 00877. 0929. 09123. 0369. 0077. 0628. 0077. 0628. 0275. 0352. 0第三十五页，讲稿共一百零五页哦zf36（4

36、4）因子分析模型：）因子分析模型：（5 5）新的共同度：）新的共同度：1211275. 0352. 0FFx2212077. 0625. 0FFx3211077. 0682. 0FFx18129. 0275. 0352. 02221h3966. 0077. 0625. 02222h4710. 0077. 0682. 02223h第三十六页，讲稿共一百零五页哦zf37v4 4、因子旋转：、因子旋转：为什么要旋转因子？为什么要旋转因子？ 建立了因子分析数学目的不仅仅要找出公共因子以及对变量建立了因子分析数学目的不仅仅要找出公共因子以及对变量进行分组，更重要的要知道每个公共因子的意义，以便进行进进行

37、分组，更重要的要知道每个公共因子的意义，以便进行进一步的分析，如果每个公共因子的含义不清，则不便于进行实一步的分析，如果每个公共因子的含义不清，则不便于进行实际背景的解释。际背景的解释。由于因子载荷阵是不惟一的，所以应该对因由于因子载荷阵是不惟一的，所以应该对因子载荷阵进行旋转。子载荷阵进行旋转。目的是目的是使每个变量在尽可能少的因子上使每个变量在尽可能少的因子上有比较高的载荷，让某个变量在某个因子上的载荷趋于有比较高的载荷，让某个变量在某个因子上的载荷趋于1 1，而在其他因子上的载荷趋于而在其他因子上的载荷趋于0 0。即：。即：使载荷矩阵每列或行的使载荷矩阵每列或行的元素平方值向元素平方值向

38、0 0和和1 1两极分化。两极分化。第三十七页，讲稿共一百零五页哦zf38奥运会十项全能运动项目奥运会十项全能运动项目得分数据的因子分析得分数据的因子分析 百米跑成绩百米跑成绩 跳远成绩跳远成绩 铅球成绩铅球成绩 跳高成绩跳高成绩 400 400米跑成绩米跑成绩 百米跨栏百米跨栏 铁饼成绩铁饼成绩 撑杆跳远成绩撑杆跳远成绩 标枪成绩标枪成绩 1500 1500米跑成绩米跑成绩 1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X第三十八页，讲稿共一百零五页哦zf39102. 017. 002. 001. 039. 018. 008. 009. 007. 0124. 034. 018. 013. 017.

39、 044. 021. 011. 0124. 033. 023. 039. 024. 036. 020. 0132. 017. 027. 073. 031. 028. 0134. 046. 036. 052. 040. 0129. 019. 049. 063. 0138. 051. 034. 0142. 035. 0159. 01第三十九页，讲稿共一百零五页哦zf40因因子子载载荷荷矩矩阵阵 因子载荷矩阵可以看出，除第一因子在所有的变量在公共因子上有较大的正载荷，因子载荷矩阵可以看出，除第一因子在所有的变量在公共因子上有较大的正载荷，可以称为一般运动因子。其他的可以称为一般运动因子。其他的3 3

40、个因子不太容易解释。似乎是跑和投掷的能力对比，个因子不太容易解释。似乎是跑和投掷的能力对比，似乎是长跑耐力和短跑速度的对比。于是考虑旋转因子，得下表似乎是长跑耐力和短跑速度的对比。于是考虑旋转因子，得下表变量共同度0.6910.217-0.58-0.2060.840.7890.184-0.1930.0920.70.7020.5350.047-0.1750.80.6740.1340.1390.3960.650.620.551-0.084-0.4190.870.6870.042-0.1610.3450.620.621-0.5210.109-0.2340.720.5380.0870.4110.440

41、.660.434-0.4390.372-0.2350.570.1470.5960.658-0.2790.891F2F3F4F1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X第四十页，讲稿共一百零五页哦zf41变量共同度0.844*0.1360.156-0.1130.840.631*0.1940.515*-0.0060.70.2430.825*0.223-0.1480.810.2390.150.750*0.0760.650.797*0.0750.1020.4680.870.4040.1530.635*-0.170.620.1860.814*0.147-0.0790.72-0.0360.1760.762

42、*0.2170.66-0.0480.735*0.110.1410.570.045-0.0410.1120.934*0.891F2F3F4F1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X旋转变幻后因子载荷矩阵旋转变幻后因子载荷矩阵第四十一页，讲稿共一百零五页哦zf42 通过旋转，因子有了较为明确的含义。通过旋转，因子有了较为明确的含义。 百米跑，百米跑， 跳远和跳远和 400 400米跑，需要爆发力的项目在米跑，需要爆发力的项目在 有较大的载荷，有较大的载荷， 可以可以称为短跑速度因子；称为短跑速度因子； 铅球，铅球， 铁饼和铁饼和 标枪在标枪在 上有较大的载荷，可以称为上有较大的载荷，可以称为爆发

43、性臂力因子；爆发性臂力因子； 百米跨栏，百米跨栏， 撑杆跳远，撑杆跳远， 跳远和为跳远和为 跳高在跳高在 上有较大的载上有较大的载荷，荷， 爆发腿力因子；爆发腿力因子； 长跑耐力因子。长跑耐力因子。2X5X1F1F3X7X9X2F6X8X2X4X3F3F4F1X第四十二页，讲稿共一百零五页哦zf43 旋转的方法旋转的方法有：有：（1 1）正交旋转；（）正交旋转；（2 2）斜交旋转）斜交旋转（1 1）正交旋转）正交旋转 由初始载荷矩阵由初始载荷矩阵A A左乘一正交矩阵得到；左乘一正交矩阵得到；目的是新的载荷系数目的是新的载荷系数尽可能的接近于尽可能的接近于0 0或尽可能的远离或尽可能的远离0 0

44、；只是在；只是在旋转后的新的公因旋转后的新的公因子仍保持独立性。主要有以下方法：子仍保持独立性。主要有以下方法：varimax:varimax:方差最大旋转。简化对因子的解释方差最大旋转。简化对因子的解释quartmax:quartmax:四次最大正交旋转。简化对变量的解释四次最大正交旋转。简化对变量的解释equamax:equamax:等量正交旋转等量正交旋转第四十三页，讲稿共一百零五页哦zf44A A、方差最大法方差最大法 方差最大法从简化因子载荷矩阵的每一方差最大法从简化因子载荷矩阵的每一列列出发，使和每个因出发，使和每个因子有关的载荷的平方的方差最大。当只有少数几个变量在某个因子子有关

45、的载荷的平方的方差最大。当只有少数几个变量在某个因子上有较高的载荷时，对因子的解释最简单。上有较高的载荷时，对因子的解释最简单。方差最大的直观意义是方差最大的直观意义是希望通过因子旋转后，使每个因子上的载荷尽量拉开距离，一部分希望通过因子旋转后，使每个因子上的载荷尽量拉开距离，一部分的载荷趋于的载荷趋于 1 1，另一部分趋于，另一部分趋于0 0。第四十四页，讲稿共一百零五页哦zf45B B、四次方最大旋转四次方最大旋转 四次方最大旋转是从简化载荷矩阵的四次方最大旋转是从简化载荷矩阵的行行出发，通过旋转初始出发，通过旋转初始因子，使每个变量只在一个因子上有较高的载荷，而在其它因子，使每个变量只在

46、一个因子上有较高的载荷，而在其它的因子上尽可能低的载荷。如果每个变量只在一个因子上有的因子上尽可能低的载荷。如果每个变量只在一个因子上有非零的载荷，这时的因子解释是最简单的。非零的载荷，这时的因子解释是最简单的。 四次方最大法通过使因子载荷矩阵中每一行的因子载荷平方的方四次方最大法通过使因子载荷矩阵中每一行的因子载荷平方的方差达到最大。差达到最大。第四十五页，讲稿共一百零五页哦zf46C C、等量最大法等量最大法 等量最大法把四次方最大法和方差最大法结合起来求行和等量最大法把四次方最大法和方差最大法结合起来求行和列因子载荷平方的方差的加权平均最大。列因子载荷平方的方差的加权平均最大。第四十六页

47、，讲稿共一百零五页哦zf47（2 2）斜交旋转）斜交旋转 目的是新的载荷系数尽可能的接近于目的是新的载荷系数尽可能的接近于0 0或尽可能的远离或尽可能的远离0 0；只是；只是在旋转时，放弃了因子之间彼此独立的限制，旋转后的新公因子更容在旋转时，放弃了因子之间彼此独立的限制，旋转后的新公因子更容易解释。主要有以下的方法：易解释。主要有以下的方法：direct oblimin:direct oblimin:直接斜交旋转。允许因子之间具有相关性；直接斜交旋转。允许因子之间具有相关性；promax:promax:斜交旋转方法。允许因子之间具有相关性；斜交旋转方法。允许因子之间具有相关性；第四十七页，讲

48、稿共一百零五页哦zf48v5 5、因子得分、因子得分因子得分的概念因子得分的概念 前面我们主要解决了用公共因子的线性组合来表示一组观测前面我们主要解决了用公共因子的线性组合来表示一组观测变量的有关问题。如果我们要使用这些因子做其他的研究，比如变量的有关问题。如果我们要使用这些因子做其他的研究，比如把得到的因子作为自变量来做回归分析，对样本进行分类或评价，把得到的因子作为自变量来做回归分析，对样本进行分类或评价，这就需要我们对公共因子进行测度，即给出这就需要我们对公共因子进行测度，即给出公共因子的值公共因子的值。第四十八页，讲稿共一百零五页哦zf49例：例：人均要素变量因子分析人均要素变量因子分

49、析。对我国。对我国3232个省市自治区的要素状况作因子分析。指个省市自治区的要素状况作因子分析。指标体系中有如下指标：标体系中有如下指标：X1 X1 ：人口（万人）人口（万人） X2 X2 ：面积（万平方公里）面积（万平方公里）X3 X3 ：GDPGDP（亿元）亿元） X4 X4 ：人均水资源（立方米人均水资源（立方米/ /人）人）X5X5：人均生物量（吨人均生物量（吨/ /人）人） X6X6：万人拥有的大学生数（人）万人拥有的大学生数（人）X7X7：万人拥有科学家、工程师数（人）万人拥有科学家、工程师数（人） Rotated Factor PatternRotated Factor Patt

50、ern FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 FACTOR1 FACTOR2 FACTOR3 X1 -0.21522 -0.27397 0.89092 X1 -0.21522 -0.27397 0.89092 X2 0.63973 -0.28739 -0.28755 X2 0.63973 -0.28739 -0.28755 X3 -0.15791 0.06334 0.94855 X3 -0.15791 0.06334 0.94855 X4 0.95898 -0.01501 -0.07556 X4 0.95898 -0.01501 -0.07556 X5 0.97224 -0.0677