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1、极坐标系下二重积分的计算,二、二重积分的极坐标转化及计算,一、极坐标与直角坐标系的关系,什么是极坐标?,在平面内取一个定点O，,引一条射线OX，,这样就建立了一个极坐标系。,叫做极点。,叫做极轴,对于平面内任一点M,记 |OM|= r ,r,（r，）就叫做点 M 的极坐标。,XOM= ,平面上任一点,（r，）,一、极坐标与直角坐标系的关系,两坐标系中变量间关系：,设积分区域 D为平面有界区域, 并且从原点发出的射线与D的边界线交点不多于两个, 则区域D被分割情形见下图.,二重积分中被积函数,求极坐标下的积分元素,的表示方法。,二、二重积分的极坐标转化及计算,1、二重积分的极坐标转化,图中分割的
2、其中一小块的面积为,略去高阶无穷小,则有, rr,故 d = rdrd.,于是, 二重积分,二、极坐标系下二重积分化为累次积分的的三种情形,1、区域特征如图,2、区域特征如图,极坐标系下区域的面积,3、区域特征如图,例1 将,化为在极坐标系下的二次积分。,1）,解：,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,2）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,3）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,4）,在极坐标系中，闭区域,D 可表示为,例2 求 D: x2 + y2 R2 (R0).,解 在极坐标下D: 0 r R, 0 2.,利用极坐标计算二重积分,例3 求 D: x2 + y2 2ax (a 0).,解 积分区域D如图, 在极坐标下D: 0 r 2acos ,例4 求 (a0).,解 积分区域D见图, 采用极坐标计算,原式 =,例5 求 的值.,解 考虑区域D: 0 x +, 0 y +, 记,故,小结,掌握极坐标系下二重积分的计算方法,化二重积分为极坐标下的二次积分, 并注意运算技巧.,