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1、用放缩法证明数列中的不等式超级好第1页，本讲稿共39页 放缩法证明数列不等式放缩法证明数列不等式是数列中的难点内容，在近是数列中的难点内容，在近几几年年的广东高考的广东高考数列数列试题中都有考查试题中都有考查.放缩法灵活多变，技巧性要放缩法灵活多变，技巧性要求较高，所谓求较高，所谓“放大一点点就太大，缩小一点点又太小放大一点点就太大，缩小一点点又太小”，这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得高不可攀！这就让同学们找不到头绪，摸不着规律，总觉得高不可攀！高考命题专家说：高考命题专家说：“放缩是一种能力放缩是一种能力.”如何把握放缩的如何把握放缩的“度度”，使得放缩，使得放缩“恰到好处恰到好处
2、”，这正是放缩法的精髓和关键，这正是放缩法的精髓和关键所在！所在！其实，任何事物都有其内在规律，其实，任何事物都有其内在规律，放缩法也是放缩法也是“有有法可依法可依”的的，本节课我们一起来研究数列问题中一些常，本节课我们一起来研究数列问题中一些常见见的的放缩类型及方法，破解其思维过程，揭开其神秘的面纱，放缩类型及方法，破解其思维过程，揭开其神秘的面纱，领略和感受放缩法的无限魅力！领略和感受放缩法的无限魅力！第2页，本讲稿共39页第3页，本讲稿共39页一一.放缩目标模型放缩目标模型可求和可求和第4页，本讲稿共39页不等式左边可用等比数列前不等式左边可用等比数列前n项和公式求和项和公式求和.分析分
3、析左边左边表面是证数列不等式，表面是证数列不等式，实质是实质是数列求和数列求和第5页，本讲稿共39页不等式左边可用不等式左边可用“错位相减法错位相减法”求和求和.分析分析由错位相减法得由错位相减法得 表面是证数列不等式，实表面是证数列不等式，实质是质是数列求和数列求和第6页，本讲稿共39页左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，如何放缩？和，如何放缩？分析分析将通项放缩为将通项放缩为等等比数列比数列注意到注意到左边左边第7页，本讲稿共39页左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，左边不能直接求和，须先将其通项放缩后求和，如何放缩？如何放缩？分析分析注意
4、到注意到将通项放缩为将通项放缩为 错位错位相减相减模型模型第8页，本讲稿共39页【方法总结之一方法总结之一】第9页，本讲稿共39页第10页，本讲稿共39页左边可用左边可用裂项相消法裂项相消法求和，先求和再放缩求和，先求和再放缩.分析分析表面是证数列不等式，表面是证数列不等式，实质是实质是数列求和数列求和第11页，本讲稿共39页左边不能求和，应先将通项放缩为左边不能求和，应先将通项放缩为裂项相消模型裂项相消模型后求后求和和.分析分析保留第一项，保留第一项，从从第二项第二项开开始放缩始放缩当当n=1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第12页，本讲稿共39页变式变式2 2的结论比变式的结论比
5、变式1 1强，要达目的，须将强，要达目的，须将变式变式1 1放缩的放缩的“度度”进行修正，如何修正？进行修正，如何修正？分析分析保留前两项，从保留前两项，从第第三项三项开始放缩开始放缩思路一思路一左边左边将变式将变式1 1的通项从第三项才开始放缩的通项从第三项才开始放缩.当当n=1,2时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第13页，本讲稿共39页变式变式2 2的结论比变式的结论比变式1 1强，要达目的，须将变式强，要达目的，须将变式1 1放放缩的缩的“度度”进行修正，如何修正？进行修正，如何修正？分析分析保留第一项，保留第一项，从从第二项第二项开开始放缩始放缩思路二思路二左边左边将通项放得
6、比变式将通项放得比变式1 1更小一点更小一点.当当n=1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第14页，本讲稿共39页变式变式3 3的结论比变式的结论比变式2 2更强，要达目的，须将变式更强，要达目的，须将变式2 2放缩的放缩的“度度”进一步修正，如何修正？进一步修正，如何修正？分析分析保留前两项，保留前两项，从从第三项第三项开开始放缩始放缩思路一思路一左边左边将变式将变式2 2思路二中通项从第三项才开始放缩思路二中通项从第三项才开始放缩.当当n=1,2时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第15页，本讲稿共39页变式变式3 3的结论比变式的结论比变式2 2更强，要达目的，须将变式更强
7、，要达目的，须将变式2 2放缩的放缩的“度度”进一步修正，如何修正？进一步修正，如何修正？分析分析保留保留第一第一项，项，从从第第二项二项开始开始放缩放缩思路二思路二左边左边将通项放得比变式将通项放得比变式2 2思路二更小一点思路二更小一点.当当n=1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第16页，本讲稿共39页评注评注第17页，本讲稿共39页【方法总结之二方法总结之二】放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程放缩法证明与数列求和有关的不等式的过程中，很多时候要中，很多时候要“留一手留一手”，即采用即采用“有所保留有所保留”的方法，的方法，保留数列的第一项或前两项，从数列的第保留数列的第一项
8、或前两项，从数列的第二项或第三项开始放缩二项或第三项开始放缩，这样才不致使结果放得过，这样才不致使结果放得过大或缩得过小大或缩得过小.第18页，本讲稿共39页牛刀小试牛刀小试（变式练习（变式练习1 1）证明证明当当n=1时，不等式显然也成立时，不等式显然也成立.第19页，本讲稿共39页（0808辽宁卷）已知：辽宁卷）已知：辽宁卷）已知：辽宁卷）已知：求证：求证：求证：求证：.故故当当 时，有时，有 也成立也成立 第20页，本讲稿共39页练习练习练习练习:已知数列已知数列已知数列已知数列 中中中中 ,求证求证求证求证:.:.当当 时，有时，有 也成立也成立 第21页，本讲稿共39页常见的裂项放缩
9、技巧：常见的裂项放缩技巧：4.1.3.5.6.2.第22页，本讲稿共39页右边保留右边保留第一项第一项思路思路为了确定为了确定S的整数部分，的整数部分，必须必须将将S的值放缩在相邻的两个的值放缩在相邻的两个整数之间整数之间.第23页，本讲稿共39页分析分析思路思路左边利用指数函数的单调性放缩为等比模型利用指数函数的单调性放缩为等比模型第24页，本讲稿共39页分析分析左边左边保留第一项，从保留第一项，从第第二项二项开始放缩开始放缩左边不能直接求和，能否仿照例左边不能直接求和，能否仿照例4的方法将通项也放缩的方法将通项也放缩为为等比模型等比模型后求和？后求和？当当n=1时，不等式显然也成立时，不等
10、式显然也成立.第25页，本讲稿共39页【方法总结之三方法总结之三】第26页，本讲稿共39页 已知数列已知数列已知数列已知数列 中中中中 ,求证求证求证求证:.:.故故当当 时，有时，有 也成立也成立 第27页，本讲稿共39页思路思路第28页，本讲稿共39页证明证明评注评注用分析法寻找证明思路显得一气呵成！用分析法寻找证明思路显得一气呵成！第29页，本讲稿共39页【方法总结之四方法总结之四】第30页，本讲稿共39页二二.放缩目标模型放缩目标模型可求积可求积第31页，本讲稿共39页思路思路第32页，本讲稿共39页证明证明第33页，本讲稿共39页【方法总结之五方法总结之五】第34页，本讲稿共39页牛
11、刀小试牛刀小试（变式练习（变式练习2 2）(1998(1998全国理全国理2525第第(2)(2)问问)证明证明第35页，本讲稿共39页课堂小结课堂小结 本节课我们一起研究了本节课我们一起研究了利用放缩法证明数列不等利用放缩法证明数列不等式式，从中我们可以感受到在平时的学习中，从中我们可以感受到在平时的学习中有意识地去有意识地去积累积累总结总结一些常用的一些常用的放缩模型和放缩模型和放缩方法非常必要放缩方法非常必要，厚积，厚积薄发，薄发，“量变引起质变量变引起质变”.当然，要想达到炉火纯青的当然，要想达到炉火纯青的深厚功力，还必须在实践中不断去感悟，仔细揣摩其方法，深厚功力，还必须在实践中不断
12、去感悟，仔细揣摩其方法，逐步内化为自己个人的逐步内化为自己个人的“修为修为”.南宋杰出的诗人陆游说南宋杰出的诗人陆游说得好：得好：“古人学问无遗力，少壮工夫老始成。古人学问无遗力，少壮工夫老始成。纸上得来终觉纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。浅，绝知此事要躬行。”讲的就是这个道理讲的就是这个道理.第36页，本讲稿共39页例如例如：我们可以这样总结我们可以这样总结本节课学到的放缩模型本节课学到的放缩模型：放缩目标模型放缩目标模型可求和可求和可求积可求积等差模型等差模型等比模型等比模型错位相减模型错位相减模型裂项相消模型裂项相消模型第37页，本讲稿共39页又如又如：我们可以这样总结我们可以这样总结本节课学到的放缩方法本节课学到的放缩方法：平方型：平方型：立立方型：方型：第38页，本讲稿共39页根式型：根式型：指数指数型：型：奇偶奇偶型：型：平方型、平方型、立方型、立方型、根式型根式型都都可放缩为可放缩为裂项相消模裂项相消模型型指数型指数型可放缩为可放缩为等比模型等比模型奇偶型奇偶型放缩为放缩为可求积可求积第39页，本讲稿共39页