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1、2.3多元线性回归模型的参数估计Estimation of Multiple Linear Regression Model,一、多元线性回归模型 二、多元线性回归模型的参数估计 三、OLS参数估计量的统计性质 四、样本容量问题 五、多元线性回归模型实例,一、多元线性回归模型,1、多元线性回归模型的形式,由于： 在实际经济问题中，一个变量往往受到多个原因变量的影响； “从一般到简单”的建模思路。 所以，线性回归模型中的解释变量往往有多个，至少开始是这样。这样的模型被称为多元线性回归模型。 多元线性回归模型参数估计的原理与一元和二元线性回归模型相同，只是计算更为复杂。,多元线性回归模型的一般形式
2、为：,习惯上，把常数项i看成为一个虚变量的系数，在参数估计过程中该虚变量的样本观测值始终取1。这样： 模型中解释变量的数目为（k+1）。,i=1,2,n,多元线性回归模型的矩阵表达式为：,其中,2、多元线性回归模型的基本假定,多元线性回归模型在满足下列基本假设的情况下，可以采用普通最小二乘法（OLS）估计参数。,关于多元线性回归模型的基本假定,二、多元线性回归模型的参数估计,1、普通最小二乘估计,普通最小二乘估计,（i=1,2,n ）,根据最小二乘原理，参数估计值应该是下列方程组的解：,其中,于是得到关于待估参数估计值的正规方程组：,上述估计过程的矩阵表示：,其中,从而，被解释变量的观测值与估
3、计值之差的平方和为：,随机误差项的均值为0，方差的估计量为：,于是，得到正规方程组：,参数的最小二乘估计值为：,2、最大或然估计,Y的随机抽取的n组样本观测值的联合概率,对数或然函数为 参数的最大或然估计 结果与参数的普通最小二乘估计相同,三、OLS参数估计量的统计性质,1线性,2无偏性,这里利用了解释变量与随机误差项不相关的假设，即,3有效性,其中利用了,根据高斯马尔可夫定理，上述方差在所有无偏估计量的方差中是最小的，所以普通最小二乘参数估计量具有有效性。,参数估计量的方差-协方差矩阵,四、样本容量问题,1、 最小样本容量,2、满足基本要求的样本容量,计量经济学模型，说到底是从表现已经发生的
4、经济活动的样本数据中寻找经济活动中内含的规律性，所以，它对样本数据具有很强的依赖性。, 最小样本容量,最小样本容量：是指从最小二乘原理出发，欲得到参数估计量，不管其质量如何，所要求的样本容量的下限。 样本容量必须不少于模型中解释变量的数目（包括常数项），这就是最小样本容量：,2、满足基本要求的样本容量,虽然当 nk+1 时，可以得到参数估计量，但除了参数估计量质量不好以外，一些建立模型所必须的后续工作也无法进行。,五、多元线性回归模型实例,中国消费函数模型,根据消费模型的一般形式，选择消费总额为被解释变量，国内生产总值和前一年的消费总额为解释变量，变量之间关系为简单线性关系，选取1981年至1996年统计数据为样本观测值。,中国消费数据表 单位：亿元,模型估计结果,拟合效果,