二次函数图象和性质知识点总结.pdf

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1、二次函数的图象和性质知识点总结二次函数的图象和性质知识点总结一、知识点回忆一、知识点回忆1. 二次函数解析式的几种形式：2一般式：y ax bx ca、b、c 为常数，a02y a(x h) ka、h、k 为常数，a0顶点式：，其中h，k为顶点坐标。交点式：y a(x x1)(x x2)，其中x1，x2是抛物线与*轴交点的横坐标，即一元二次方程ax2bxc 0的两个根，且 a0， 也叫两根式 。22. 二次函数y ax bx c的图象2二次函数y ax bx c的图象是对称轴平行于包括重合y 轴的抛物线，几个不同的二次函数，如果 a 一样，则抛物线的开口方向，开口大小即形状完全一样，只是位置不

2、同。22y a(x h) ky ax任意抛物线可以由抛物线经过适当的平移得到，移动规律可简记为：左加右减，上加下减，具体平移方法如下表所示。22y ax bx cy a(x h) k的形式，然后将在画的图象时，可以先配方成y ax2的图象上下左右平移得到所求图象，即平移法；也可用描点法：22也是将y ax bx c配成y a(x h) k的形式，这样可以确定开口方向，对称轴及顶点坐标。然后取图象与 y 轴的交点0，c ，及此点关于对称轴对称的点2h，c ；如果图象与*轴有两个交点，就直接取这两个点*1，0 ， *2，0就行了；如果图象与*轴只有一个交点或无交点，那应该在对称轴两侧取对称点，这两

3、点不是与 y 轴交点及其对称点 ，一般画图象找 5 个点。3. 二次函数的性质函数图象2二次函数y ax bx cy a(x h)2 ka、h、k 为a、b、c 为常数，a0a0a0常数，a0a0a0(1)抛物线开口向上， 并 (1)抛物线开口向下， 并 (1)抛物线开口 (1)抛物线开口向上无限延伸向下无限延伸向上， 并向上无 向下，并向下限延伸性无限延伸bb(2)对称轴是* (2)对称轴是*(2)对称轴是*2a，(2)对称轴是*2a，h，顶点是h， h，顶点是顶点是顶点是kh，kb4acb2b4acb2，2a4a2a4a bby(3)当x h时， y (3)当*h 时，x 2a时，2a时，

4、(3)当y 随*(3)当y 随*随*的增大而减 随*的增大而的增大而减小；当的增大而增大；当小；当*h 时， 增大；当*hbbx x 2a时，2a时，y 随*的增y 随*的增y 随*的增大而 时，y 随*的增x 质大而增大大而减小增大。大而减小(4)抛物线有最低点， 当 (4)抛物线有最高点， 当 (4)抛物线有最 (4)抛物线有最bb低点，当*h 高点，当*hx 2a时，y 有最小2a时，y 有最大时，y 有最小值 时， y 有最大值4ac b24ac b2y最小值y最大值y最大值 k4a4ay最小值 k值，值，x 4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法22配方法： 将解析式y ax bx

5、 c化为y a(x h) k的形式， 顶点坐标为 h，k ，对称轴为直线x h，假设 a0，y 有最小值，当*h 时，y最小值 k；假设a0，y 有最大值，当*h 时，y最大值 k。b4acb2，4a公式法：直接利用顶点坐标公式2a，求其顶点；对称轴是直b4ac b2ba 0，y有最小值，当x 时，y最小值；x 2a4a2a，假设线假设b4acb2x 时，y最大值2a4a，y 有最大值，当a 05. 抛物线与*轴交点情况：2对于抛物线y ax bx c (a0)当 b24ac 0时，抛物线与*轴有两个交点，反之也成立。当 b24ac 0时，抛物线与*轴有一个交点，反之也成立，此交点即为顶点。当

6、 b24ac 0时，抛物线与*轴无交点，反之也成立。二、考点归纳、考点归纳考点一求二次函数的解析式考点一求二次函数的解析式例1.二次函数 f*满足f21，f11，且f*的最大值是8，试求 f* 。解答：解答：法一：利用二次函数的一般式方程设 f*a*2b*ca0 ，由题意故得 f*4*24*7。法二：利用二次函数的顶点式方程设 f*a*m2n由 f2f1可知其对称轴方程为又由 f*的最大值是8可知，a25解答：解答：函数 f*4*2m*5在区间2，上是增函数，则区间2，必在对称轴的右侧，从而选 A。说明：说明：解决此类问题结合函数图像显得直观。考点四二次函数的性质的应用考点四二次函数的性质的应

7、用例4.设的定义域是n，n1n 是自然数 ，试判断的值，故 f19m25。域中共有多少个整数？分析：分析：可以先求出值域，再研究其中可能有多少个整数。解答：解答：的对称轴为，因为 n 是自然数，故，所以函数在n，n1上是增函数。故故知：值域中共有2n2个整数。说明：说明：此题利用了函数的单调性，很快求出了函数的值域，这是求函数值域的一个重要方法。考点五二次函数的最值考点五二次函数的最值例5.试求函数在区间1，3上的最值。分析：分析： 此题需就对称轴3。解答：解答：函数的对称轴I 、 当3 即时，时 ： 函 数 在 1 ， 3 上 为 减 函 数 ， 故；当； 当；当时，。考点六方程的根或函数零

8、点的分布问题考点六方程的根或函数零点的分布问题例6.二次方程的一个根比1大，另一个根比1小，试求的取值围。解答：解答：设，则；例7.当为何实数时，关于的方程I有两个正实根；II有一个正实根，一个负实根。解答：解答： I设，由方程有两个正实根，结合图像可知：II设，结合图像可知：说明：说明：一元二次方程的根或二次函数零点的分布问题的处理主要思路是结合函数图像，考虑三个容：根或零点所在区间端点的函数的正负、判别式及对称轴的位置。考点七三个“二次的关系考点七三个“二次的关系例8.关于的一元二次不等式的解集为， 试解关于的一元二次不等式解答：解答：法一：由题意可知，方程。，一元二次不等式；又的解集为。

9、对应的一元二次的两个根是1和2，故即关于的一元二次不等式法二：，即关于的一元二次不等式的解集为。考点八二次函数的应用考点八二次函数的应用例9.2003春招*租赁公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每辆每月需维护费150元。未租出的车每辆每月需维护费50元。I当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？II当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解解答答： I当每辆车的月租金定为 3600元时，未租出的车辆数为，故租出了88辆； II 设 每 辆 车 月 租 金 定

10、为元 ， 则 租 赁 公 司 的 月 收 益 为故当月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大为307050元。三、综合练习、综合练习1、小从如下图的二次函数y ax bx c的图象中，观察得出了下面四条信息： 1b224ac0； 2c1； 3ab0； 4abc0. 你认为其中错误的有()A. 2 个 B. 3 个C. 4 个D.1个y yA A(1,4)(1,4)B B(4,4)(4,4)C C第 1 题2OD D* *2.二次函数y ax bx c(a 0)经过点 M-1,2和点 N1，-2 ，交*轴于 A，B 两点，交 y 轴于 C 则()第 4 题b 2；该二次函数图像与 y 轴交与

11、负半轴存在这样一个 a，使得 M、A、C 三点在同一条直线上假设a 1,则OAOB OC以上说确的有：ABCD23、在平面直角坐标系中，如果抛物线y2*2不动，而把*轴、y轴分别向上、向右平移2 个单位，则在新坐标系下抛物线的解析式是 ()Ay2(* + 2)22By2(*2)2 + 2Cy2(*2)22Dy2(* + 2)2 + 224.如图，点A，B的坐标分别为1,4和4, 4,抛物线y a(x m) n的顶点在线段AB上运动，与*轴交于C、D两点C在D的左侧 ，点C的横坐标最小值为3，则点D的横坐标最大值为()A3B1C5D822y ax bx cy bx 4ac b5. 抛物线图像如下

12、图，则一次函数与反比例函数y abcx在同一坐标系的图像大致为()6. 把抛物线y x2向上平移 2 个单位，则所得抛物线与*轴的两个交点之间的距离是.37.如图，菱形 ABCD 的三个顶点在二次函数y=a*22a*+ a0的2图象上，点 A、B 分别是该抛物线的顶点和抛物线与y 轴的交点，则点 D 的坐标为*yABCxD*O8. 教师给出一个 y 关于*的函数，甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：甲：第 7 题图函数图象不经过第三象限； 乙：函数图象经过第一象限； 丙：当*2 时，y 随*的增大而减小；丁：当*0.这四位同学表达都正确。请写出满足上述所有性质的一个函数_.9.关于

13、*的函数 ym1*22*m 图像与坐标轴有且只有2 个交点，则 m第 10 题10. 如图，P的半径为 2，圆心P在抛物线y 心P的坐标为.12x 1上运动，当P与x轴相切时，圆2y11. 如图， 在第一象限作射线OC,与*轴的夹角为 30o,在射线OC上取一点A，过点A作AH*轴于点H.在抛物线y=*2(*0)上取点P， 在y轴上取点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与AOH全等，则符合条件的点A的坐标是_.12. 我们知道，根据二次函数的平移规律， 可以由简单的函数通过平移后得到较复杂的函数，事实上，对于其他函数也是如此。如一次函数，反比例函y=*2ACOH*13x 2可以由y 通过_平移

14、得到。xx 1k313 如图， 点 P 的坐标为 2， ， 过点 P 作*轴的平行线交 y 轴于点 A， 交双曲线y (*0)x2k于点 N；作 PMAN 交双曲线y (*0)于点 M，连结 AM.PN=4.x数等。请问y 1求 k 的值.3 分2求APM 的面积.3 分14 如图，A(4，n)，B(2， 4)是一次函数y kx b的图象和反比例函数y m的图象的两个交点x(1)求反比例函数和一次函数的解析式；(2)求直线AB与x轴的交点C的坐标及AOB的面积；(3)求方程kxb(4)求不等式kxbm； 0的解请直接写出答案xm 0的解集请直接写出答案.x15. 如图，在直角坐标系*Oy 中，

15、正方形 OABC 的边长为 2cm，点 A、C 分别在*轴、y 轴的正半轴上。抛物线y x bx c经过点 B、C。21求抛物线的解析式；2点 D、E 分别是 AB、BC 上的动点，且点 D 从点 A 开场，以 1cm/s 的速度沿 AB 向点 B 移动，同时点 E 从点 B 开场， 以 1cm/s 的速度沿 BC 向点 C 移动。运动 t 秒t2后， 能否在抛物线上找到一点P，使得四边形 BEDP 为平行四边形。如果能，请求出t 值yCEBDOAPx和点 P 的坐标；如果不能，请说明理由。16 二次函数y ax bx c，其中a 0，b 4a c 0，它的图象与*轴只有一个交2222点，交点

16、为 A，与 y 轴交于点 B，且 AB=2 .(1)求二次函数解析式；(2)当 b0 时，过 A 的直线 y=*m 与二次函数的图象交于点 C，在线段 BC 上依次取 D、E 两点，假设DEBDEC，试确定DAE 的度数，222并简述求解过程。17. 如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与 *轴交于 A、B 两点，D 是抛物线的顶点，O 为坐标原点. A、B 两点的横坐标分别是方程x2 4x 12 0的两根，且 cosDAB1求抛物线的函数解析式；2.22作 ACAD，AC 交抛物线于点 C，求点 C 的坐标及直线 AC 的函数解析式；3在2的条件下，在*轴上方的抛物线上是否存在一点 P

17、，使APC 的面积最大？如果存在，请求出点 P 的坐标和APC 的最大面积；如果不存在，请说明理由.18. 如下图，在平面直角坐标系中， 抛物线y=a*2+b*+3a0经过A(10)两点， 0)、B(3，抛物线与y轴交点为 C，其顶点为 D，连接 BD，点 P 是线段 BD 上一个动点不与 B、D 重合 ，过点 P 作y轴的垂线，垂足为E，连接 BE1求抛物线的解析式，并写出顶点D 的坐标；2如果P 点的坐标为*，y ，PBE 的面积为s，求s与*的函数关系式，写出自变量*的取值围，并求出s的最大值；3在2的条件下，当s取得最大值时，过点P 作*的垂线，垂足为F，连接 EF，把PEF 沿直线

18、EF 折叠，点 P 的对应点为 P ，请直接写出 P点坐标，并判断点PyD是否在该抛物线上C3EA21Pl19.：抛物线y ax2bx c经过点O0,0，A7,4，且对称轴轴交于点5,0.x1O与21 2B3*311求抛物线的表达式；52如图，点E、F分别是y轴、对称轴l上的点，且四边形EOBF是矩形，点C5,是2BBF上一点，将BOC沿着直线OC翻折，B点与线段EF上的D点重合，求D点的坐标；3 在 2 的条件下， 点G是对称轴l上的点， 直线DG交CO于点H，SDOH:SDHC1: 4，求G点坐标.2yEDlF20. 如图，抛物线yaxbx3与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，且COB OC 3OAI求抛物线的解析式；O( 第 3 题BxII探究坐标轴上是否存在点P，使得以点P, A,C为顶点的三角形为直角三角形？假设存在，求出P点坐标，假设不存在，请说明理由；III直线y 1x 1交y轴于D点，E为抛物线顶点假设DBC ，3CBE ,求的值21 如图，二次函数的图象经过点 D(0，73)，且顶点 C 的横坐标为 4，该图象在* 轴上截9得的线段 AB 的长为 6.求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点P，使 PA+PD 最小，求出点 P 的坐标；在抛物线上是否存在点 Q，使QAB 与ABC 相似？如果存在，求出点Q 的坐标；如果不存在，请说明理由