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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数的图象和性质学问点总结一、学问点回忆1. 二次函数解析式的几种形式：一般式：yax2bx2c（a、b、c 为常数, a 0）顶点式：ya xhk（a、h、k 为常数, a 0）,其中（ h,k）为顶点坐标；交点式：ya xx1xx2,其中x 1,x 2是抛物线与 x 轴交点的横坐标,即一元二次方程ax2bxc0的两个根,且 a 0,（也叫两根式）； 2. 二次函数yax2bxc的图象二次函数yax2bxc的图象是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线,几个不同的二次函数, 假如 a 相同,那么抛物线的开口方向, 开口大
2、小（即外形）完全相同,只是位置不同；任意抛物线ya xh 2k可以由抛物线yax2经过适当的平移得到, 移动规律可简记为： 左加右减,上加下减 ,详细平移方法如下表所示；在画yax2bxc的图象时,可以先配方成ya xh2k的形式,然后2将 y ax 的图象上（下）左（右）平移得到所求图象,即平移法；也可用描点2 2法：也是将 y ax bx c 配成 y a x h k 的形式,这样可以确定开口方向,对称轴及顶点坐标；然后取图象与y 轴的交点（ 0,c）,及此点关于对称轴名师归纳总结 对称的点（ 2h,c）；假如图象与 x 轴有两个交点,就直接取这两个点（x1,0）,第 1 页,共 13 页
3、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（x2,0）就行了；假如图象与x 轴只有一个交点或无交点,那应当在对称轴两侧取对称点,（这两点不是与 y 轴交点及其对称点）,一般画图象找 5 个点；3. 二次函数的性质函二次函数yax2bxcya xh2k（a、h、k 为数a、b、c 为常数, a 0常数, a 0）a0a0a0a0图 象1 抛物线开口向上,1 抛物线开口向下,1 抛物线开口1 抛物线开名师归纳总结 并向上无限延长并向下无限延长向上,并向上无口向下,并向第 2 页,共 13 页性 2 对称轴是 x2 对称轴是 x限延长下无限延长2
4、对称轴是 x2 对称轴是 xbbh,顶点是（h,h,顶点是k）（h,k）2a,顶点是2a,顶点是（b,4 acab2）（b,4acab2）2a42a43 当xh3 当 xh 时,质3 当xb时, y3 当xb时, yy 随 x 的增大而2a2a时,y 随 x 的增增大；当 xh随 x 的增大而减小；当随 x 的增大而增大；当大而减小；当 x时,y 随 x 的增xb时,y 随 x 的xb时,y 随 x 的h 时,y 随 x大而减小的增大而增大；2a2a增大而增大增大而减小4 抛物线有最4 抛物线有4 抛物线有最低点,4 抛物线有最高点,当xb时,y 有最当xb时,y 有最低点,当 xh最高点,当
5、 x时,y 有最小值h 时,y 有最2a2ay最小值k大值小值,大值,y最大值ky最小值4 acab2y最大值4acab244h2k的形式,顶点坐标为 4. 求抛物线的顶点、对称轴和最值的方法配方法：将解析式yax2bxc化为ya x- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （h,k）,对称轴为直线xh学习必备欢迎下载y最小值k；,如 a0,y 有最小值,当 xh 时,如 a0,y 有最大值,当 xh 时,y最大值k；）,求其顶点；对称轴是直,公式法：直接利用顶点坐标公式（b,4 acab22a4线xb,如a0, 有最小值,当 yxb时,y最小值4acab2；
6、如a02a2a4y 有最大值,当xb时,y最大值4acab22a4 5. 抛物线与 x 轴交点情形：对于抛物线yax20bxc a0 当b24 ac时,抛物线与 x 轴有两个交点,反之也成立；当b24 ac0时,抛物线与 x 轴有一个交点,反之也成立,此交点即为顶点；当b24 ac0时,抛物线与 x 轴无交点,反之也成立；二、考点归纳考点一求二次函数的解析式例1. 已知二次函数 f （x）满意 f （2） 1,f （ 1） 1,且 f （x）的最名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载大值是 8,试求
7、f （x）；解答：法一：利用二次函数的一般式方程 设 f （x） ax 2bxc（a 0）,由题意故得 f （x） 4x 24x7；法二：利用二次函数的顶点式方程 设 f （x） a（xm）2n 由 f （2） f （ 1）可知其对称轴方程为,故 m；又由 f （x）的最大值是 8可知, a25 解答：函数 f （x）4x2mx5在区间 2,）上是增函数,就区间 2,）必在对称轴的右侧,从而,故 f （1） 9m 25；选 A；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载说明： 解决此类问题结合函数图像显得
8、直观；考点四二次函数的性质的应用例4. 设的定义域是 n ,n1 （n 是自然数）,试判定的值域中共有多少个整数？分析： 可以先求出值域,再争论其中可能有多少个整数；解答：的对称轴为,由于 n 是自然数,故,所以函数在 n ,n1 上是增函数；故故知：值域中共有 2n2个整数；说明： 此题利用了函数的单调性,很快求出了函数的值域,这是求函数值域 的一个重要方法；考点五二次函数的最值 例5. 试求函数 在区间 1 ,3 上的最值；分析： 此题需就对称轴与区间的相对位置关系进行分类争论：3；解答： 函数的对称轴I 、 当3 即时,时 ： 函 数 在 1 , 3 上 为 减 函 数 , 故第 5 页
9、,共 13 页综上 所述 ：当； 当时 ,； 当- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 时,学习必备欢迎下载；当时,；考点六方程的根或函数零点的分布问题例6. 已知二次方程 的取值范畴；的一个根比 1大,另一个根比 1小,试求解答：设,就；例7. 当为何实数时,关于的方程（I ）有两个正实根；（II ）有一个正实根,一个负实根；解答：（I ）设,由方程有两个正实根,结合图像可知：（II ）设,结合图像可知：说明：一元二次方程的根或二次函数零点的分布问题的处理主要思路是结合函数图像, 考虑三个内容： 根或零点所在区间端点的函数的正负、判别式及对称轴的位置；考点
10、七三个“ 二次” 的关系例8. 已知关于的一元二次不等式；的解集为,试解关于的一元二次不等式解答：法一：由题意可知,一元二次不等式 对应的一元二次方程 的两个根是 1和2,故；又即关于 的一元二次不等式 的解集为；法二：,即关于名师归纳总结 的一元二次不等式的解集为；第 6 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载考点八二次函数的应用例 9. （2003北京春招）某租赁公司拥有汽车100辆,当每辆车的月租金为3000元时,可全部租出,当每辆车的月租金每增加 50元时,未租出的车将会增加一辆,租出的车每辆每月需保护费150元；
11、未租出的车每辆每月需保护费50元；（I ）当每辆车的月租金定为 3600元时,能租出多少辆车？（II ）当每辆车的月租金定为多少元时,租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？解 答 ：（ I ） 当 每 辆 车 的 月 租 金 定 为 3600元 时 , 未 租 出 的 车 辆 数 为,故租出了 88辆；（ II） 设 每 辆 车 月 租 金 定 为 元 , 就 租 赁 公 司 的 月 收 益 为故当月租金定为 4050元时,租赁公司的月收益最大为 307050元；三、综合练习21、小李从如下列图的二次函数 y ax bx c 的图象中, 观看得出了下面四条信息： （1）b 24ac0；（2）
12、c1；（3）ab0；（ 4）abc0. 你认为其中错误的有 A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 1 个y 2. 已知二次函数y第 1 题bxcA1,4B4,4CO Dx （第 4 题）a 0 经过点 M（-1,2 ）和点 N（1,-2 ）,交 x 轴于 A,Bax2两点,交 y 轴于 C就 b 2；该二次函数图像与 y 轴交与负半轴 存在这样一个 a,使得 M、 A、C三点在同一条直线上如 a 1 , 就 OA OB OC 2以上说法正确的有：名师归纳总结 ABCD2第 7 页,共 13 页3、在平面直角坐标系中,假如抛物线y2x 2 不动,而把x 轴、 y 轴分别向上、向右平移个
13、单位,那么在新坐标系下抛物线的解析式是 Ay2 x + 222 By2 x22 + 2 Cy2 x222 Dy2 x + 22 + 2 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 4. 如图,点 A,B 的坐标分别为（学习必备欢迎下载yaxm 2n的顶点在线段1,4 ）和（ 4, 4）, 抛物线AB上运动,与 x 轴交于 C、D两点（ C在 D的左侧）,点 C的横坐标最小值为 3,就点 D的横坐标最大值为 A 3 B1 C5 D8 2 25. 抛物线 y ax bx c 图像如下列图,就一次函数 y bx 4 ac b 与反比例函数y a b cx 在同一坐标系
14、内的图像大致为 6. 把抛物线 y x 2向上平移 2 个单位,那么所得抛物线与 x x x 轴的两个交点之间的距离是 x . 7. 如图,菱形ABCD的三个顶点在二次函数y=ax22ax+3 2（ a0）的y A D x 图象上,点A、B 分别是该抛物线的顶点和抛物线与y 轴的交点,B C 就点 D的坐标为8. 老师给出一个y 关于 x 的函数,甲、乙、丙、丁四位同学各指出这个函数的一个性质：O 甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：当第 7 题图 x2 时, y 随 x 的增大而减小；丁：当 x0. 已知这四位同学表达都正确；请写出满意上述全部性质的一个函数 _. 9.
15、 已知关于 x 的函数 y（ m1）x22xm图像与坐标轴有且只有2 个交点,就m10. 如图,已知 P 的半径为 2,圆心 P 在抛物线y12 x1上运动, 当 P 与xy 第 10 题2C 2轴相切时,圆心P 的坐标为 . 11. 如图,在第一象限内作射线OC, 与 x 轴的夹角为30o, 在射线 OC上取一y=xA 点 A,过点 A 作 AHx 轴于点 H. 在抛物线 y=x2 x0 上取点 P,在 y 轴上取点 Q,使得以 P,O,Q为顶点的三角形与AOH全等,就符合条件的点AO H x 的坐标是 _ . 12. 我们知道,依据二次函数的平移规律,可以由简洁的函数通过平移后得到较复杂的
16、函数,事实上,对于其他函数也是如此；如一次函数,反比例函数等；请问名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载ykx0y3x2可以由y1通过 _ 平移得到；x1x13 如图,点 P 的坐标为（2,3 ）,过点 P作 x 轴的平行线交2y 轴于点 A,交双曲线x于点 N；作 PMAN交双曲线ykx0 于点 M,连结 AM.已知 PN=4. x（1）求 k 的值 . （ 3 分）（2）求 APM的面积 . （ 3 分）14 如图,已知A 4,n,B2,4是一次函数ykxb 的图象和反比例函数ym的图象的两个交点x
17、1 求反比例函数和一次函数的解析式；2 求直线 AB 与 x 轴的交点 C 的坐标及AOB的面积；3 求方程 kx b m 0 的解（请直接写出答案）；x4 求不等式 kx b m 0 的解集（请直接写出答案）. x15. 如图,在直角坐标系 xOy 中,正方形 OABC的边长为 2cm,点 A、C分别在 x 轴、 y 轴的正半轴上；抛物线yx2bxc经过点 B、C；（1）求抛物线的解析式；名师归纳总结 （2）点 D、E 分别是 AB、BC上的动点,且点D从点 AyEDBPx第 9 页,共 13 页开头, 以 1cm/s 的速度沿 AB向点 B 移动, 同时点 E 从C点 B 开头,以 1cm
18、/s 的速度沿 BC向点 C移动；运动t OA秒（ t 2）后,能否在抛物线上找到一点P,使得四边形 BEDP为平行四边形； 假如能, 恳求出 t 值和点 P- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载的坐标；假如不能,请说明理由；16 已知二次函数yax2bxc,其中a0,b242 a c20,它的图象与x 轴只有一个交点,交点为 A,与 y 轴交于点 B,且 AB=2 . 1 求二次函数解析式； 2 当 b0 时,过 A 的直线 y=xm与二次函数的图象交于点 C,在线段 BC上依次取 D、E两点,如 DE 2BD 2EC 2,试确定 DA
19、E的度数,并简述求解过程；17. 如图,在平面直角坐标系中,开口向下的抛物线与x 轴交于 A、B 两点, D 是抛物线的顶点, O 为坐标原点 . A 、 B 两点的横坐标分别是方程x 24 x 12 0 的两根,且 cosDAB2 . 2（1）求抛物线的函数解析式；名师归纳总结 （2）作 ACAD,AC交抛物线于点C,求点 C的坐标及直线AC的函数解析式；第 10 页,共 13 页（3）在（ 2）的条件下,在x 轴上方的抛物线上是否存在一点P,使 APC的面积最大？如果存在,恳求出点P的坐标和APC的最大面积；假如不存在,请说明理由. - - - - - - -精选学习资料 - - - -
20、- - - - - 18. 如下列图, 在平面直角坐标系中,学习必备欢迎下载A 10、B3 0两抛物线 y=ax2+bx+3（a 0）经过点,抛物线与 y 轴交点为 C,其顶点为 D,连接 BD,点 P 是线段 BD上一个动点 （不与 B、D重合）,过点 P作 y 轴的垂线,垂足为 E,连接 BE（ 1）求抛物线的解析式,并写出顶点 D的坐标；（ 2）假如 P 点的坐标为（ x,y）, PBE的面积为 s,求 s 与 x 的函数关系式,写出自变量 x 的取值范畴,并求出 s 的最大值；（ 3）在（ 2）的条件下,当 s 取得最大值时,过点 P作 x 的垂线,垂足为 F,连接 EF,把 PEF沿
21、直线 EF折叠,点 P的对应点为 P,请直接写出 P点坐标,并判定点 y D P是否在该抛物线上C 3 2 A E 1 P B 3 2 1 O 1 2 3 x 119. 已知：抛物线 y ax 2bx c 经过点 O 0,0,A 7,4,且对称轴 l 与 x 轴交于点B5,0. （1）求抛物线的表达式；（2）如图,点E、F分别是y轴、对称轴l上的点,且四边形EOBF是矩形,点C5,5 2是BF上一点,将BOC沿着直线OC翻折,B点与线段EF上的D点重合,求D点的坐标；（3）在（2）的条件下,点G是对称轴l上的点,直线DG交CO于点H,SDOH:SDHC1: 4,求G点坐标 . DlyEFCOB
22、x名师归纳总结 第3题第 11 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 20. 如图,抛物线yax2学习必备欢迎下载A ,B两点,与y轴交于点C,且bx3 与x 轴交于OBOC3 OA（I ）求抛物线的解析式；（II ）探究坐标轴上是否存在点 P,使得以点 P , A , C 为顶点的三角形为直角三角形？如存在,求出 P 点坐标,如不存在,请说明理由；（III ）直线 y 1 x 1 交 y 轴于 D 点,E 为抛物线顶点如 DBC,3CBE , 求 的值21 如图,二次函数的图象经过点 D0,7 3 ,且顶点 C的横坐标为 4,该图象在 x 轴上截9得的线段 AB的长为 6. 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载求二次函数的解析式；在该抛物线的对称轴上找一点 P,使 PA+PD最小,求出点 P 的坐标；在抛物线上是否存在点 Q,使 QAB与 ABC相像？假如存在,求出点 Q的坐标； 假如不存在,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 13 页