热统习题解答全.pdf

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1、.第一章热力学的根本规律第一章热力学的根本规律1.1 试求理想气体的体胀系数，压强系数和等温压缩系数。解： 理想气体的物态方程为pV RT,由此可算得：1.2 证明任何一种具有两个独立参量 T，P 的物质，其物态方程可由实验测得的体胀系数及等温压缩系数 ，根据下述积分求得：lnV (adT kdP)，如果a 11,k ，试求物态方程。TP证明：dV(T, p) (VV)PdT ()TdpTp两边除以 V,得积分后得lnV (adT kdP)如果代入上式，得lnV (dTdP) lnTlnP lnCTP所以物态方程为：PV CT与 1mol 理想气体得物态方程 PV=RT 相比拟，可知所要求的物

2、态方程即为理想气体物态方程。1.3 在 00C 和 1atm 下，测得一块铜的体胀系数和压缩系数为 a=4.18510-5K-1，k=7.810-7atm-1。a 和 k 可以近似看作常数。今使铜加热至100C，问1压力要增加多少大气压才能使铜块的体积维持不变.2假设压力增加 100atm，铜块的体积改变多少.dV1 V1 V()PdT ()Tdp dT dpVTVp解： a由上题V体积不变，即dV 0.v.a4.85105a10 622atm所以dP dT即P T k7.8107k(b)VV2V1(T2T1)(p2p1)4.85105107.81071004.07104V1V1可见，体积增加

3、万分之 4.07。1.4 描述金属丝的几何参量是长度 L,力学参量是 X 力 F,物态方程是f(F,L,T)=0。实验通常在 1pn下进展，其体积变化可以忽略。线胀系数定义为a 1 LL F()F，等温杨氏模量定义为Y ()T，L TA L其中 A 是金属丝的截面积。一般来说，和 Y 是 T 的函数，对 F 仅有微弱的依赖关系。如果温度变化 X 围不大，可以看作常量。假设金属丝两端固定。试证明，当温度由 T1降至 T2时，其 X 力的增加为证明： a设F F (T , L )，那么 F F dFdTdL TL LT1 F T L 1 T L FLFT由于 F F L TLTF2LT所以将2式代

4、入1式，并利用线胀系数和等温杨氏模量的定义式，得.v. F dF LTAY L F dT dL AYdT dLTLLFT3b当金属丝两端固定时，dL0，由3式得当温度由 T1降至 T2时，积分上式得F YA(T2 T1)4L2L0F bT (2)LL01.5 一理想弹性物质的物态方程为， 其中L是长度，L0是 X 力 F 为零时的 L 值，它只是温度 T 的函数，b 是常数。试证明：bTL2L2Y (20)AL0La等温杨氏模量为Y03bTA.b在 X 力为零时，线膨胀系数1 L3/L31 dL0010.T L3/L3 2T dL0其中N.K1,b1.33102(c) 上述物态方程适用于橡皮带

5、，设T 300K，LA 1106m2,0 5104K1.试计算当L0分别为 0.5，1.0，1.5 和L2.0 时的 F,Y,对L0的曲线。证明： a由弹性物质得物态方程，可得 12 L2 F 0 bT3LL LT01.v.将上式代入等温杨氏模量的定义式 12L2bT L2L2L F L00Y 32bTALTALAL0L2L0当 F0 时，LL0，由2式得bT3bTY01 2AA3b在 F 不变下，将物态方程对 T 求导，得 L TF,可得由上式解出其中01 dL0L0dT1.6 1mol 理想气体，在 27oC 的恒温下体积发生膨胀，其压强由 20pn准静态地降到 1pn，求气体所作的功和所

6、吸收取的热量。解：(a) 在恒温准静态膨胀过程中，理想气体所作的功为V2p1,p2因为p1V1 RT , p2V2 RT ,故有V1(b) 理想气体在恒温膨胀过程中，内能不变，根据热力学第一定律，31Q W 7.4610 J mol.求得1.7 在 25 C 下，压强在 0 至 1000pn之间，测得水的体积为如果保持温度不变，将 1mol 的水从 1pn加压至 1000pn ,求外界所作的功。2V a bp cp ,解：写出36(0.71510 20.04610p)dp那么dV= (b+2cp)dp =o所要求的功.v.L0,21.8 承前 1.5 题，使弹性体在准静态等温过程中长度由 L0

7、压缩为试计算外界所作的功。解：外界对弹性体作的元功表达式为dW FdL1将物态方程代入上式，得 LL20dW bT2dLLL02注意到在等温过程中 L0不变，当弹性体在等温过程中长度由L0压缩为L0/2 时，外界所作的功为L0/ 2WL0 LL250bT2dL bTL0LL80311.9 在 0 C 和 1pn下，空气的密度为 1.29kg m.空气的定压比热容ocp 966J kg1K1,1.41.今有 27m3的空气，试计算：i假设维持体积不变，将空气由 0oC 加热至 20oC 所需的热量。ii假设维持压强不变，将空气由 0oC 加热至 20oC 所需的热量。iii假设容器有裂缝， 外界

8、压强为 1pn,使空气由 0oC 缓慢地加热至 20oC 所需的热量。1111c 966J kgK 0.238calgKp解：1cal=4.2J所以(i)这是定容加热过程，定容热容量可以从定压热容量算出，27m3的空气，其质量可由它的密度算得：考虑到热容量为常数，使温度由 0oC 升至 20oC 所需得热量.v.55即得QV 1.176 10 cal 4.920 10 J(ii) 在定压加热过程中，QpMCp(T2T1)3.481040.238201.658105(cal)6.937 (J).(iii) 因为加热过程使缓慢得， 所以假定容器内的压力保持 1pn. 本问题， 空气的质量是改变的。

9、 在保持压力 p 和容积 V 不变的条件下加热时，在温度 T 下的质量 M(T)可由物态方程pV MRT(其中为空气的平均分子量)确定之。设 T1时，容器内的空气质量之为 M1,那么由pV M1(T)Q RT1算得M (T ) M1T1T, 所以T2T1T2T1M (T )CPdT M1T1CpTdT M1T1Cpln2TT1(1)3将T1=273K,T2=293K,M1Cp=8.2910 cal / K代 入 1 式 ， 即 得Q 8.29103273ln2931.60105cal 6.678105J2731.10 抽成真空的小匣带有活门，翻开活门让气体冲入。当压强到达外界压强p0时将活门关

10、上。试证明：小匣内的空气在没有与外界交换热量之前，它的内能 U 与原来在大气中的内能 U0之差为U U0 p0V0，其中 V0是它原来在大气中的体积。假设气体是理想气体，求它的温度与体积。解： (a) 求解这个问题， 首先要明确我们所讨论的热力学系统是什么。为此，可以设想：使一个装有不漏空气的无摩擦活塞之绝热小气缸与绝热小匣相连。假定气缸所容空气的量，恰好为活门翻开时进入该小匣内的那.v.一局部空气的量。这样，原来在小气缸中，后来处于小匣内的那一局部空气为了方便，设恰为 1mol 空气 ，就是我们所讨论的热力学系统。系统的初态(V0,T0, p0;U0)和终态(V,T, p;U)如下图：初态V

11、0,T0,p0;U0.终态V,T,p;U当翻开活门，有少量空气进入原来抽为真空的小匣，小气缸内的气压就降为比大气压小一点，外界空气就迫使活塞向匣内推进。根据热力学第一定律，在此绝热过程中，有积分之，U U0 p0dV p0dV p0V0V000V0(1)(b) 由即CVT CVT0 CpT0CVT0T 从上式，得CpCVT0T0(2)(c) 由于初态和终态的压力相等，故有VTT0(3)从以上两式，得到V0由(2)式知，(3)式可化为V V0TV0T0(4).v.n1.11 满足pV C的过程称为多方过程，其中常数 n 名为多方指数。试证明：理想气体在多方过程中的热容量为证明：根据热力学第一定律

12、，有CndT CVdT pdV(1)npV C化为利用理想气体的物态方程，可将将上式微分，得dV VdTRdT (n 1)T(n 1)p(2)将(2)代入(1)式，得1.12 试证明：在某一过程中理想气体的热容量如果是常数，该过程一n 定是多方过程，多方指数容量是常数。Cn CpCn Cp假设气体的定压热容量和定容热.证明：根据热力学第一定律由pV RT,有pdV Vdp RdT,将dT代入上式，得两边除以 Pv，再经整理，得到s假设气体是理想气体，1.13 声波在气体中的传播速度为其定压和定容热容量是常量。试证明气体单位质量的内能 u 和焓 h 可由声22u h (1) 1常量速及给出：常量

13、， p .v.证明：理想气体在准静态的绝热过程中，pV C，经积分，得dpdV 0pV,pp)S V(1)从而得到V(因为MV,所以p()SRTMa2T M，故R(2)对于理想气体，内能和焓分别为U CV 常数，H Cp 常数(3)把(2)中的 T 代入(3)式，并注意到得单位质量的内能 u 和焓 h 为1.14 大气温度随高度降低的主要原因是在对流层中的低处与高处之间不断发生对流。由于气压随高度而降低， 空气上升时膨胀，下降时收缩。空气的导热率很小，膨胀和收缩的过程可以认为是绝热过程。试计算大气dT温度随高度的变化率dz，并给出数值结果。CpCV R 和 CP/CVdp(z) (z)g提示：

14、根据流体静力学可导出气压随高度的变化率dz再T 1T(z) pp(z)，从而可以求出。答：s利用理想气体的绝热方程求出.v.dT(1)mg ,1dzR数值结果：-10K km .解：(i) 首先讨论在热平衡下，大气压如何随高度而改变。要注意到热平衡条件中包括力平衡条件，考虑在高度 z 和 z+dz 之间，其截面积为 A 的空气圆柱体图 1.14 ，作用在它的上截面和下截面的力分别为 p(z dz)A和p(z)A作用在圆柱内空气的重力为(z)Adz，由上述三个力的平衡条件:z+dz p(z dz)A+p(z)A(z)Adz=0dp(z) (z)g，dz得到(z)gAdzzP(z)A(ii) 把(

15、1)式的(z)变换到 p(z): 如果空气的平均分子量为 m， 那么 1mol空气的体积为mRTP (z)，那么可把理想气体的物态方程，V表为mRT (z)(z) p(z)p(z) (z)RT (z)m，和于是(1)式变为dp (z)mg p(z)dzRT (z)(2)(iii) 现考虑理想气体的准静态绝热过程： TdT ( z ) pdz从dp ( z )dz(3)S.v.T pS的表达式。知，下面的任务是要求关于由热力学第一定律及物态方程，在绝热过程中dQ CVdT pdV CVdT RTdV 0V(4)由pV RT,有pdV Vdp RdT,两边除以pV RT,得dVdTdpVTp(5)

16、R CPCV和CPCV那么得将(5)式代入(4)式，注意到 Tp或 1 Tp(6)S把(2)或和(6)式代入(3)式，得1mgdT(z) R.dz(7)2式中1.41,m 29g /mol,g 980cm/sec所以即每增加 1 千米，温度约降低 10oC.1.15 热泵的作用是通过一个循环过程将热量从温度较低的环境传送到温度较高的物体上去。 如果以理想气体的逆卡诺循环作为热泵的循环过程，热泵的效率可以定义为传送到高温物体的热量与外界所作的功的比值。试求热泵的效率。 如果将功直接转化为热量而令高温物体吸收， 那么 “效率为何.v.答：热泵效率1T2;T1T2后者为 1。见教材第一章 1.9 理

17、想气体的卡诺循环1.16 假设理想气体的 Cp和 Cv之比是温度的函数， 试求在准静态绝热过程中 T 和 V 的关系。该关系式中要用到一个函数 F(T)，其表达式为解：在准静态绝热过程中，CVdT pdV 0,因为pV RT, 故得R1dTdV1 0CVV或1 T(1)上式积分后，得dT(1)T lnV lnC(2)讨论：当为常数时，那么(1)式经积分后，得即有TV1 C 1.17 利用上题的结果证明：当为温度的函数，理想气体卡诺循环的1效率仍为PT2.T1(T1,P1,V1)Q1证明：如图 1.18 所示，：吸热1,P2,V2)(TQ2 RT2lnV3V4Q2Q1 RT1lnV2V1: 放热

18、(T2,P4V4)在整个循环过程中，对外所作的功为0图 1.18(T2,P3,V3)V.v.WQ1Q2 RT1lnVV2 RT2ln3V1V4(1)对于状态和有下面关系F(T1)V1 F(T2)V4(2)对于状态和，有下面关系F (T1)V2 F (T2)V4(3)V2V3V(3)式除以(2)式，即得1V4(4)代入到(1)式，那么得W R(T1T2)lnV2V1(5)所以WQ1R(T1T2)lnRT1lnV2V1V2V11T2.T11.18 试根据热力学第二定律证明两条绝热线不能相交。证明：我们用反证法来证明。如图 1.18-1 所示。假设两条绝热线 S1和 S2相交与 C 点。今考察一条等

19、温线 T，它与两条绝热线分别相交于 A 点和 B 点这样一条等温线总能找到，因为等温线得斜率总比绝热线的斜率为小 。我们可以把过程 ABCA 认为是可逆循环，在这个循环中，仅在等温过程 AB，系统从外界吸热 Q；系统对外界作的功，其量值等于面积 ABC.这就意味着，在此循环过程中，从单一热源吸收的热量完全转变为功而不因起其它变化。这是违反热力学第二定律的卡尔文说法的。结论是，两条绝热线不能相交。又，假设两条绝热线S1和 S2，如图1.18-2 所示那样相交于 C，我们作等温线 T 构成一个循环，那么会得出更为荒唐的结果：.v.它不断对外作功正循环 ，又不断对热源放热。这不仅不符合热力学第二定律

20、，而且也违背热力学第一定律，所以两条绝热线是不能相交的。PS1PQS2TBTS1S2AABC0V0C图 1.18-2V图 1.18-11.19 热机在循环中与多个热源交换热量。在热机从其吸收热量的热源中，热源的最高温度为 T1. 在热机向其放出热量的热源中，热源的最低温1T2.T1度为 T2.试根据克氏不等式证明，热机的效率不超过证明：根据克劳修斯不等式，我们有dQ1dQ2(a)T(外)(b)T(外)所以(1)其中，热机在过程(a)的元过程中吸收热量dQ1 0 ，而在过程(b)的元过程放出热量(dQ2 0是放出热量的量值)。如果 T1是过程(a)中， T(外)的最大值； T2是过程(b)中，

21、T(外)的最小值，那么从(1)是，我们有(上式等号适用于仅有两个热源并且过程是可逆的情况)对外界所作的功W Q1 Q2.v.所以QTW1212.Q1Q1T11.20 理想气体分别经等压过程和等容过程，温度由 T1升至 T2. 假设是常数，试证明前者的熵增为后者的倍。证明：理想气体在准静态过程中，有dQ CVdT pdV CpdT Vdp(1)P对将在等压过程中，熵增为证明上式的另一方法是：T2CpdTT2dTT(S)pCpCpln2T1于理想气体，我们T1TT1T(2)上两式分别用于等容和等压过在等容过程中，熵增为T1C dTT2dTTT2T1V(S)V程，可得CVCVln2T1T1T0TT1

22、o1kg(3)V1.21 温度为 0 C 的水图 1.20(S)pCpo与温度为 100C 的恒温热源接触(S)VCV故(假设 Cp和 CV是常o后，水温到达 100 C。试分别求水和热源的熵变以及整个系统的总熵变。欲使整个系统的熵保持不变，应如何使水温从 0oC 升至 100oC 水的比热容为4.18J g1K1.解：题中的热传导过程是不可逆过程，要计算水和热源的熵变，那么必须设想一个初态和终态分别与题中所设过程一样的可逆过程来进展计算。 要计算水从 0oC 吸热升温至 100oC 时的熵变， 我们设想一个可逆的等压过程：对于热源的放热过程，可以设想一个可逆的等温过程：在 0oC 和 100

23、oC 之间取彼此温度差为无穷小的无限多个热源， 令水依次.v.与这些温度递增的无限多个热源接触，由0oC 吸热升温至 100oC，这是一个可逆过程，可以证明1.2210A 的电流通过一个 25的电阻器，历时 1s. (i) 假设电阻器保持为室温 27oC，试求电阻器的熵增。(ii) 假设电阻器被一绝热壳包装起来，10.84J g K,问电阻器其初温为 27 C，电阻器的质量为 10g，比热容 cp为o的熵增为何.解：(1) 假设电阻器保持一定温度，那么它的状态不变，而熵是状态的函数，故知电阻器熵增为零，即S 0.我们也可以这样考虑，电功转变为热，传人电阻器，同时此热量又由电阻器流入恒温器(比方

24、是实验室)。因此，传入电阻器的净热量为零，故有S 0.(2) 在这过程中，有电功转变为热，是不可逆过程。因为熵是态函数，我们设想一个是电阻器等压加热的过程来计算熵增。电阻器终态的温度为 Tf，有 Q=mCp(Tf-Ti), 及得Tf600300 600(K)100.21.23 均匀杆的温度一端为T1，另一端为T2. 试计算到达均匀温度1(T1T2)2后的熵增。解：当热力学系统从一平衡态经历了一个不可逆过程到达另一平衡态时，其熵的改变可引入一个适当的可逆过程而进展计算，这是因为熵是态函数。而本问题中，杆是从一非平衡态经历了热传导的不可逆过程，而到达一个平衡态。因此，设想下述可逆过程：把杆当作是无

25、数无限薄的小段组成，每一个小段的初温各不一样，但都将具有一样的终温。我们再设想.v.所有的小段互相绝热，并保持同样的压力，然后使每小段连续地跟一系列热源接触，这些热源地温度由各段的初温度至共同的终温度。这样就定出无数个可逆的等压过程，用来使该杆由初始的非平衡态变化到平衡态的终态。我们考虑长为 L 的均匀杆，位于 x 处的体积元的质量为其 中 及A分 别 为 杆 的 密 度 及 截 面 积 ， 该 段 的 热 容 量 为Cpdm CpAdx最初的温度分布是线性分布的，而使 x 处的初温为假设无热量损失，并且为了方便起见，假设各小段的热传导率、密度和热容量都保持不变，那么终温该体积元的熵增为TfT

26、T TCpAdxVpAdxln(112x)TiT TTfLTfT112xL沿整个杆积分，得熵的总变化等于TfTfdTCpAdxlnCpAdxlnTTi利用积分公式经积分并化简后，得到1.24 根据熵增加原理证明第二定律的开氏表述，从单一热源吸收热量使之完全变成有用的功而不引起其它变化是不可能的。证明：假设有一个温度为 T 的热源，一热机在循环过程中从这个热源吸收热量 Q，并把此热量 Q 全部转化为机械功输出。显然，热源和热机合起来成为一个绝热系统，在上述循环过程中，热源的熵减少了 Q/T，而热机的工作物质的熵不变。这样一来，整个绝热系统的熵减少了，这违反了.v.熵增加原理。因此，热机从单一热源

27、吸热并全部转化为功的过程是不可能的。这个例子说明，热力学第二定律的开氏说法也包括在熵增加原理这一更普遍的表述中。1.25 物体的初温 T1高于热源的温度 T2. 有一热机在此物体与热源之间工作，直到将物体的温度降低到 T2为止。假设热机从物体吸取的热量为 Q，试根据熵增加原理证明，此热机所能输出的最大功为Wmax Q T2(S1 S2)其中 S -S 是物体的熵减少量。12证明：热机工作假设干循环后从物体吸Q WW，热 Q， 对外界做功放出热量 Q-WT2(3)热源熵的变化到 T2,此时复合系统(物体、热机和热源)的熵变：复合系统为一绝热系统，按熵增加原理，有Q W(1) (1) 物体熵的变化

28、S2 S1;S2 S1 0T (S2 S1) Q WT2即(2) (2) 热机工作物质熵的变化为 0，物体T1QWQ-W热源T2图 1.25因为作假设干循环后，物质恢复对于可逆过程，上式取等号，即得原来状态；Wmax即为此热机所能输出的最大功。1.26 有两个一样的物体，热容量为常数，初始温度同为 Ti. 今令一致冷机在此两物体间工作，使其中一个物体的温度降低到 T2为止。假设物体维持在定压下，并且不发生相变。试根据熵增加原理证明，此过程所需的最小功为WminT Cp(iT2 2Ti)T22证明：把两个物体和制冷机看成为一个绝热系统，那么按熵增加原理有2S C (lnTT lnT ) 0(1)

29、p12i即.v.T1 Ti2/T2(2)又，根据热力学第一定律，有Q1 Q2W即T1TiCpdT CPdT WT2Ti积分上式，并经整理后，得W Cp(T1T2 2Ti)把(2)式代入(3)，得(3)W Cp(Ti2/T2T22Ti)(4)当制冷机作可逆循环时，式中取等号，制冷机作的功最小：WminTi2 Cp(T2 2Ti)T2(5)1.27 简单系统有两个独立参量。如果以 T,S 为独立参量，可以纵坐标表示温度 T，横坐标表示熵 S，构成 T-S 图。图中的一点与系统的一个平衡态、一条曲线与一个可逆过程相应。试在图中画出可逆卡诺循环过程的曲线，并利用 T-S 图求卡诺循环的效率。TT解：

30、由两条等温线和两条绝热线构成的卡诺循环 12341，1Q2Q2在 T-S在过程图上，就由图 1.27 所示。其中 12是等温过程，由于在此34 中，物质放出的热量为过程中，物质吸热，所以熵是增加的。34 也是等温过程，由于在所以卡诺循环的热机效率为T2此过程中，物质放热，所以熵减小。过程 233,41 是绝热的等熵过程。在计算热机循环的效率时，应用 T-S 图比用 P-V 图更为方便，这就是在4Q在过程 12 中，物质吸收的热量 Q1为热工计算中广泛采用 T-S 图的原因。02Q1T1dS T1(1S2 S1)程1.28由1物态图方1.27T1S2SSf (P,V,T) 0证明：.v.(VPT

31、)T()V()P 1PTVf (P,V,T) 0 P P(V,T) dP (设dP 0 (PP)TdV ()VdTVTPPTVPT)T ()V()P ()T()V()P 1VTVPTV第二章均匀物质的热力学性质第二章均匀物质的热力学性质02.1 温度维持在 25C,压强在 0 至 1000atm 之间，测得水的实验数据VT如下：(4.51031.4106p)cm3mol k1=假设在 25C 的恒温下交水从 1atm 加压至 1000atm， 求水的熵增加从外界吸收的热量。vv()p a bp)p解： a把题中的t写成下面的形式：t( s V)T ()P T而 p(将题中所给数据代入上式，并注

32、意 1atm=101325Pa,算得s 0.527 j mol1k1。(b) Q TS 298(0.527) 157J mol1。2.2在体积不变时，一气体的压力正比与其绝对温度。试证明在温度保持不变时，该气体的熵随体积而增加。解：p f (V)T，其中比例系数 f(V)0,它仅是 V 的函数，今要证明(SsP)T 0()T ()V f (V) 0VT。根据麦氏关系，有V因此即的证明。2.3 设一物质的物态方程具有以下的形式：P=f(v)T 试证明内能与体积.v.无关。UP)T T()V PT解：根据V( s s)H0 ; ( 2 )()U0 p V2.4 求证： 1(sV)H 0pT证明:由

33、 dH=TdS+Vdp,令 dH=0,得(因为 V0,T0)(sp)U0T由dU TdS pdV ,令dU 0,得V(因为 P0,T0) U U 0()T 0, PT2.5V求证U)T 0,证明:V,所以( U V U ()()T 0T V P PT。2.6 试证明,一个均匀物体在准静态等压过程中熵随体积的增减取决于等压下温度随体积的增减。 s 证明：这可以由压力不变下，熵对体积的偏导数vv的符号证明之。就定压膨胀系数1 V VTV而论， 选 T,P 为独立变量是方便的， 于是问题s 就归结于把vp中的独立变量V，P变换到独立变量T，p 。这可采用下面两种方法来做。.v. S VPi S CP

34、 S T TP T V V TPVTPs C因对均匀物体，P0;而 T0,及 V0,所以vp的符号与的符号一样.即在准静态等压过程中熵 S 随体积 V 的增减取决于温度随体积的增减。ii2.7 试证明，在一样的压力降落下，气体在准静态绝热膨胀中的温度降落大于在截流过程中的温度将落。 T T 0PPSH证明：据题意，此题就是要证明： T T T H PPHPSHPS即VTTT H0 PPHPCSHPSP上式中用到 H H CP VTP和PS该题所证明的结果说明，为了冷却气体例如为了液化 ，用准静态绝热膨胀的方法比节流过程为好。其理由两个： 1，每一种气体都可以采用前者的方法是它冷却下来 2，温度

35、降落较大2.8实验发现,一气体的压强 p 与比容 v 的乘积及内能 U 都只是温度T的函数,即 pv=(T), U=U(T) , 试根据热力学理论,讨论该气体的物态方程可能具有什么形式.v.解：由题知，内能只是温度的函数，U=U(T)，所以， U P T P 0vTTVdfTdTdfT1fT 0T 0 f TTdTvv即经积分得到lnf(T)-lnT=lnC,lnfT ln CT所以 fT=CT,(其中 C 是一常数)，因此，PV=CT 2P CP CV, T 2pVTTV2.9 证明:CV C T0VV 2V T T2TP并由此导出:V 0 2P T2dVV根据以上两式证明,理想气体的定容热

36、量和定压热容量只是温度 T 的函数. S CV T TV，证明： 1由于所以PTdS CVdT T dVTV(1)式也可以从 TdS 第一方程证明：由于 dS1 CVTVTT是全微分，所以 P 2P 2TVVTV，即 2P CV T2VTTV U P U T PCV TVTV及能态方程TV从，也可证明.v.1式成立。 S Cp T Tp，2 ：由Cp2V 2SS V T TTT TT2(2)ppTTpTPPPTTp得V TdS CPdT T dPTP由 dS 的全2式也可以从 TdS 第二方程证明：微分条件,得1 CpTp TTV 2V T2TPP H C pTp及V，从H V V TPTTP

37、也可证明2式。焓态方程 2P CV CTdVV0T2V3 ： 在恒定温度下积分 1 式， 得0VV(3)0CV其中是体积为V0是的定容热容量。 3 式说明， 只要测得在某一体积V0下0CV的定容热容量，那么在任何体积下的定容热容量就可根据物态方程所给 2p T2V而计算出来。的4在恒定温度下积分2式，得 2V Cp C TdP2p0TP0pp(4)0C其中p是当压强为 P0时的定压热容量。 4式说明，只要测得在某.v.0Cp一压强 P0下的定压热容量，那么在任何压强下的定压热容量都可根据2VT2物态方程所给的P而计算出来。CV 05 ： 将理想气体物态方程 PV=RT 代入 1 式和 2 式，

38、 得VT， Cpp 0CT，所以理想气体定容热容量CV和定压热容量p只是温度 T的函数。2.10 证明 X 氏气体的定容热容量只是温度 T 的函数,与比容无关。 2P CV T2VTVT证明：在 2.9 题已经证得(1)RTap 2V bV算 出由X氏 气 体 方 程 p TRV bV， 2P CV 0 0 T2VVT因此 1 式中的即 X 氏气体的定容热容量只是温度 T 的函数,与比容无关。2.11 证明理想气体的摩尔自由能可以表为证明：摩尔自由能为 f=u-Ts，又理想气体的摩尔内能和摩尔熵分别为u CfVdT u0和s CVdT R ln V S0T故得CVdT TCVdT RTln V

39、 u0 TS0T上式右边前两项还可以合并成一项。在右边第二个积分中，令.v.x 1, y CVdT ,T再完成分部积分，得CV1dTdT xdy xy ydxC dT TTVT2CVdT ,于是化为下面带有双重积分的形式：2.12 求 X 氏气体的特性函数 f,并导出其它的热力学函数。提示：V 时，X 氏气体趋于理想气体。 f RTap p 2VT得V bV，由解： aX 氏气体，RTa f ,2VV bVT积分后得其中T为积分常数，可用如下的方法确定之：当V 时那么f理想 RTln VT(2)在2.11题已得下面结果：比拟2式和3式，即得将4式代入1式，即得2.13 试证明 X 氏气体的摩尔

40、定压热容量与定容热容量之差为 P V Cp CV T TTP由 X 氏方程可得V证明：所以，2.14 一弹簧在恒温下的恢复力 X 与其伸长成正比,即 X=A.今忽略弹簧的热膨胀,试证明弹簧的自由能 F、熵 S 和内能 U 的表达式分别为证明： aF 是 x 和 T 的函数，那么.v.dF SdT Xedx SdT Xdx(1)上式中恢复力 X 是外力Xe的平衡力，在准静态过程中，XeX，因此外力所作的功dWe Xedx Xdx从1式得到上式对 x 求积分那么得dFT ,0 x2dA F S (T , x ) TdT2dTx(b) 由1式给出x2dAS (T , x) S (T ,0) 2 dT

41、所以(c)U (T , x) F TS U (T ,0) 1dA2( A T)x2dT2.15承前 1.5 和 1.8 题，试求将理想弹性体等温可逆得由L0拉长至2L0时所吸的热和内能的变化。解：弹性体的物态方程为将弹性体等温可逆得由L0拉长至 2L0时外界所作的功为(a)为求弹性体等温可逆得由L0拉长至 2L0时所吸的热，我们利用 L TdS CFdT TdF TFTdS 第二方程(3)在等温过程中吸收的热量是Q T S LTdF TF(4)把状态方程在 F 不变下对 T 求导,得.v.式中01dL0 L L0dT,由(5)式可以求出TF另外，在 T 不变的情况下，由1式可求出 L TF代入

42、4式得将6式及5式中的(b)按热力学第一定律，在此过程中系统内能的改变为2.16承 2.15 题， 试求该弹性体在可逆绝热过程中温度随长度的变化。解：弹性体的物态方程为 L Ts。此题要求弹性体在可逆绝热过程中温度随长度的变化，即求利用弹性体的 TdS 第一方程T T LsCL在可逆绝热过程中，有 F TL(3)物态方程1式得将4式代入3式得S F T L S 1 LTLST L，sTLT利用循环关系式，及麦氏关系也可得到3式。.v.2.17X射线衍射实验发现,橡皮带未被拉紧时具有无定形构造,当受X力而被拉伸时,具有晶型构造.这一事实说明橡皮带具有大的分子链。(a) 试讨论橡皮带在等温过程中被

43、拉伸时它的熵是增加还是减少； (b) 试证明它的膨胀系数1 L LTF是负的。解：考虑在可逆弹性 X 围内的一长度为 L 的橡皮带。当两端受 X 力拉伸时，其长度将增加，横截面将减少。实验说明，在此过程中其体积根本上保持不变，可略去体积功。因此外界对象皮带所作的元功为dW=FdL(1)由热力学根本方程得dU TdS FdL(2)(a) 根据熵的统计意义，熵是系统内部混乱度的量度。今知在等温的增大 X 力是橡皮带伸长的过程中，橡皮带从非晶型构造转变为晶型构造，即从混乱分布转变为较规那么分布，混乱度减少，因而熵减少。用数学偏 S 0 FT导数表示，即(3)(b)对根本方程2进展变量代换，得 dG(

44、T,F)=-SdT-LdF(4) L S TFTF因此(5) L 0TF利用3式，可知。因此橡皮带的线胀系数.v.1 L 0LTF2.18 假设太阳是黑体，根据以下数据求太阳外表温度。单位时间内投射到321地球大气层外单位面积上的太阳辐射能量为1.3510 J ms，太阳的811半径为6.95510 m，太阳与地球的平均距离为1.49510 m。4JTu解：按斯特潘玻耳兹曼定律，辐射通量密度为其中 50669108W m2K4(1)。如果把太阳辐射看作黑体辐射，那么单位时间内由太阳说明辐射出去的总能量为22Ju 4R日T4 4R日(2)其中R日是太阳半径。另一方面，在以太阳与地球的平均距离R日

45、地为321.3510 4R(3)日地半径的球面上， 单位时间内接收到的总能量为。令2式与3式相等，得太阳外表的温度为将，R日，R(日地值代入4式，可得T 5760K。2.19 计算热辐射在等温过程中体积由V1变到V2时所吸收的热量。43aT V3， 所以在可逆的等温过程中， 当体积由V1解： 辐射场的熵是S 变到V2时所吸收的热量是Q T (S2 S1) TS T44aT3V aT4(V2 V1)33。.v.2.20 试讨论以平衡辐射为工作物质的卡诺循环，计算其效率。解：平衡辐射场的熵是S 43aT V3(aa)在可逆的绝温过程中辐射场的熵不变，故由于P 111u,u aT4 P u aT43

46、33(1)上式说明平衡辐射场的压力与体积无关，可逆等压过程也就是可逆等温过程。从bb和1式，可得在可逆绝热过程中，有PV 恒量(2)。由1式与2式，得知卡诺循环如下图。下面计算此卡诺循环的效率。从等温膨胀过程 12 中，系统吸收热量在等温压缩过程 34 中，系统放出热量43Q2T2S244aT2(V3V4)3，在绝热过程 23 和 41 中，没有热量交换。所以循环效率为44Q1Q2T1V2V1T2V3V4Q1T14V2V1(3)又因为状态 2 和状态 3 在同一条绝热线上；状态 4 和 1 也在同一条绝热线33上，故分别得到T1V2T2V3;T13V1T23V4.v.将这两式代入3式即得T1T

47、2T1这与以理想气体为工作物质的卡诺循环效率的公式一样。2.21如图 2.7 所示，电解质的介电常量(T) DE与温度有关。试求电路为闭合时是电解质的热容量与充电后在令电路断开时热容量之差。解： 在准静态过程中， 单位体积的电介质中电位移矢量改变 dD 时外界所作的功为dW EdD因此得到dU TdS EdD d(TS) SdT EdD,d(U TS) SdT EdD,dF(T,D) SdT EdD,即 S E DTDT由此得麦氏关系式(1)当电路闭合时，电容器接到具有恒定电动势的电池之线路中，电介质中电 S CE TTE充电后电路断开，场强度 E 为常量，这时电解质的热容量为电容器板上的电荷

48、恒定，这是电位移矢量D 为常量，电介质的热容量为 S CD T TD.v. S S S D TTDTEEDT因为(2)由于1式得D2 d S S CECDTTT3TTdT。ED最后得到CHT居里定律内能密度为22.22 顺磁物质的磁化强度m 为4m u=aT(a 为常数)假设维持物质的温度 T 不变，使磁场有 0 增至 H，求磁化热。解：dW u0HdM(其中M mV),dU TdS u0HdM,其中dU Vdu,在维持 T 不变的条件下，du=0, 故Q TdS H0CCV u0H2u0VHdH TT2。2.23超导体的磁感应强度 Bu0H m 0求证：iCm与 m 无关，只是 T 的函数，

49、其中Cm是磁化强度 m 保持不变时的热容量。u0m2U CmdT U02ii.v.iiiS CmdT S0T解：从 Bu0H m 0，即得 H=-m(1)由此说明，当超导体转变到超导态时，磁场被排出；并且超导体具有理想的反磁体的性质。取单位体积的超导体，由热力学根本微分方程由此得到df d(u TS) sdT u0Hdm(2)从上式得到麦氏关系式S u0H m (3)TTmi证明Cmm 0TCT S S 由于mT，又把1式代入3式，可知mm0TC2m S 所以mTSTTmTTm0Tmii热力学根本方程即dU CmdT u0mdm，积分后得dS (iii)S S S CmTdT mmdm TTd

50、T dTmT.v.所以S CmdT S0T2.24实验测得顺磁介质的磁化率T。如果忽略体积的变化，试求特性函数 f(m,T)，并导出内能和熵。解：从题知，单位体积的磁化强度m=TH。参照2.23 题中的2式，我们有df (T,m) SdT u0Hdmm f (T,m u H u00m(T)T由此得到(1)从1式，对 m 积分，得从2式和上式得到u f TS 而dTu011m2u0m22Tu02T2TdT第三章单元系的相变第三章单元系的相变3.1 证明以下平衡判据假设S01在S,V不变的情形下，平衡态的U最小。2在S,p不变的情形下，平衡态的H最小。3在H,p不变的情形下，平衡态的S最小。4在F