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1、关于二重积分的概念现在学习的是第1页，共25页一一. . 二重积分的概念二重积分的概念1 1引例引例曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积 曲顶柱体：曲顶柱体： 柱体的柱体的底底是是xoyxoy面上的一有界闭区域面上的一有界闭区域D D； 侧面侧面是以是以D D的边界曲线为准线而母线平的边界曲线为准线而母线平 行于行于z z轴的柱面；轴的柱面； 顶顶是曲面是曲面z=f(x,y)(f(x,y) 0),fz=f(x,y)(f(x,y) 0),f在在D D 上连续。上连续。 区域的直径：区域的直径：闭区域上任意两点间距离的闭区域上任意两点间距离的 最大值，称为闭区域的直径最大值，称为闭区域的直径。现在学习的是
2、第2页，共25页平顶平顶(z=f(x,y)=(z=f(x,y)=常数常数) )柱体的体积：柱体的体积： 体积体积 = = 高高（z=z=常数）常数） 底面积底面积（区域（区域D D的面积）的面积）（请回忆在（请回忆在61解决计算曲边梯形面积的思想分析方法：解决计算曲边梯形面积的思想分析方法：）oxyzD Dz=f(x,y)z=f(x,y)yxzz=f(x,y)z=f(x,y)oD D( ( i i, , i i) ) i i现在学习的是第3页，共25页曲顶柱体的体积曲顶柱体的体积V:V:分割：分割：D = D = 1 1 2 2 n n V V = = V V1 1V V2 2 V Vn n
3、( ( i i为为V Vi i窄条曲顶柱体的底；窄条曲顶柱体的底；d di i为为 i i的直径。的直径。) )近似：近似：近似地将小曲顶视为平顶近似地将小曲顶视为平顶（满足条件：满足条件：z=f(x,y)z=f(x,y) 连续，小区域连续，小区域 i i的直径的直径d di i很小）很小），以点以点( ( i i, , i i) ) i i的竖坐标的竖坐标f(f( i i, , i i) )为高，则得每个小为高，则得每个小 窄条曲顶柱体的体积近似值窄条曲顶柱体的体积近似值 V Vi if(f( i i, , i i) ) i i (i=1,2, ,n)(i=1,2, ,n)求和求和：取极限取
4、极限： 其中其中d = maxd = maxd d1 1,d,d2 2,d,dn n, ,用用 i i也示小区域的面积。也示小区域的面积。11( , )nniiiiiiVVf 01lim( ,)niiidiVf 现在学习的是第4页，共25页2 2引例引例平面薄片的质量平面薄片的质量 有一个平面薄片有一个平面薄片, 在在 xoy 平面上占有区域平面上占有区域 D ,),(Cyx计算该薄片的质量计算该薄片的质量 M .度为度为),(),(常数若yx设设D 的面积为的面积为 ,则则M若若),(yx非常数非常数 ,仍可用仍可用其面密其面密 “分割分割, ,近似和近似和, 求求 极限极限” 解决解决.1
5、)“分割分割”用用任意任意曲线网分曲线网分D 为为 n 个小区域个小区域,21n相应把薄片也分为小区域相应把薄片也分为小区域 .Dyx现在学习的是第5页，共25页2)“近似近似”中中任取任取一点一点k在每个),(kk3)“近似和近似和”nkkMM1nkkkk1),(4)“取极限取极限”)(max1knk令nkkkkM10),(limk),(kk),2, 1(),(nkMkkkk则第则第 k 小块的质量小块的质量yx现在学习的是第6页，共25页两个问题的两个问题的共性共性：(1) 解决问题的步骤相同解决问题的步骤相同(2) 所求量的结构式相同所求量的结构式相同“分割分割, 近似和近似和,取极限取
6、极限”nkkkkfV10),(limnkkkkM10),(lim曲顶柱体体积曲顶柱体体积: 平面薄片的质量平面薄片的质量: 现在学习的是第7页，共25页2.2.定义（定义（二重积分二重积分）：）： 设设z=f(x,y)z=f(x,y)在区域在区域D上有界，则上有界，则分割：分割：用平面曲线网将用平面曲线网将D分成分成n个小区域个小区域 1 1, , 2 2, , , n n 各个小区域的面积是各个小区域的面积是 1 1 , , 2 2 , n n 各个小区域的直径是各个小区域的直径是 d d1 1,d,d2 2 ,d,dn n近似：近似：在各个小区域上任取一点在各个小区域上任取一点 ( ( i
7、 i, , i i) ) i i ， 作乘积作乘积 f(f( i i, , i i) ) i i (i=1,2, ,n)(i=1,2, ,n)求和：求和：1( ,)niiiif 现在学习的是第8页，共25页取极限：取极限：当当n且且 =max=maxd d1 1,d,d2 2,d,dn n0 0时，时， 极限极限 存在，则称此极限值为存在，则称此极限值为z=f(x,y)z=f(x,y)在在D上的上的 二重积分二重积分，记为，记为 即即 f(x,y) f(x,y) 被积函数被积函数 f(x,y)df(x,y)d 被积表达式被积表达式 d d 面积元素面积元素 x,y x,y 积分变量积分变量 D
8、 积分区域积分区域 积分和式积分和式01lim( ,)niiiif ( ,)Df x y d01( , )lim( ,)niiiiDf x y df 1( , )niiiif 现在学习的是第9页，共25页注记注记： 在直角坐标系中，在直角坐标系中，i( x xi i)()( y yi i) ) 面积元素面积元素 d d =dxdy,=dxdy,故二重积分又有形式故二重积分又有形式 由于二重积分的定义，曲顶柱体的体积是由于二重积分的定义，曲顶柱体的体积是 二重积分的几何意义：二重积分的几何意义： 当当f(x,y)0f(x,y)0时，二重积分的几何意义是：曲顶柱体的体积时，二重积分的几何意义是：曲
9、顶柱体的体积； 当当f(x,y)0f(x,y)0时，二重积分的几何意义是：曲顶柱体的体积的负值时，二重积分的几何意义是：曲顶柱体的体积的负值； 当当f(x,y)f(x,y)在在D D上既有在若干分区域上取正值，也有在其余区域上取负值时，上既有在若干分区域上取正值，也有在其余区域上取负值时，二重积分的二重积分的几何意义是：几何意义是：xoyxoy面上方的柱体体积为正、下方的为负时的柱体体积的代数和。面上方的柱体体积为正、下方的为负时的柱体体积的代数和。( ,)Df x y dxdy( ,)DVf x y d现在学习的是第10页，共25页 函数函数f(x,y)f(x,y)在闭区域在闭区域D D上连
10、续，则上连续，则f(x,y)f(x,y)在在D D上的上的二重积分必定存在。二重积分必定存在。 n(n( 0)0)时，积分和式极限存在，与对时，积分和式极限存在，与对D D 区域的分法无关，与区域的分法无关，与( ( i i, , i i) ) i i的取法无的取法无 关，仅与关，仅与D D和和f(x,y)f(x,y)有关。有关。 “ i i的直径很小的直径很小” 与与 “ i i的面积很小的面积很小” 对对 于于 “近似近似” 有根本的区别，因此极限过程用有根本的区别，因此极限过程用 00，而不能仅用而不能仅用nn来描述。来描述。现在学习的是第11页，共25页二二重积分的性质二二重积分的性质
11、( , )( , )DDa f x y daf x y d ( , )( , )( , )( , )DDDf x yg x y df x y dg x y d12( , )( , )( , )DDDf x y df x y df x y dDd（ 为为D的面积）的面积）（D=D1+D2）现在学习的是第12页，共25页 在在D D上上, ,若恒有若恒有f(x,y)g(x,y)f(x,y)g(x,y)，则，则 特别地，在特别地，在D上若上若f(x,y)0 f(x,y)0 ( 0 )( 0 ) 恒成立，恒成立， 则则 在在D D上若上若mf(x,y)M mf(x,y)M ， 为为D D的面积，则的面
12、积，则( , )( , )DDf x y dg x y d( , )0Df x y d( 0 )( 0 )( , )( , )DDf x y df x y d( , )Dmf x y dM现在学习的是第13页，共25页 二重积分中值定理：二重积分中值定理： 设设f(x,y)f(x,y)C(D)C(D)，D D为有界闭区域，为有界闭区域， 为为D D的面积，的面积， 则至少则至少 ( ( , , ) )DD， 使使( , )( , )Df x y df 现在学习的是第14页，共25页例题解析例题解析例例1122 311(),( , )| 11, 22DIxydDx yxy 其中222 322()
13、,( , )|01,02DIxydDx yxy其中设设利用二重积分的几何意义说明利用二重积分的几何意义说明I I1 1和和I I2 2之间的关系之间的关系现在学习的是第15页，共25页解：解： 由二重积分的几何意义知，由二重积分的几何意义知，I I1 1表示底为表示底为D D1 1，顶为曲面，顶为曲面z=z=（x x2 2+y+y2 2）3 3的曲顶柱体的曲顶柱体M M1 1的体积；的体积；I I2 2表示底为表示底为D D2 2，顶为曲面，顶为曲面z=z=（x x2 2+y+y2 2）3 3的曲顶柱体的曲顶柱体M M2 2的体积；由于位于的体积；由于位于D D1 1上方的曲面上方的曲面z=z
14、=（x x2 2+y+y2 2）3 3关于关于yoxyox面和面和zoxzox面均对称，故面均对称，故yozyoz面和面和zoxzox面将面将M M1 1分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为M M2 2。由此可知由此可知124IIxy1-1-22现在学习的是第16页，共25页例例2利用二重积分的几何意义确定二重积分利用二重积分的几何意义确定二重积分223)Dxyd（的值，其中的值，其中22:9D xy解：解：曲顶柱体的底部为圆盘曲顶柱体的底部为圆盘229xy其顶其顶 是下半圆锥面是下半圆锥面223zxy故曲顶柱体为一圆锥体，它的底面故曲顶
15、柱体为一圆锥体，它的底面半径及高均为半径及高均为3，所以，所以223)9Dxyd（现在学习的是第17页，共25页例例3利用二重积分的几何意义说明：利用二重积分的几何意义说明：（1 1） 当积分区域当积分区域D D关于关于y y轴对称，轴对称，f f（x x，y y）为）为x x的奇函的奇函数，即数，即f f（-x-x，y y）= -f= -f（x x，y y）时有）时有( , )0Df x y d（2 2） 当积分区域当积分区域D D关于关于y y轴对称，轴对称，f f（x x，y y）为）为x x的偶的偶函数，即函数，即f f（-x-x，y y）= f= f（x x，y y）时有）时有1(
16、, )2( , )DDf x y df x y d（D D1 1为为D D在在x0 x0的部分）的部分）现在学习的是第18页，共25页12222()2()DDxydxyd( , )0Df x y d现在学习的是第19页，共25页注记注记：结论的推广结论的推广（1 1） 当积分区域当积分区域D D关于关于x x轴对称，轴对称，f f（x x，y y）为）为y y的奇的奇函数，即函数，即f f（x x，-y-y）= -f= -f（x x，y y）时有）时有( , )0Df x y d（2 2） 当积分区域当积分区域D D关于关于x x轴对称，轴对称，f f（x x，y y）为）为y y的的偶函数，
17、即偶函数，即f f（x x，-y-y）= f= f（x x，y y）时有）时有1( , )2( , )DDf x y df x y d（D D1 1为为D D在在y0y0的部分）的部分）现在学习的是第20页，共25页例例4比较比较23()0()0DDxydxy d和的大小，22( , )|(2)(1)2Dx yxy其中分析：主要考虑分析：主要考虑2322()()( , )|(2)(1)2xyxyDx yxy与在的大小现在学习的是第21页，共25页【附注附注】比较比较 和和 的大小的大小( , )f x y( , )x y先令先令 得曲线得曲线( , )( , )f x yx y( , )( ,
18、 )( , )0F x yf x yx y在在 的两侧的两侧 ( , )0F x y 一般的有一般的有( , )0( , )0F x yF x y或判断判断D在曲线的哪一侧，即可判断在曲线的哪一侧，即可判断( , )f x y( , )x y的大小的大小现在学习的是第22页，共25页例例5利用二重积分的性质估计积分值的范围利用二重积分的性质估计积分值的范围22(10)(2)(1)2)DxydDxy11(10)30Dxyd分析：分析：111015xy2DS现在学习的是第23页，共25页【作业作业】习题911、2、3现在学习的是第24页，共25页感谢大家观看感谢大家观看现在学习的是第25页，共25页