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1、关于函数最值与导数现在学习的是第1页，共31页一、函数的极值定义一、函数的极值定义设函数设函数f(x)在点在点x0附近有定义，附近有定义，如果对如果对X0附近的所有点，都有附近的所有点，都有f(x)f(x0), 则则f(x0) 是函数是函数f(x)的一个极小值，记作的一个极小值，记作y极小值极小值= f(x0)；oxyoxy0 x0 x函数的函数的极大值极大值与与极小值极小值统称统称为为极值极值. 使函数取得极值的点使函数取得极值的点x0称为称为极值点极值点现在学习的是第2页，共31页xyo0 x左正右负极大左正右负极大左负右正极小左负右正极小左右同号无极值左右同号无极值(2) (2) 由负变
2、正由负变正, ,那么那么 是极小值点是极小值点; ;0 x( )f x (3) (3) 不变号不变号, ,那么那么 不是极值点。不是极值点。0 x( )f x (1) (1) 由正变负由正变负, ,那么那么 是极大值点是极大值点; ;( )fx 0 x二二.极值的判定极值的判定 yxo 0 xxoy0 x0()0f x 函数函数f(x)可导，可导，x0为极值点为极值点 现在学习的是第3页，共31页求解函数极值的一般步骤：求解函数极值的一般步骤： （1）确定函数的定义域）确定函数的定义域 （2）求函数的导数）求函数的导数f(x) （3）令）令f(x)=0，求方程的根，求方程的根 （4）判断根左右
3、两侧的符号，并列成表格得）判断根左右两侧的符号，并列成表格得出结论出结论左正右负为极大值点，左负右正为极小值点左正右负为极大值点，左负右正为极小值点现在学习的是第4页，共31页xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6在闭区间的连续函数如下图所示,你能找出函数的极值吗？极值是最值吗？135( ), ( ), ( )f xf xf x观察图象，我们发现， 是函数y=f(x)的极小值， 是函数y=f(x)的 极大值。246( ), ( ), ( )f xf xf x极值是最值吗？现在学习的是第5页，共31页 在社会生活实践中，为了发挥最大的经济效益，常常遇到如何能使用料最省、产量最高，效益最
4、大等问题，这些问题的解决常常可转化为求一个函数的最大值和最小值问题 什么叫最值？什么叫最值？ 函数在什么条件下一定有最大、最小函数在什么条件下一定有最大、最小值？他们与函数极值关系如何？值？他们与函数极值关系如何？新新 课课 引引 入入 极值是一个局部概念，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小,并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。现在学习的是第6页，共31页观察下列图形,你能找出函数的最值吗？xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6xoyax1b y=f(x)x2x3x4x5x6),(baxbax,在开区间内在开区间内的连续函数的连续函数不一定有最不一定有
5、最大值与最小大值与最小值值. 在闭区间上在闭区间上的连续函数的连续函数必有最大值必有最大值与最小值与最小值因此：该函数没有因此：该函数没有最值。最值。f(x)max=f(a), f(x)min=f(x3)现在学习的是第7页，共31页 观察右边一个定义在区观察右边一个定义在区间间a,b上的函数上的函数y=f(x)的的图象：图象：发现图中发现图中_是极小值，是极小值，_是极大值，是极大值，在区间上的函数的最大值是在区间上的函数的最大值是_，最小值是，最小值是_。f(x1)、f(x3)f(x2)f(b)f(x3) 问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，怎样才问题在于如果在没有给出函数图象的情况下，
6、怎样才能判断出能判断出f(x3)是最小值，而是最小值，而f(b)是最大值呢？是最大值呢？ x xX X2 2o oa aX X3 3b bx x1 1y yy=f(x)现在学习的是第8页，共31页 (2) 将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)(端点处端点处) 比较比较,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值一个最小值. 求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤： (1) 求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)；注意注意:1.在定义域内在定义域内, 最值唯一最值唯一;极值不唯一极值
7、不唯一2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大.现在学习的是第9页，共31页解解:24yx 当当 变化时变化时, 的变化情况如下表的变化情况如下表:,yy 例例1.求函数求函数 在区间在区间 上的最大上的最大值与最小值。值与最小值。31443yxx 0,3令令 ,解得解得0y 22或xx 又由于又由于 (0)4 ,(3)1ff （舍去舍去）0(0,2)(2,3)x( )f x ( )f x0343 极小值极小值41函数在区间函数在区间 上最大值为上最大值为 ,最小值为最小值为 43 0,34典型例题典型例题现在学习的是第10页，共31页现在学习的是第11页，共31页有极值无最值现在学习的是
8、第12页，共31页现在学习的是第13页，共31页 231233,30,22(2)22( 2)10(3)15,( 3)3( )6 123310.fxxxfxxxfffff xxx 解：令解得：或又，所以函数在，上的最大值为22，最小值为1、求出所有导数为、求出所有导数为0的点；的点；2、计算；、计算；3、比较确定最值。、比较确定最值。练一练、练一练、3( )6123 3f xxx求函数在， 上的最大值与最小值.1 1、现在学习的是第14页，共31页动手试试动手试试求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：31( )274,4f xxxx 、312( )6 1
9、2,33f xxxx 、33( )32,3f xxxx、 axxxf2362. 42,2x现在学习的是第15页，共31页 (2) 将将y=f(x)的各极值与的各极值与f(a)、f(b)(端点处端点处) 比较比较,其中最大的一个为最大值，最小的其中最大的一个为最大值，最小的 一个最小值一个最小值. 求求f(x)在在闭区间闭区间a,b上的最值的步骤：上的最值的步骤：(1) 求求f(x)在区间在区间(a,b)内极值内极值(极大值或极小值极大值或极小值)；注意注意:1.在定义域内在定义域内, 最值唯一最值唯一;极值不唯一极值不唯一2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大.小结：小结：现在学习的是第
10、16页，共31页变式变式反思：本题属于逆向探究题型：反思：本题属于逆向探究题型： 其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小其基本方法最终落脚到比较极值与端点函数值大小上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。上，从而解决问题，往往伴随有分类讨论。 21()612()002(240,(0),(2)840373(2)(1)()2, 2fxxxfxxxfafafaaafx 解 ： （ ）令解 得或又）由 已 知 得解 得由知在的 最 大 值 为 3. 现在学习的是第17页，共31页作业：课本P98 习题3.3 A组 5（1）（2）（3）（4）现在学习的是第18页，共31页2：已知函数已知函数(1)求
11、求 的单调减区间的单调减区间(2)若若 在区间在区间 上的最大值为上的最大值为 ,求该区间上的最小值求该区间上的最小值32( )39,f xxxx a ( )f x( )f x 2,2 20所以函数的单调减区间为所以函数的单调减区间为(, 1)(3,)， 解解:2(1)( )369f xxx ( )0令f x 23690即xx 13解得:或xx 练一练：练一练：现在学习的是第19页，共31页令令 解得解得( )0f x 13或xx 当当 变化时变化时, 的变化情况如下表的变化情况如下表:,yy x（舍去）（舍去）- x( )f x( )f x ( 2, 1) 1 ( 1,2) 205 a 2
12、极小值极小值2 a 22 a 最小值为最小值为所以函数的最大值为所以函数的最大值为 ,最小值为最小值为现在学习的是第20页，共31页结论：结论： 2、 如果函数如果函数f(x)在开区间（在开区间（a,b）上只有一个极值点，）上只有一个极值点， 那那么这个极值点必定是最值点。么这个极值点必定是最值点。 1、如果如果函数函数在闭区间【在闭区间【a，b】上的图像是一条】上的图像是一条连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；连续不断的曲线，那么它必定有最大值和最小值；12现在学习的是第21页，共31页21x402fxx3讨论函数（ ）=4x在， 的最值情况。动手试试动手试试现在学习的是第22页，共
13、31页 4 4 、 函数函数y=xy=x3 3-3x-3x2 2，在，在2 2，4 4上的最上的最大值为大值为( )( )A.-4 B.0 C.16A.-4 B.0 C.16D.20D.20C C现在学习的是第23页，共31页现在学习的是第24页，共31页2 2、1 1求求f f( (x x) )x xs si in nx x在在区区间间 0 0，2 2 上上的的最最值值. .2 2xxfcos21)(0)( xf34,3221xx )(xf )(xf323423423234322332332解令解得x0(0, ) ( , )+-+00 ( , )0最小值是最小值是0.0. 是是,函数函数f(
14、x)f(x)的最大值的最大值现在学习的是第25页，共31页 应用应用( 2009年天津（文）处的切线的斜率；设函数 其中 ,131223Rxxmxxxf. 0m（1）当 时，求曲线 在点 1m xfy 1, 1 f（2）求函数 的单调区间与极值。 xf答:（1）斜率为1; .1 ,1,1,1内是增函数减函数，在内是，在mmmmxf ;313223mmxf极小 313223mmxf极大(2)现在学习的是第26页，共31页1、已知函数、已知函数(1)求求 的最值（的最值（必做题必做题）(2)当当 在什么范围内取值时，曲线在什么范围内取值时，曲线 与与 轴总有交点轴总有交点(选做题选做题）3( )3
15、, 2,3f xxxa x ( )f xxa( )yf x 作业：高二（作业：高二（10）班）班33( )32,3f xxxx、 axxxf2362. 2求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：作业：高二（作业：高二（14）班）班2,2x现在学习的是第27页，共31页解解:2(1)( )33f xx 令令 解得解得( )0f x 11或xx 所以函数的极大值为所以函数的极大值为 ，极小值为，极小值为 当当 变化时变化时, 的变化情况如下表的变化情况如下表:( ),( )fxf x x- + x( )f x( )f x ( 2, 1) 1 ( 1,1) 1
16、(1,3)0-2 a 2 a 0极小值极小值极大值极大值2 a 2 a 现在学习的是第28页，共31页曲线曲线 与与 轴总有交点轴总有交点x( )yf x 由（由（1）可知，函数在区间）可知，函数在区间 上的极大值上的极大值为为 ，极小值为，极小值为 ，又因，又因 ， 2a ( 2)2fa (3)18fa 2,3 2a (2)所以函数的最大值为所以函数的最大值为 ，最小值为，最小值为作业作业 ： 3、 4 解解 答答 略略现在学习的是第29页，共31页一一. .是利用函数性质是利用函数性质二二. .是利用不等式是利用不等式三三. .是利用导数是利用导数 求函数最值的一般方法求函数最值的一般方法小结：小结：现在学习的是第30页，共31页感谢大家观看感谢大家观看9/1/2022现在学习的是第31页，共31页