2022年高中数学第三章《直线与方程》知识点总结与练习.docx

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1、精品_精品资料_第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程 学问能否忆起 一、直线的倾斜角与斜率1. 直线的倾斜角(1) 定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0.(2) 倾斜角的范畴为 0 , _2. 直线的斜率(1) 定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k 表示,即 k tan_,倾斜角是 90的直线没有斜率(2) 过两点的直线的斜率公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2y1经过两点 P1x1, y1 ,P2 x2, y2x1 x2 的直线的斜率公式为k x

2、2 xy1y2 x1 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12二、直线方程的形式及适用条件名称几何条件方程局限性点斜式过点 x0, y0,斜率为 ky y0 k x x0不含垂直于 x 轴的直线斜截式斜率为 k,纵截距为 by kxb不含垂直于 x 轴的直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过两点 x1, y1, x2, y2,y y1x x1不包括垂直于坐标轴的直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两点式 x , y yy2 y x2 x1线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x12121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_

3、截距式在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 a, ba, b 0xy 1 a不包括垂直于坐标轴和过原点的直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b一般式Ax By C 0A, B 不全为 0 小题能否全取 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 教材习题改编 直线 x 3y m 0mk的倾斜角为 A 30B 60C150 D 120 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_, 解析： 选 C由 k tan 330 , 得 150.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 教材习题改编 已知直线 l 过点

4、 P 2,5,且斜率为3,就直线 l 的方程为 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 3x 4y 14 0B 3x 4y 14 0C4x 3y 14 0D 4x 3y 14 04解析： 选 A由 y 5 3x 2,得 3x 4y 14 0.3. 过点 M2, m,Nm,4的直线的斜率等于1,就 m 的值为 A 1B 4C1 或 3D 1 或 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 选 A由 1 4 mm 2 4 m,m 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,得m 24 2022 长春模拟 如点 A4,3, B5, a,C6,5三点共线,就 a

5、的值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： kAC5 36 4 1, kABa 3 a 3.5 4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于 A, B,C 三点共线,所以 a 3 1,即 a 4.答案： 45如直线 l 过点 1,2且与直线 2x3y 4 0 垂直,就直线 l 的方程为解析： 由已知得直线 l 的斜率为 k 3.23所以 l 的方程为 y 2 2x 1,即 3x2y 1 0.答案： 3x 2y 1 01. 求直线方程时要留意判定直线斜率是否存在,每条直线都有倾斜角,但不肯定每条直线都存在斜率2. 由斜率求倾斜角,一是要留意倾斜角的范畴.二是要考虑正切

6、函数的单调性3. 用截距式写方程时,应先判定截距是否为0,如不确定,就需要分类争论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线的倾斜角与斜率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 112022典题导入岳阳模拟 经过两点 A4,2y 1, B2, 3的直线的倾斜角为34 ,就 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 1B 3C0D 222022 苏州模拟 直线 xcos 3y 20 的倾斜角的范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_自主解答 1tan3 2y 1 344 22y42 y 2,因此 y 2 1.y 3.可编辑资料 - - - 欢迎下

7、载精品_精品资料_33332由题知 kcos ,故 k,结合正切函数的图象,当k 0,时,3333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线倾斜角 0, 6 ,当 k 30 时,直线倾斜角 ,356 ,故直线的倾斜角的范畴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 是 0, 6 56 , .5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案 1B2 0, 6 6 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题悟法1. 求倾斜角的取值范畴的一般步骤： 1求出斜率 k tan 的取值范畴.2利用三角函数的单调性,借助图象或

8、单位圆数形结合,确定倾斜角的取值范畴2. 求倾斜角时要留意斜率是否存在以题试法1 2022 哈尔滨模拟 函数 y asin xbcos x 的一条对称轴为x 4,就直线 l： ax byc 0 的倾斜角为 A 45B 60C120 D 135 解析： 选 D由函数 y fxasin xbcos x 的一条对称轴为 xf0 f ,即 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a,就直线 l 的斜率为 1,故倾斜角为 135. 4知,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 2022 金华模拟 已知点 A1,3, B 2, 1如直线l： y kx 2 1 与线段 AB相交,就

9、k 的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 1,B , 22C , 2 1,D. 2,122解析： 选 D由题意知直线l 恒过定点 P2,1,如右图 如 l 与线段AB 相交,就 kPA k kPB., kPA 2,k PB 12. 2 k 12直 线 方 程典题导入例 21过点 1,0且与直线 x 2y2 0 平行的直线方程是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22022东城模拟 如点 P1,1为圆 x 32 y2 9 的弦 MN 的中点,就弦 MN 所在直线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的方程为自主解答 1 设所求直线方程为x 2

10、y m 0,由直线经过点 1, 0 ,得 1 m 0, m 1.就所求直线方程为x 2y1 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由题意得,1 01 3 kMN 1,所以 kMN 2,故弦 MN 所在直线的方程为y 12 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 ,即 2x y1 0.答案 1x 2y 1022x y 10由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1) 直接法：依据已知条件,挑选适当的直线方程形式,直接写出直线方程.(2) 待定系数法：先设出直线方程,再依据已知条件求出待定系数,最终代入求出直线方程以题试法3 2022 龙岩调研 已知 ABC 中,

11、A1, 4, B6,6, C 2,0求： 1 ABC 中平行于 BC 边的中位线所在直线的一般式方程和截距式方程. 2BC 边的中线所在直线的一般式方程,并化为截距式方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1平行于 BC 边的中位线就是 AB, AC 中点的连线可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由于线段 AB, AC 中点坐标分别为172, 1 , 1, 2 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以这条直线的方程为y 2x 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 271可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 2整理一般

12、式方程为得6x8y 13 0,截距式方程为x136 y 1.138可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2由于 BC 边上的中点为 2,3,所以 BC 边上的中线所在直线的方程为y 43 4x 1,即2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xy可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般式方程为7x y11 0,截距式方程为11 11 1.7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线方程的综合应用典题导入例 32022 开封模拟 过点 P3,0作始终线, 使它夹在两直线 l 1：2x y 20 与 l 2

13、：xy 3 0 之间的线段 AB 恰被点 P 平分,求此直线的方程自主解答 法一： 设点 Ax, y在 l1 上,点 BxB, yB在 l 2 上可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由题意知x xB2 3,y yB2 0,就点 B6 x, y,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解方程组2x y 2 0,6 x y 30,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11x 3 ,163 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_得16y 3 ,就 k113 38.

14、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求的直线方程为y 8x 3,即 8x y24 0.法二： 设所求的直线方程为y kx 3, 点 A, B 的坐标分别为 xA, yA, xB,yB,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y k x 3 ,由xA解得3k 2,k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x y 2 0,4kyA.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y k x 3 ,由解得x y3 0,xByB3k 3,k 1 6k.k 1可编辑

15、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P3,0是线段 AB 的中点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yA yB 0,即4k 6k 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 2k 1k2 8k 0,解得 k0 或 k 8.如 k 0,就 xA 1, xB 3,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_xA xB此时21 32 3,k 0 舍去,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故所求的直线方程为y 8x 3, 即 8xy 24 0.由题悟法解决直线方程的综合问题时,除敏捷挑选方程的形式外,仍要留意题目中的隐含条件, 如与最值或范畴相关的问题可

16、考虑构建目标函数进行转化求最值以题试法4 2022 东北三校联考 已知直线 l 过点 M 2,1 ,且分别与 x 轴, y 轴的正半轴交于 A, B 两点, O 为原点(1) 当 AOB 面积最小时,求直线l 的方程.(2) 当|MA | |MB |取得最小值时,求直线l 的方程解： 1设直线 l 的方程为 y 1 kx 2 k0 ,A 21, 0 ,B0, 1 2k, k11AOB 的面积 S 21 2k 2 k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k22 1 4 4k 114 4 4.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当且仅当 4k1,即 k k1时,等号成立2可编

17、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1故直线 l 的方程为 y1 2x 2,即 x 2y 4 0.12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2|MA |k2 1, |MB |4 4k ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|MA | |MB |k2 1 4 4k 2k k2 2 22 4,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k2当且仅当 k2 1 ,即 k 1 时取等号, 故直线方程为 xy 3 0. 典例 2022 西安模拟 设直线 l 的方程为a 1x y 2a 0a R(1) 如 l 在两坐

18、标轴上的截距相等,求l 的方程.(2) 如 l 不经过其次象限,求实数a 的取值范畴尝试解题 1 当直线过原点时,该直线在x 轴和 y 轴上的截距为零,此时截距相等 故 a2,方程即为 3x y0.当直线不过原点时,由截距存在且均不为0,a 2得 a 2,即 a 11, a 1故 a0,方程即为 x y 2 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综上, l 的方程为 3xy 0 或 x y 2 0. 2将 l 的方程化为 y a 1x a 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ a 1 0,就a2 0, a 1 0,或a 2 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品

19、_精品资料_a 1.综上可知, a 的取值范畴是 , 1 易错提示 1. 与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等, 当直线在x 轴与 y 轴上的截距为零时也满意.2. 常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”.“一截距是另一截距的几倍”等,解决此类问题时,要先考虑零截距情形.留意分类争论思想的运用.针对训练过点 M 3, 4且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 x.解析： 当过原点时,直线方程为y 43当不过原点时,设直线方程为x y 1,a a即 x ya.代入点 3 , 4,得 a 7.即直线方程为 xy 7 0.x 或 x y 7 0答案： y

20、 431如 k, 1, b 三个数成等差数列,就直线y kx b 必经过定点 A 1, 2B 1,2C 1,2D 1, 2解析： 选 A由于 k, 1,b 三个数成等差数列,所以k b 2,即 b 2 k,于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是直线方程化为 y kxk 2,即 y 2 kx 1,故直线必过定点1, 2 2直线 2x 11y 160 关于点 P0,1 对称的直线方程是A 2x 11y 38 0B 2x 11y 380C2x 11y 380D 2x 11y 160解析： 选 B由于中心对称的两直线相互平行,并且对称中心到两直线的距离相等,故可设所求直线的方程为2x 1

21、1y C 0 ,由点到直线的距离公式可得|0 11 16| 22 112|0 11 C|22 112 ,解得 C16 舍去 或 C 38.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 2022衡水模拟 直线 l1 的斜率为 2, l 1 l 2,直线 l 2 过点 1,1且与 y 轴交于点 P,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 P 点坐标为 A 3,0B 3,0C0, 3D 0,3解析： 选 D l1l 2,且 l 1 斜率为 2, l 2 的斜率为 2.又 l2 过 1,1, l 2 的方程为 y 1 2x 1, 整理即得 y 2x3.令 x 0,得 P0,34. 2

22、022 佛山模拟 直线 ax by c 0 同时要经过第一、其次、第四象限,就a, b, c应满意 A ab 0, bc 0B ab 0, bc 0Cab 0, bc 0D ab 0, bc 0解析： 选 A由于直线 axby c 0 经过第一、二、四象限,所以直线存在斜率,将方程变形为 y ax c,易知 a 0 且 c 0,故 ab 0, bc 0.bbbb5. 将直线 y 3x 绕原点逆时针旋转90,再向右平移1 个单位,所得到的直线为1113A y 3x 3B y x11Cy 3x 3D y 3x 13解析： 选 A将直线 y 3x 绕原点逆时针旋转90得到直线y 1x,再向右平移 1

23、 个111单位,所得直线的方程为y 3x 1,即 y 3x 3.6. 已知点 A1, 2, Bm,2,且线段 AB 的垂直平分线的方程是x 2y 2 0,就实数 m 的值是 A 2B 7可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C3D 1,解析： 选 C线段 AB 的中点 1 m20 代入直线 x2y 2 0 中,得 m 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_72022 贵阳模拟 直线 l 经过点 A1,2,在 x 轴上的截距的取值范畴是 3,3,就其斜率的取值范畴是k解析： 设直线 l 的斜率为 k,就方程为 y 2 kx

24、1,在 x 轴上的截距为 1 2,令 3211 k 3,解得 k 1 或 k2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： , 11,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8 2022 常州模拟 过点P 2,3且在两坐标轴上的截距相等的直线l的方程为 解析： 直线 l 过原点时, l 的斜率为 3,直线方程为y 322x.l 不过原点时,设方程为xy 1,将点 2,3代入,得 a 1,直线方程为x y 1.a a综上, l 的方程为 x y 1 0 或 2y 3x0.答案： x y 10 或 3x 2y092022 天津四校联考 不论 m 取何值,直线 m 1x y2m

25、1 0 恒过定点 解析： 把直线方程 m 1xy 2m 1 0 整理得x 2m x y 1 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2 0,就x y1 0,x 2,得y 3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案： 2,310求经过点 2,2,且与两坐标轴所围成的三角形面积为1 的直线 l 的方程解： 设所求直线方程为x y1,ab22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由已知可得 ab 1,12|a|b| 1,a 1,解得b 2a 2,或b 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故直线 l 的方程为 2xy 2 0 或 x 2y 2 0

26、.11 2022 莆田月考 已知两点 A 1,2,Bm,3 1求直线 AB 的方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2已知实数 m33 1, 3 1 ,求直线 AB 的倾斜角 的取值范畴解： 1当 m 1 时,直线 AB 的方程为 x 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 m 1 时,直线 AB 的方程为 y21x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m 122当 m 1 时, .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_,当 m 1 时, m 1330 0 , 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k 1 , 3 3, ,

27、m 13 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 6,2 2, 3. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_综合知,直线AB 的倾斜角 6, 3.12.如图,射线 OA、OB 分别与 x 轴正半轴成45和 30角,过点 P1,0作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点,当 AB 的中点 C 恰好x 上时,求直线 AB 的方程落在直线 y12解： 由题意可得 kOA tan 45 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_kOB tan180330 3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以直线 l OA： y x, l OB： y 3

28、x.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 Am, m,B 3n, n,所以 AB 的中点 C m 3n2,mn ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m n1 m 3n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由点 C 在 y1x 上,且 A、P、B 三点共线得2 22,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2m0m1n 0, 3n1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 m 3,所以 A3,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 P1,0,所以 kABkAP33 13 32,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资

29、料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 lAB： y3 32x 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即直线 AB 的方程为 3 3x 2y3 3 0.1如直线 l：y kx 3与直线 2x 3y6 0 的交点位于第一象限,就直线l 的倾斜角的取值范畴是 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 6, 3B.6, 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 26C. 3, 2D.,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 选 B由y kx 3,解得2x 3y6 0,3 2 3x 2 3k,6k 23可编辑资料 - - - 欢迎下

30、载精品_精品资料_y 23k.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两直线交点在第一象限,x0,3.解得 ky0,3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.直线 l 的倾斜角的范畴是,6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22022洛阳模拟 当过点 P1,2 的直线 l 被圆 C：x 22 y 12 5 截得的弦最短时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线 l 的方程为解析： 易知圆心 C 的坐标为 2,1,由圆的几何性质可知,当圆心C 与点 P 的连线与直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线 l 垂直时,直线 l 被圆 C 截

31、得的弦最短由 C2,1,P1,2可知直线 PC 的斜率为2 11 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1,设直线 l 的斜率为 k,就 k 1 1,得 k 1,又直线 l 过点 P,所以直线 l 的方程为xy 1 0.答案： x y 103已知直线 l： kx y1 2k 0kR 1证明：直线 l 过定点.(2) 如直线 l 不经过第四象限,求k 的取值范畴.(3) 如直线 l 交 x 轴负半轴于点A,交 y 轴正半轴于点 B,O 为坐标原点,设 AOB 的面积为 S,求 S 的最小值及此时直线l 的方程解： 1证明： 法一： 直线 l 的方程可化为 y kx 21, 故无论 k

32、 取何值,直线 l 总过定点 2,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_法二： 设直线过定点 x0, y0,就 kx0 y0 1 2k 0 对任意 kR 恒成立,即 x0 2k y0 10 恒成立,x0 2 0, y0 1 0,解得 x0 2, y0 1,故直线 l 总过定点 2,1(2) 直线 l 的方程为 y kx 2k1,就直线 l 在 y 轴上的截距为 2k 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_要使直线 l 不经过第四象限,就k 0, 1 2k 0,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解得 k 的取值范畴是 0 , 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 依题意,直线 l 在 x 轴上的截距为12kk,在 y 轴上的截距为 1 2k,A 1 2k, 0 ,k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B0,1 2k1 2k又k0 ,k0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1|OA|OB |11 2k1 2k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故 S