2022年高中数学第三章《直线与方程》知识点总结与练习 .pdf

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1、学习必备欢迎下载第八章平面解析几何第一节直线的倾斜角与斜率、直线的方程知识能否忆起 一、直线的倾斜角与斜率1直线的倾斜角(1)定义： x 轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做这条直线的倾斜角当直线与 x 轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0 . (2)倾斜角的范围为0， )_2直线的斜率(1)定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母k 表示，即 ktan_ ，倾斜角是90 的直线没有斜率(2)过两点的直线的斜率公式：经过两点 P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直线的斜率公式为ky2y1x2x1y1y2x1x2. 二、直线方程的形式及适用条件名称几何条件

2、方程局限性点斜式过点 (x0，y0)，斜率为k y y0 k(xx0)不含垂直于x 轴的直线斜截式斜率为 k，纵截距为b ykxb 不含垂直于x 轴的直线两点式过两点 (x1，y1)， (x2，y2)，(x1 x2， y1y2)yy1y2y1xx1x2x1不包括垂直于坐标轴的直线截距式在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 a，b(a，b0)xayb1不包括垂直于坐标轴和过原点的直线一般式AxBy C 0(A，B 不全为 0)小题能否全取 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页学习必备欢迎下载1(教材习题改编)直线 x3y

3、m0(mk)的倾斜角为 () A30B60C150D 120解析： 选 C由 ktan 33， 0， )得 150 . 2(教材习题改编)已知直线l 过点 P(2,5)，且斜率为34，则直线l 的方程为 () A3x4y140 B3x4y140 C4x3y140 D 4x3y140 解析： 选 A由 y 534(x2)，得 3x4y140. 3过点 M(2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则 m 的值为 () A1 B4 C1 或 3 D1 或 4 解析： 选 A由 14mm2，得 m24m，m1. 4(2012 长春模拟 )若点 A(4,3)，B(5，a)，C(6,5)三点共线，则a

4、的值为 _解析： kAC53641，kABa354a 3. 由于 A，B，C 三点共线，所以a3 1，即 a 4. 答案： 4 5若直线l 过点 (1,2)且与直线2x3y 40 垂直，则直线l 的方程为 _解析： 由已知得直线l 的斜率为k32. 所以 l 的方程为y232(x1)，即 3x2y10. 答案： 3x2y 10 1.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在，每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率2由斜率求倾斜角，一是要注意倾斜角的范围；二是要考虑正切函数的单调性3用截距式写方程时，应先判断截距是否为0，若不确定，则需要分类讨论精选学习资料 - - - - - - - -

5、- 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 27 页学习必备欢迎下载直线的倾斜角与斜率典题导入例 1(1)(2012岳阳模拟 )经过两点A(4,2y1)，B(2， 3)的直线的倾斜角为34，则 y() A 1B 3 C0 D2 (2)(2012苏州模拟 )直线 xcos 3y 20 的倾斜角的范围是_自主解答 (1)tan342y1 3422y42 y2，因此 y2 1.y 3. (2)由题知 k33cos ，故 k33，33，结合正切函数的图象，当k0，33时，直线倾斜角 0，6，当 k33，0 时，直线倾斜角 56，故直线的倾斜角的范围是 0，656，. 答案 (1)B(2

6、) 0，656，由题悟法1求倾斜角的取值范围的一般步骤：(1)求出斜率ktan 的取值范围；(2)利用三角函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角的取值范围2求倾斜角时要注意斜率是否存在以题试法1(2012 哈尔滨模拟 )函数 yasin xbcos x 的一条对称轴为x4，则直线l：ax byc0 的倾斜角为 () A45B60C120D 135解析： 选 D由函数 yf(x)asin xbcos x 的一条对称轴为x4知，f(0)f2，即 ba，则直线l 的斜率为 1，故倾斜角为135 . 2(2012 金华模拟 )已知点A(1,3)，B(2， 1)若直线l：y k(x2)1 与

7、线段AB相交，则k 的取值范围是() 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页学习必备欢迎下载A.12，B(， 2 C(， 212，D. 2，12解析： 选 D由题意知直线l 恒过定点P(2,1)，如右图 若 l 与线段AB 相交，则kPAkkPB. kPA 2，kPB12， 2 k12. 直 线 方 程典题导入例 2(1)过点 (1,0)且与直线x2y20 平行的直线方程是_(2)(2012东城模拟 )若点 P(1,1)为圆 (x3)2y29 的弦 MN 的中点，则弦MN 所在直线的方程为 _自主解答 (1)设所求直线

8、方程为x 2ym0，由直线经过点(1, 0)，得 1m0，m 1. 则所求直线方程为x2y1 0. (2)由题意得，1013kMN 1，所以kMN2，故弦MN 所在直线的方程为y12(x1)，即 2xy1 0. 答案 (1)x2y10(2)2xy10 由题悟法求直线方程的方法主要有以下两种：(1)直接法：根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程；(2)待定系数法：先设出直线方程，再根据已知条件求出待定系数，最后代入求出直线方程以题试法3(2012 龙岩调研 )已知 ABC 中， A(1， 4)， B(6,6)， C(2,0)求：(1)ABC 中平行于 BC 边的中位线所在直线的一

9、般式方程和截距式方程；(2)BC 边的中线所在直线的一般式方程，并化为截距式方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页学习必备欢迎下载解： (1)平行于 BC 边的中位线就是AB， AC 中点的连线因为线段 AB，AC 中点坐标分别为72，1 ， 12， 2 ，所以这条直线的方程为y212x127212，整理一般式方程为得6x8y 130，截距式方程为x136y1381. (2)因为 BC 边上的中点为(2,3)，所以 BC 边上的中线所在直线的方程为y434x121，即一般式方程为7xy110，截距式方程为x117y

10、111. 直线方程的综合应用典题导入例 3(2012 开封模拟 )过点 P(3,0)作一直线， 使它夹在两直线l1：2xy20 与 l2：xy30 之间的线段AB 恰被点 P 平分，求此直线的方程自主解答 法一： 设点 A(x，y)在 l1上，点 B(xB，yB)在 l2上由题意知xxB23，yyB20，则点 B(6x， y)，解方程组2xy20，6x y 30，得x113，y163，则 k163 011338. 故所求的直线方程为y8(x 3)，即 8xy240. 法二： 设所求的直线方程为yk(x3)，点 A，B 的坐标分别为 (xA，yA)，(xB，yB)，精选学习资料 - - - -

11、- - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页学习必备欢迎下载由yk x3 ，2xy20，解得xA3k2k2，yA4kk2.由yk x3 ，xy30，解得xB3k3k1，yB6kk 1. P(3,0)是线段 AB 的中点， yAyB0，即4kk26kk10， k28k 0，解得 k0 或 k8. 若 k0，则 xA1，xB 3，此时xAxB2132 3， k0 舍去，故所求的直线方程为y8(x 3)，即 8xy240. 由题悟法解决直线方程的综合问题时，除灵活选择方程的形式外，还要注意题目中的隐含条件，若与最值或范围相关的问题可考虑构建目标函数进行转化求最

12、值以题试法4(2012 东北三校联考 )已知直线 l 过点 M(2,1)，且分别与x 轴， y 轴的正半轴交于A，B 两点， O 为原点(1)当 AOB 面积最小时，求直线l 的方程；(2)当|MA| |MB|取得最小值时，求直线l 的方程解： (1)设直线 l 的方程为 y1k(x2)(k0)，A 21k，0 ，B(0，12k)， AOB 的面积 S12(12k) 21k精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页学习必备欢迎下载124 4k 1k12(44)4. 当且仅当 4k1k，即 k12时，等号成立故直线 l 的方

13、程为y112(x2)，即 x2y40. (2) |MA|1k21，|MB|44k2， |MA| |MB|1k21 44k22 k21k2 2224，当且仅当 k21k2，即 k 1 时取等号，故直线方程为xy30. 典例 (2012 西安模拟 )设直线 l 的方程为(a1)xy2a0(a R)(1)若 l 在两坐标轴上的截距相等，求l 的方程；(2)若 l 不经过第二象限，求实数a 的取值范围尝试解题 (1)当直线过原点时，该直线在x 轴和 y 轴上的截距为零，此时截距相等故 a2，方程即为3x y0. 当直线不过原点时，由截距存在且均不为0，得a2a1a2，即 a11，故 a0，方程即为xy

14、20. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页学习必备欢迎下载综上， l 的方程为3xy0 或 xy20. (2)将 l 的方程化为y (a1)x a2，则 a1 0，a20，或 a1 0，a20. a1. 综上可知， a 的取值范围是 (， 1易错提醒1.与截距有关的直线方程求解时易忽视截距为零的情形.如本例中的截距相等，当直线在x 轴与 y 轴上的截距为零时也满足. 2.常见的与截距问题有关的易误点有：“截距互为相反数”；“一截距是另一截距的几倍”等，解决此类问题时，要先考虑零截距情形.注意分类讨论思想的运用. 针

15、对训练过点 M(3， 4)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为_解析： 当过原点时，直线方程为y43x；当不过原点时，设直线方程为xay a1，即 xya.代入点 (3， 4)，得 a7. 即直线方程为xy70. 答案： y43x 或 xy70 1若 k， 1，b 三个数成等差数列，则直线ykxb 必经过定点 () A(1， 2)B(1,2) C(1,2) D (1， 2) 解析： 选 A因为 k， 1，b 三个数成等差数列，所以kb 2，即 b 2k，于精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页学习必备欢迎下载是直

16、线方程化为ykxk2，即 y2 k(x1)，故直线必过定点(1， 2)2直线 2x11y160 关于点 P(0,1)对称的直线方程是() A2x11y 380 B2x11y380 C2x11y 380 D2x11y160 解析： 选 B因为中心对称的两直线互相平行，并且对称中心到两直线的距离相等，故可设所求直线的方程为2x 11y C 0，由点到直线的距离公式可得|01116|22112|011C|22112，解得 C16(舍去 )或 C 38. 3(2012 衡水模拟 )直线 l1的斜率为2， l1l2，直线 l2过点 ( 1,1)且与 y 轴交于点P，则 P 点坐标为 () A(3,0)

17、B(3,0) C(0， 3) D (0,3) 解析： 选 D l1l2，且 l1斜率为 2， l2的斜率为2. 又 l2过( 1,1)， l2的方程为y12(x1)，整理即得 y2x3.令 x0，得 P(0,3)4(2013 佛山模拟 )直线 axbyc0 同时要经过第一、第二、第四象限，则a，b，c应满足 () Aab0，bc0 Bab0，bc0 Cab0， bc0 Dab0，bc0 解析： 选 A由于直线axbyc 0 经过第一、二、四象限，所以直线存在斜率，将方程变形为yabxcb，易知ab0 且cb0，故 ab 0，bc 0. 5将直线 y 3x 绕原点逆时针旋转90 ，再向右平移1

18、个单位，所得到的直线为() Ay13x13By13x1 Cy3x3 Dy13x1 解析： 选 A将直线 y3x 绕原点逆时针旋转90 得到直线y13x，再向右平移1 个单位，所得直线的方程为y13(x 1)，即 y13x13. 6已知点A(1， 2)，B(m,2)，且线段AB 的垂直平分线的方程是x2y20，则实数 m 的值是 () A 2 B 7 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页学习必备欢迎下载C3 D 1 解析： 选 C线段 AB 的中点1m2，0 代入直线x2y20 中，得 m3. 7(2013 贵阳模拟

19、)直线 l 经过点 A(1,2)，在 x 轴上的截距的取值范围是(3,3)，则其斜率的取值范围是_解析： 设直线 l 的斜率为k，则方程为y 2k(x1)，在 x 轴上的截距为12k，令 312k3，解得 k 1 或 k12. 答案： (， 1)12，8 (2012 常州模拟)过点P( 2,3)且在两坐标轴上的截距相等的直线l 的方程为_解析： 直线 l 过原点时， l 的斜率为32，直线方程为y32x；l 不过原点时，设方程为xaya1，将点 (2,3)代入，得a1，直线方程为xy1. 综上， l 的方程为xy1 0 或 2y3x0. 答案： xy10 或 3x 2y0 9 (2012 天津

20、四校联考 )不论 m 取何值，直线 (m 1)xy2m10 恒过定点 _解析： 把直线方程 (m1)xy2m10 整理得(x 2)m(xy1)0，则x20，xy10，得x 2，y3.答案： (2,3) 10求经过点 (2,2)，且与两坐标轴所围成的三角形面积为1 的直线 l 的方程解： 设所求直线方程为xayb 1，由已知可得2a2b1，12|a|b|1，解得a 1，b 2或a2，b1.故直线 l 的方程为2xy20 或 x2y20. 11(2012 莆田月考 )已知两点A(1,2)，B(m,3)(1)求直线 AB 的方程；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - -

21、 - - - - -第 10 页，共 27 页学习必备欢迎下载(2)已知实数m331，31 ，求直线AB 的倾斜角的取值范围解： (1)当 m 1 时，直线 AB 的方程为x 1；当 m1 时，直线AB 的方程为 y21m1(x1)(2)当 m 1 时， 2；当 m1 时， m133，0 (0，3 ， k1m1 ( ，3 33， ， 6，22，23. 综合知，直线AB 的倾斜角 6，23. 12.如图，射线OA、OB 分别与 x 轴正半轴成45 和 30 角，过点P(1,0)作直线 AB 分别交 OA、OB 于 A、B 两点，当AB 的中点 C 恰好落在直线y12x 上时，求直线AB 的方程解

22、： 由题意可得kOA tan 45 1，kOBtan(180 30 )33，所以直线 lOA：y x，lOB：y33x. 设 A(m，m)，B(3n，n)，所以 AB 的中点 Cm3n2，mn2，由点 C 在 y12x 上，且 A、P、B 三点共线得mn212m3n2，m0m1n03n1，解得 m3，所以 A(3，3)又 P(1,0)，所以 kABkAP331332，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 27 页学习必备欢迎下载所以 lAB：y332(x1)，即直线 AB 的方程为 (33)x2y33 0. 1若直线 l：y

23、kx3与直线 2x 3y60 的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是 () A.6，3B.6，2C.3，2D.6，2解析： 选 B由ykx3，2x3y60，解得x3 2323k，y6k2323k.两直线交点在第一象限，x0，y0，解得 k33. 直线 l 的倾斜角的范围是6，2. 2 (2012 洛阳模拟 )当过点 P(1,2)的直线 l 被圆 C：(x2)2(y1)25 截得的弦最短时，直线 l 的方程为 _解析： 易知圆心C 的坐标为 (2,1)，由圆的几何性质可知，当圆心C 与点 P 的连线与直线 l 垂直时，直线l 被圆 C 截得的弦最短由C(2,1)，P(1,2)可知直线

24、PC 的斜率为21121，设直线 l 的斜率为k，则 k(1) 1，得 k1，又直线 l 过点 P，所以直线 l 的方程为xy 10. 答案： xy10 3已知直线l：kxy12k0(kR)(1)证明：直线l 过定点；(2)若直线 l 不经过第四象限，求k 的取值范围；(3)若直线 l 交 x 轴负半轴于点A，交 y 轴正半轴于点B，O 为坐标原点，设AOB 的面积为 S，求 S的最小值及此时直线l 的方程解： (1)证明： 法一： 直线 l 的方程可化为yk(x2)1，故无论 k 取何值，直线l 总过定点 (2,1)精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - -

25、- - - -第 12 页，共 27 页学习必备欢迎下载法二： 设直线过定点(x0，y0)，则 kx0y01 2k0 对任意k R 恒成立，即 (x02)ky010 恒成立， x020， y01 0，解得 x0 2，y01，故直线l 总过定点 (2,1)(2)直线 l 的方程为y kx2k1，则直线 l 在 y 轴上的截距为2k1，要使直线 l 不经过第四象限，则k0，12k0，解得 k 的取值范围是0， )(3)依题意，直线 l 在 x 轴上的截距为12kk， 在 y 轴上的截距为12k， A12kk，0，B(0,12k)又1 2kk0， k0. 故 S12|OA|OB|1212kk(12k

26、) 124k1k4 12(44)4，当且仅当 4k1k，即 k12时，取等号故 S的最小值为4，此时直线l 的方程为x 2y4 0. 1(2012 郑州模拟 )已知直线l1的方向向量为a(1,3)，直线 l2的方向向量为b(1，k)若直线l2经过点 (0,5)且 l1l2，则直线 l2的方程为 () Ax3y50 Bx3y150 Cx3y50 Dx 3y150 解析： 选 B kl13， kl2 k，l1l2，k13，l2的方程为y13x5，即 x3y150. 2(2012 吴忠调研 )若过点 P(1a,1a)与 Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角，则实数a 的取值范围是 _精选学习资料 -

27、- - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 27 页学习必备欢迎下载解析： ktan 2a 1 a3 1aa1a2. 为钝角，a1a20，即 (a1)(a2)0，故 2 a1. 答案： (2,1) 3.已知直线l 过点 P(3,2)，且与 x 轴， y 轴的正半轴分别交于A，B两点如图，求ABO 的面积的最小值及此时直线l 的方程解：设 A(a,0)，B(0，b)，(a0，b0)，则直线 l 的方程为xayb 1， l 过点 P(3,2)，3a2b1. 13a2b2 6ab，即 ab24. SABO12ab12.当且仅当3a2b，即 a6，b4 时

28、， ABO 的面积最小，最小值为12. 此时直线 l 的方程为x6y41. 即 2x3y120. 第二节两直线的位置关系知识能否忆起 一、两条直线的位置关系斜截式一般式方yk1xb1A1xB1yC10(A21B210) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 27 页学习必备欢迎下载程yk2xb2A2xB2yC20(A22B220) 相交k1k2A1B2A2B10 当A2B20时，记为A1A2B1B2垂直k11k2或k1k2 1A1A2B1B20 当B1B20时，记为A1B1A2B2 1平行k1k2且 b1b2A1B2 A2B

29、10，B2C1B1C20或A1B2A2B10，A1C2A2C10当A2B2C2 0时，记为A1A2B1B2C1C2重合k1k2且 b1b2A1A2，B1B2， C1C2( 0) 当A2B2C2 0时，记为A1A2B1B2C1C2二、两条直线的交点设两条直线的方程是l1：A1x B1yC10，l2：A2xB2yC20，两条直线的交点坐标就是方程组A1x B1yC1 0，A2xB2yC20 的解，若方程组有唯一解，则两条直线相交， 此解就是交点坐标；若方程组无解， 则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立三、几种距离1两点间的距离平面上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)间的距离公式

30、：d(A，B) |AB|x1x22 y1y22. 2点到直线的距离点 P(x1，y1)到直线 l：AxByC0 的距离 d|Ax1 By1C|A2B2. 3两条平行线间的距离两条平行线AxByC1 0 与 AxByC20 间的距离d|C1C2|A2B2. 小题能否全取 1(教材习题改编)已知 l1的倾斜角为45 ，l2经过点 P(2， 1)，Q(3，m)若 l1l2，则实数 m 为() A6B 6 C5 D 5 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 27 页学习必备欢迎下载解析： 选 B由已知得k11，k2m15. l1 l

31、2， k1k2 1，1m15 1，即 m 6. 2(教材习题改编)点(0， 1)到直线 x2y3 的距离为 () A.55B.5 C5 D.15解析： 选 Bd|02 1 3|55. 3点 (a，b)关于直线 xy10 的对称点是 () A(a1， b1) B(b1， a1) C(a， b) D(b， a) 解析： 选 B设对称点为 (x， y)，则y bx a 1 1，x a2y b210，解得 x b1， y a1. 4l1：xy0 与 l2：2x3y 10 的交点在直线mx3y50 上，则 m 的值为 () A3 B5 C 5 D 8 解析： 选 D由xy0，x3y10， 得 l1与 l

32、2的交点坐标为(1,1)所以 m35 0，m 8. 5 与 直 线4x 3y 5 0平 行 ， 并 且 到 它 的 距 离 等 于3的 直 线 方 程 是_解析： 设所求直线方程为4x3ym0，由 3|m5|4232，得 m 10 或 20. 答案： 4x3y 100 或 4x3y 200 1.在判断两条直线的位置关系时，首先应分析直线的斜率是否存在，两条直线都有斜率时，可根据斜率的关系作出判断，无斜率时，要单独考虑2在使用点到直线的距离公式或两平行线间的距离公式时，直线方程必须先化为AxByC0 的形式，否则会出错精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -

33、 - - -第 16 页，共 27 页学习必备欢迎下载两直线的平行与垂直典题导入例 1(2012 浙江高考 )设 aR，则“ a1”是“直线l1：ax 2y1 0 与直线 l2：x(a1)y40 平行”的 () A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件自主解答 由 a1，可得 l1 l2；反之，由l1 l2，可得 a1 或 a 2. 答案 A 在本例中若l1l2，试求 a. 解： l1 l2， a12 (a 1)0， a23. 由题悟法1充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决本题的关键，对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和 l2，l1l2? k1k2，l1l2? k

34、1 k2 1.若有一条直线的斜率不存在，那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意2(1)若直线 l1和 l2有斜截式方程l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，则直线 l1l2的充要条件是 k1 k2 1. (2)设 l1：A1xB1yC10，l2： A2xB2yC20.则 l1l2? A1A2 B1B20. 以题试法1(2012 大同模拟 )设 a，b，c 分别是 ABC 中角 A，B，C 所对的边，则直线xsin Aay c0 与 bxysin Bsin C0 的位置关系是() A平行B重合C垂直D相交但不垂直解析：选 C由已知得a 0， sin B0， 所以两直线的斜率分别为k1sin

35、Aa， k2bsin B，由正弦定理得k1 k2sin Aabsin B 1，所以两条直线垂直精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页学习必备欢迎下载两直线的交点与距离问题典题导入例 2(2012 浙江高考 )定义：曲线C 上的点到直线l 的距离的最小值称为曲线C 到直线 l 的距离已知曲线C1：yx2a 到直线 l：yx 的距离等于曲线C2：x2(y4)2 2 到直线 l：yx 的距离，则实数a_. 自主解答 因曲线 C2：x2(y4)22 到直线 l：yx 的距离为0 422 2 222，所以曲线C1与直线 l 不

36、能相交，故x2ax，即 x2ax0. 设 C1：yx2a 上一点为 (x0，y0)，则点 (x0，y0)到直线 l 的距离 d|x0 y0|2x0 x20a2x0122 a1424a14 22，所以 a94. 答案 94由题悟法1点到直线的距离问题可直接代入距离公式去求注意直线方程为一般式2点到与坐标轴垂直的直线的距离，可用距离公式求解也可用如下方法去求解：(1)点 P(x0，y0)到与 y 轴垂直的直线ya 的距离 d|y0 a|. (2)点 P(x0，y0)到与 x 轴垂直的直线xb 的距离 d|x0 b|. 以题试法2(2012 通化模拟 )若两平行直线3x 2y1 0,6xayc 0

37、之间的距离为21313，则 c的值是 _解析： 由题意得63a 2c1，得 a 4， c2，则 6xayc0 可化为 3x2yc20，则c211321313，解得 c2 或 6. 答案： 2 或 6 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页学习必备欢迎下载对 称 问 题典题导入例 3(2012 成都模拟 )在直角坐标系中，A(4,0)，B(0，4)，从点 P(2,0)射出的光线经直线 AB 反射后，再射到直线OB 上，最后经直线OB 反射后又回到P 点，则光线所经过的路程是 () A2 10B6 C33 D2 5 自主

38、解答 如图， 设点 P 关于直线AB，y 轴的对称点分别为D，C，易求得 D(4,2)，C(2,0)，由对称性知，D，M，N，C 共线，则 PMN 的周长 |PM| |MN| |PN| |DM| |MN| |NC| |CD|40210即为光线所经过的路程答案 A 由题悟法对称问题主要包括中心对称和轴对称(1)中心对称点 P(x，y)关于 O(a，b)的对称点P(x， y)满足x 2ax，y 2by.直线关于点的对称可转化为点关于点的对称问题来解决(2)轴对称 点A(a ， b) 关 于 直 线Ax By C 0(B0) 的 对 称 点A(m ， n) ， 则 有n bma AB 1，Aam2B

39、bn2C0.直线关于直线的对称可转化为点关于直线的对称问题来解决以题试法3(2012 南京调研 )与直线 3x4y50 关于 x 轴对称的直线方程为() A3x4y50 B3x 4y5 0 C 3x4y50 D 3x4y50 解析： 选 A与直线 3x4y5 0 关于 x 轴对称的直线方程是3x4(y)50，即3x 4y50. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 27 页学习必备欢迎下载典例 (2012 银川一中月考)求经过直线l1：3x2y10 和 l2：5x2y 10 的交点，且垂直于直线l3：3x5y6 0 的直线

40、l 的方程常规解法 解方程组3x2y10，x2y10，得 l1，l2的交点坐标为(1,2)由 l3的斜率35得 l 的斜率为53. 则由点斜式方程可得l 的方程为y253(x1)即 5x3y 10. 高手支招运用直线系方程，有时会给解题带来方便，常见的直线系方程有：(1)与直线 AxByC0 平行的直线系方程是AxBym0(mR 且 mC)；(2)与直线 AxByC0 垂直的直线系方程是BxAym0(mR)；(3)过直线 l1：A1xB1yC10 与 l2：A2xB2yC20 的交点的直线系方程为A1xB1yC1 (A2xB2yC2)0( R)，但不包括l2. 巧思妙解 由于 l 过 l1，l

41、2的交点，故可设l 的方程为3x2y1 (5x2y1) 0 将其整理，得 (35 )x(22 )y(1 )0，其斜率352253，得 15. 代入直线系方程得l 方程 5x 3y10. 针对训练求与直线 2x6y110 平行，且与坐标轴围成的三角形面积为6 的直线方程解： 由题意，设所求直线方程为2x6yb0.令 x0，得 yb6；令 y0，得 xb2，则直线2x6yb0 与坐标轴的交点坐标分别为0，b6，b2， 0. 又所围成的三角形面积S12b6b212b2126，所以 b2144，所以 b 12. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -

42、第 20 页，共 27 页学习必备欢迎下载故所求直线方程为2x6y120 或 2x6y 120. 即为 x3y60 或 x3y60. 1(2012 海淀区期末 )已知直线 l1：k1xy10 与直线 l2： k2xy10，那么“ k1k2”是“ l1 l2”的 () A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析： 选 C由 k1k2,1 1，得 l1l2；由 l1l2知 k1 1k210，所以 k1k2.故“k1k2”是“ l1l2”的充要条件2当 0k12时，直线l1：kx yk1 与直线 l2：ky x2k 的交点在 () A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限解

43、 析 ： 选B解 方 程 组kxyk1，kyx2k，得 两 直 线 的 交 点 坐 标 为kk1，2k1k1，因为 0k12，所以kk10，2k1k 1 0，故交点在第二象限3 (2012 长沙检测 )已知直线l1的方程为3x4y70， 直线 l2的方程为6x 8y1 0，则直线 l1与 l2的距离为 () A.85B.32C4 D8 解析： 选 B直线l1的方程为3x4y 70，直线 l2的方程为6x8y10，即为3x 4y120，直线l1与直线 l2的距离为127324232. 4若直线l1：y k(x4)与直线 l2关于点 (2,1)对称，则直线l2恒过定点 () A(0,4) B(0,

44、2) C(2,4) D (4， 2) 解析： 选 B由于直线l1：y k(x4)恒过定点 (4,0)，其关于点 (2,1)对称的点为 (0,2)又由于直线l1：yk(x4)与直线 l2关于点 (2,1)对称，故直线l2恒过定点 (0,2)5已知直线l1：y2x3，若直线 l2与 l1关于直线xy0 对称，又直线l3l2，则 l3精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 27 页学习必备欢迎下载的斜率为 () A 2 B12C.12D 2 解析： 选 A依题意得，直线l2的方程是 x2(y)3，即 y12x32，其斜率是12，由

45、l3l2，得 l3的斜率等于2. 6 (2012 岳阳模拟 )直线 l 经过两直线7x5y240 和 xy0 的交点，且过点 (5,1) 则l 的方程是 () A3xy40 B3xy40 Cx3y80 Dx 3y4 0 解析： 选 C设 l 的方程为7x5y24 (x y) 0，即(7 )x(5 )y 240，则 (7 )55 240.解得 4.l 的方程为 x3y80. 7(2012 郑州模拟 )若直线 l1：ax2y0 和直线 l2：2x(a1)y10 垂直，则实数a的值为 _解析： 由 2a2(a1) 0 得 a12. 答案： 128已知平面上三条直线x2y10，x10，xky0，如果这

46、三条直线将平面划分为六部分，则实数k 的所有取值为_解析： 若三条直线有两条平行，另外一条与这两条直线相交，则符合要求，此时k0或 2；若三条直线交于一点，也符合要求，此时k1，故实数 k 的所有取值为0,1,2. 答案： 0,1,2 9(2013 临沂模拟 )已知点 P(4，a)到直线 4x3y10 的距离不大于3，则 a 的取值范围是 _解析： 由题意得，点到直线的距离为|44 3a1|5|153a|5.又|153a|53，即 |153a|15，解得， 0a10，所以 a 0,10 答案： 0,10 10(2013 舟山模拟 )已知1a1b 1(a0，b0)，求点 (0，b)到直线 x2y

47、 a0 的距离的最小值精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 27 页学习必备欢迎下载解：点(0， b)到直线 x2ya0 的距离为 da2b515(a2b)1a1b1532baab15(32 2)35 2 105，当且仅当a22b2，ab ab，即 a12， b222时取等号所以点 (0，b)到直线 x 2ya0 的距离的最小值为3 52 105. 11(2012 荆州二检 )过点 P(1,2)的直线 l 被两平行线l1：4x 3y1 0 与 l2：4x3y60 截得的线段长|AB|2，求直线 l 的方程解： 设直线 l 的

48、方程为y2 k(x1)，由ykx 2k，x3y 10，解得 A3k 73k 4，5k83k4；由ykx 2k，x3y 60，解得 B3k123k4，810k3k4. |AB|2，53k 425k3k422，整理，得 7k248k7 0，解得 k17 或 k217. 因此，所求直线l 的方程为 x7y150 或 7xy50. 12已知直线l：3xy30，求：(1)点 P(4,5)关于 l 的对称点；(2)直线 xy2 0 关于直线l 对称的直线方程解： 设 P(x，y)关于直线l：3x y30 的对称点为P (x，y) kPP kl 1，即yyxx3 1.又 PP 的中点在直线3xy 30 上，

49、 3x x2yy23 0.精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 27 页学习必备欢迎下载由得x4x3y 95，y3x4y35.(1)把 x 4，y5 代入得x 2， y7， P(4,5)关于直线l 的对称点 P的坐标为 (2,7)(2)用分别代换xy20 中的 x，y，得关于l 的对称直线方程为4x3y953x 4y3520，化简得 7x y220. 1点 P 到点 A(1,0)和直线 x 1 的距离相等，且点P 到直线 yx 的距离为22，这样的点 P 的个数是 () A1 B2 C3 D4 解析： 选 C点 P 到点 A

50、和定直线距离相等，P 点轨迹为抛物线，方程为y24x. 设 P(t2,2t)，则22|t22t|2，解得 t11， t212，t3 12，故 P 点有三个2(2012 福建模拟 )若点 (m，n)在直线 4x3y100 上，则 m2n2的最小值是 () A2 B22 C4 D23 解析： 选 C设原点到点 (m，n)的距离为d，所以 d2m2n2，又因为 (m，n)在直线 4x3y100 上，所以原点到直线4x 3y100 的距离为d 的最小值， 此时 d|10|42 322，所以 m2n2的最小值为4. 3在直线l： 3xy10 上求一点P，使得 P 到 A(4,1)和 B(0，4)的距离之