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1、精品_精品资料_高中数学新课标基础学问常见结论详解整理宿城一中王占魁一、集合与简易规律一、懂得集合中的有关概念1集合中元素的特点：确定性 , 互异性, 无序性.集 合 元 素 的 互 异 性 ： 如 ：A x, xy, lg xy,B 0,| x |, y, 求A.2集合与元素的关系用符号,3常用数集的符号表示： 自然数集表示.正整数集.整数集.有理数集、实数集4集合的表示法：列举法 ,描述法 ,韦恩图注 意 ： 区 分 集 合 中 元 素 的 形 式 ： 如 ：A x | yx 22x1 .B y | y2x2 x1.C x, y | yx 22x1 .D x | xx 22x1 .E x,
2、 y | y2x2 x1, xZ, yZF x, y | yx 22x1 . G z | yx22 x1, zy x5空集是指不含任何元素的集合. 0 、和 的区分. 0 与三者间的关系空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.留意：条件为AB ,在争论的时候不要遗忘了A的情形.如： A x | ax 22 x10 ,假如AR,求 a 的取值.二、集合间的关系及其运算1符号“符号“,”是表示元素与集合之间关系的,立体几何中的表达”是表示集合与集合之间关系的,立体几何中的表达点与直线面的关系面与直线 面 的关系.2 AB_ . AB_ .CU A_3对于任意集合 A, B ,就： ABBA
3、. ABBA . ABAB . ABA. ABA.CU ABU. CU AB. CU ACU B.CU AB .三、集合中元素的个数的运算：1假设集合 A 中有 n 个元素,就集合 ,全部非空真子集的个数是A 的全部不同的子集个数为. ,全部真子集的个数是2 A UB 中元素的个数的运算公式为：Card A UB.3运用韦恩图 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、 A x |x 满意条件p , B x |x 满意条件q ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设且,就 p 是 q 的充分非必要条件AB .假设且,就 p 是 q 的必要非充分条件AB .可编辑资料
4、- - - 欢迎下载精品_精品资料_假设且,就 p 是 q 的充要条件AB .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_假设且,就 p 是 q 的既非充分又非必要条件 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_五、德摩根公式：C I AB C I AC IB; C I AB C I AC I B可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、数形结合 是解集合问题的常用方法：解题时要尽可能的借助数轴、直角坐标系或韦恩图等工具,将抽象的代数问题详细化、形象化、直观化,然后利用数形结合的思想方法解决二、函数一、映射与函数：1映射的概念：第一个集合中的元素必需有象且不能有剩余,其次
5、个集合中元素可以有剩余.形式：一对一,或多对一.2一一映射：一对一 3函数的概念：数集到数集的映射. 4映射的个数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：假设 A1,2,3,4 , B a,b, c.问： A 到 B 的映射有个, B 到 A 的映射有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个. A 到 B 的函数有个,假设 A1,2,3,就 A到 B 的一一映射有个.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 y x 的图象与直线xa 交点的个数为个.可编辑资料 -
6、 - - 欢迎下载精品_精品资料_二、函数的三要素： ,.相同函数的判定方法：.两点必需同时具备 1函数解析式的求法：定义法拼凑 ：换元法：待定系数法：赋值法：2函数定义域的求法：原就：函数表达式有意义或使实际问题有意义.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yf x*,就. y2n f x nN 就.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ y fx 0 ,就. 如： ylogf xgx,就.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_含参问题的定义域要分类争论.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如：已
7、知函数 yf x 的定义域是 0,1 ,求 xf xaf xa 的定义域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于实际问题,在求出函数解析式后.必需求出其定义域,此时的定义域要依据实际意义来确定.如：已知扇形的周长为 20,半径为 r ,扇形面积为 S ,就 Sf r .定义域为.3函数值域的求法：分析观看法：有的函数结构并不复杂,可以通过基本函数的值域及不等式的性质观看出函数的值域.配方法：转化为二次函数,利用二次函数的特点来求值.常转化为型如：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xax 2bxc, xm, n 的形式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
8、料_逆求法 反求法 , 别离常数法：通过反解, 用 y 来表示 x ,再由 x 的取值范畴, 通过解不等式, 得出 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的取值范畴.常用来解,型如：yax cxb , x d m,n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_换元法：i 代数换元对形如yaxbcxd a0 的函数常设 tcxd来求值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ii 三角换元法对形如yaxbcx2 a0 的函数常用“三角换元”,如令xc cos来可编辑资料
9、- - - 欢迎下载精品_精品资料_求值域.留意:i新元的取值范畴, ii三角换元法中,角的取值范畴要尽量小.a x2b xc可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判别式法： 对形如 y111 a 2a 20 的函数常转化成关于x 的二次方程,由于方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12a x2b xc222程有实根,即0 从而求得 y 的范畴,即值域.留意：定义域为R,要对方程的二次项系数进行争论k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x基本不等式法：转化成型如： 定、三等”yx k x0 ,利用平均值不等式公式来求值域.留意“一正、二可编辑资料 - - -
10、 欢迎下载精品_精品资料_利用函数有界性：转化为含正弦、余弦等的函数,运用函数有界性来求值域a 、 sin x 、 cos x 等.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调性法：函数为单调函数,可依据函数的单调性求值域.数形结合或几何意义：依据函数的几何图形,利用数形结合斜率、距离、确定值的意义等的方法来求值域.导数法可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求以下函数的值域：yabx aabx0, b0, ab, x 1,1 2 种方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2x yx3 , x,0 2 种方法.
11、yx2x3, xx1,0 2 种方法.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、复合函数的有关问题1复合函数定义域求法：假设 fx 的定义域为 a, b ,就复合函数 fgx 的定义域由不等式 a gx b 解出 假设 fgx 的定义域为 a,b,求 fx 的定义域,相当于 xa,b 时,求 gx 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2复合函数单调性的判定： 第一将原函数 yf g x 分解为基本函数： 内函数 ug x 与可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_外函数 yf u .分别争论内、 外函数在各自定义域内的单调性.依据“同性就增, 异性就减”来
12、判定原函数在其定义域内的单调性.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：外函数 yf u 的定义域是内函数 ug x 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、分段函数：值域最值 、单调性、图象等问题.解决分段函数问题的原就：先分段解决,再下结论.五、函数的性质：一函数的单调性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调性的定义：f x在区间 M 上是增减函数x1, x2M , 当 x1x2 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x1f x2 00 x1x2 f x1 f x2 00f x
13、1x1f x2 x20 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调性的判定定义法：留意：一般要将式子f x1 f x2 化为几个因式作积或作商的形式,以利于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_判定符号.导数法见导数部分.复合函数法见上三 .图像法.注：证明单调性主要用定义法和导数法.应用：比较大小,证明不等式,解不等式.二 函数的奇偶性函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件 前提.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x 是奇函数f x f x f x f x 0f x1 .f x 可编辑资料
14、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ f x 是偶函数f x f x f xf x 0f x.1f x 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_奇函数f x在原点有定义,就f 00 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在关于原点对称的单调区间内：奇函数有相同的单调性,偶函数有相反的单调性.6假设所给函数的解析式较为复杂,应先等价变形,再判定其奇偶性.三 函数的周期性可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1周期性的定义：对定义域内的任意x ,假设有f xT f x其中
15、 T 为非零常数,就称可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_函数 f x 为周期函数, T 为它的一个周期. 全部正周期中最小的称为函数的最小正周期.如没有特别说明,遇到的周期都指最小正周期.2三角函数的周期可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ ysin x : T2. ycos x : T2. ytan x : T.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yA sinx, yAcosx : T2. y|tanx : T.|可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3函数周期的判定：定义法试值图像法公式法利用
16、2中结论可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_与周期有关的结论：f xaf xa 或f x2 af xa0f x 的周可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_期为 2a . yf x 的图象关于点a,0, b,0 中心对称f x周期 2 ab . yf x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的图象关于直线 xa, xb 轴对称f x周期为 2 ab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yf(x) 的图象关于
17、点 a,0中心对称,直线 xb轴对称f x 周期 4 ab .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_应用：求函数值和某个区间上的函数解析式.四、函数图像变换可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 平移变换：yf xyf xa , a0 左“ +”右“ - ”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yfxyf xk, k0 上“ +”下“ - ”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：1有系数,要先提取系数.如：把函数 经过平移得到函数 的图象.2会结合向量的平移,懂得依据向量a ,平移的意义.
18、(2) 伸缩变换：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yfxyf x , 10 纵坐标不变,横坐标伸长为原先的倍.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yf xyAfx , A0 横坐标不变,纵坐标伸长为原先的A倍.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(3) 对称变换：yf x 0,0 yf x . yf xy 0yf x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yf xx 0yf x . yy xf
19、x1yfx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(4) 翻转变换：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yfxyf | x | 右不动, 右向左翻f x 在yy=fx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y 左侧图象去掉 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ yf xy| f x| 上不动, 下向上翻|f x |O 2,0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 x 下面无图象.0,-1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如： yf x 的图象如图,作出以下函数图象：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 y
20、f x .2 yf x .3 yf | x | .4 y| f x|.5 yf 2x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6 yf x1 .7 yf x1 .8 yf x .9 yf1 x .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六、反函数：1定义：2函数存在反函数的条件： .3互为反函数的定义域与值域的关系： .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4求反函数的步骤：将yf x 看成关于 x 的方程,解出xf1 y ,假设有两解,要留意解可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢
21、迎下载精品_精品资料_的挑选.将x, y互换,得 yf1 x .写出反函数的定义域即yf x 的值域.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5互为反函数的图象间的关系： .6原函数与反函数具有相同的单调性.7原函数为奇函数,就其反函数仍为奇函数.原函数为偶函数,它肯定不存在反函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_七、函数零点的求法：直接法求f x0 的根.图象法.二分法 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_八、几种常用的函数：一一元一次函数：ykxbk0 ,当 k0 时,是增函数.当 k0 时,是减函数.可
22、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二一元二次函数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般式： yax 2bxca0 .对称轴方程是.顶点为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两点式： ya xx1 xx2 .对称轴方程是.与 x 轴的交点为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶点式： ya xk 2h .对称轴方程是.顶点为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1一元二次函数的单调性：当 a0 时：为增函数.为减函数. 当 a0时：为
23、增函数.为减函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2二次函数求最值问题：第一要采纳配方法,化为ya xk 2h 的形式,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_、假设顶点的横坐标在给定的区间上,就a0 时：在顶点处取得最小值,最大值在距离对称轴较远的端点处取得. a0时：在顶点处取得最大值,最小值在距离对称轴较远的端点处取得.、假设顶点的横坐标不在给定的区间上,就a0 时：最小值在距离对称轴较近的端点处取得,最大值在距离对称轴较远的端点处取得. a0时：最大值在距离对称轴较近的端点处取得,最小值在距离对称轴较远的端点处取得.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
24、_有三个类型题型：顶点固定,区间也固定.如：yx 2x1, x1,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶点含参数 即顶点变动 ,区间固定,这时要争论顶点横坐标何时在区间之内,何时在区间之外.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_顶点固定,区间变动,这时要争论区间中的参数yx2x1, x a, a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3二次方程实数根的分布问题：转化为二次函数f xax 2bxc 的图像与 x 轴的交点分布.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
25、资料_留意： 假设在闭区间 m, n 争论方程f x0 有实数解的情形,可先利用在开区间 m,n 上实根分布可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的情形,得出结果,在令xan 和 xm 检查端点的情形.c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三反比例函数：y四幂函数1幂函数的定义：x0yaxxb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的, 1函数 yxk k为常数, kQ 叫做幂函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
26、_精品资料_2函数 yqqpx p 、 q 为互质的整数叫做幂函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2幂函数 yxkx p 的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图象都经过点1,1 奇偶性： q 分子为偶数,偶函数.p 分母为偶数,非奇非偶函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_p 、 q 均为奇数,奇函数.单调性：k0 时,在 0, 上递增. k1 时函数在第一象限内的图像向可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下
27、载精品_精品资料_下凸. 0 k 1 时函数在第一象限内的图像向上凸.k0 时,在0, 上递减.其它区域的单调性结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_合奇偶性判定.如在以下图像中找出所给函数的大致图像可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 yx 3 yx 2 y1x 2 y1x 1 yx 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_34 yx 2 yx 3 yx152 yx 3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_yyyoxoxox yyyxoxoxyyoxox yx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
28、品资料_o五指数及指数函数：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. a 0 a0 a n a0, nN可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. na n n1, nNn a n （ n为奇数） （ n为偶数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m3. a n =;ma n a0,m, nN , m n为既约分数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 指数运算法就： aa a ab ,R 可编辑资料 -
29、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 指数函数 ya x a0,且a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1函数的定义域为 R, 2 函数的值域为0, , 3 当 0a1时函数为减函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 a1 时函数为增函数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 指数函数函数图像：1 指数函数的图象都经过点0,1,且图象都在y第一、二象限, 2指数函数都以 x 轴为渐近线当0a1 时,图象向y ax可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
30、_精品资料_左无限接近 x 轴,当 a1 时,图象向右无限接近x 轴, 3 对于相同0a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的 a a0, 且a1 ,函数 yax与y1xa的图象关于 y 轴对称 .o可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_六对数及对数函数：1. 积、商、幂、方根的对数 M, N 都是正数, an0, 且 a1,n0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 log a MNN 2 log aM 3 log a M 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 对数的换底公式及对数的恒等式供选
31、用log a Nnlogb N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1 a 对数恒等式2log a a 3log a Nlog b换底公式a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 log a b1log b a5 log am bnlog a b am0 ,且 a1 ,. N0 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 对数函数： y= log a xao,a 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义： 函数 ylog axa0,且a1) 称对数函数, 函数的定义域为0, ,函数的值域为 R,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 0a1 时函数为减函数,当 a1 时函数为增函数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 对数函数的图象对数函数的图象都经过点0,1,且图象都在第一、四象限,yy=logax0a 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对数函数都以 y 轴为渐近线当0a1时,图象向上无限接近o1x可编辑资料