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1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 三角函数1. 与（ 0 360） 终 边 相 同 的 角 的 集 合 （ 角与 角的 终 边 重 合 ）：x|k360,kZy终边在 x 轴上的角的集合：|k180,kZ32sinxsinx41终边在 y 轴上的角的集合：|k18090,kZcosxcosxcosxcosx终边在坐标轴上的角的集合：|k90,kZ1sinxsinx4终边在 y=x 轴上的角的集合：|k18045,kZ23SIN COS三角函数值大小关系图1、 2、 3、 4表示第一、二、三、四象限一半所在区域终边在 y x 轴上的角的集合：| k 180 45 , k Z如
2、角 与角 的终边关于 x 轴对称,就角 与角 的关系：360 k如角 与角 的终边关于 y 轴对称,就角 与角 的关系：360 k 180如角 与角 的终边在一条直线上,就角 与角 的关系：180 k角 与角 的终边相互垂直,就角 与角 的关系：360 k 902. 角度与弧度的互换关系：360=2 180= 1 =0.01745 1=57.30 =57 18留意：正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零 . 、弧度与角度互换公式：1rad180 57.30 =57 18 1 0.01745（ rad）1803、弧长公式：l | | r . 扇形面积公式：s 扇形 12 lr
3、1 | |2 r 24、三角函数：设 是一个任意角,在 的终边上任取（异于y a的终边原点的）一点 P（x,y ）P 与原点的距离为 r ,就 sin y；r P（ x,y cos xr；tanx y；cot xy；sec rx；. csc ry . o rx5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦,三切四余弦）y + o-+-xy-o-+xyxyPTx-o +-+OMA正弦、余割余弦、正割正切、余切6、三角函数线_精品资料_ 正弦线： MP; 余弦线： OM; 正切线： AT. 第 1 页,共 15 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 7. 三角
4、函数的定义域：三角函数c o sc o t定义域,kZf x sinxx |xRx |xRf x cosxf x tanxx|xR 且xk12f x cotxx|xR 且xk,kZx|xR 且xk1,kZf x secx2f x cscxx|xR 且xk,kZ8、同角三角函数的基本关系式：sintancossi ntancot1cscsin1s ecco s1116. 几个重要结论:2ycot2sin2cos21sec2tan212 csc1y9、诱导公式：|sinx|cosx|sinxcosx把k的三角函数化为的三角函数,概括为：|cosx|sinx|cosx|sinx|OxOx2“ 奇变偶
5、不变,符号看象限”cosxsinx|sinx|cosx|3 如 ox2 ,就sinxxtanx三角函数的公式： （一）基本关系_精品资料_ 公式组一sinxsin 2x+cos2x=1s i n 公式组二xsinx公式组三第 2 页,共 15 页sinxcscx=1tanx=sin 2ks i n xs i n xcosxcosxsecx =1x=cos 2 kxcosxc o s xc o s xcosx1+tan 2 x =sec 2xtan 2 kxtanxt a n x t a n xsinxtanxcotx=1cot 2kxcotxc o t x c o t x 1+cot 2x=c
6、sc 2x公式组四公式组五公式组六sinx sinxs i n x s i n xxs i n xcosxcosxc o s x c o s xc o s x c o stanx tanxt a n x t a n xt a n x t a n xcotx cotxc o t x c o t xc o t x c o t x- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - （二）角与角之间的互换_精品资料_ 公式组一sins i n 2公式组二c o s 2112s i n 2第 3 页,共 15 页coscoscossin2s i nc o scoscoscos
7、sinsinc o s 2c o s 2s i n 222t a n1cos公式组五sinsincoscossint an 212 t a nsinsincoscossins i n 21c o s2tantantan1coscos21tantan2tantantan1cossintan21tantan1cos1cossin公式组三公式组四sin12tan22sincos1sinsincos1 2sin2sin1sintancossinsin1 2cos22cos1coscos1tan22coscoscottan1 22sincossin1cos1tan22cos1 2sin2sin2cos2
8、sin2sintan12tan22sinsin2costan1 2cot2sin2tancoscos2cos2cos2sin1 2cos2coscos2sin,. 2sin2cot15sin15cos75642, ,tan15cot7523tan7523sin75cos 15642- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质：_精品资料_ - - - - - - -ysinxycosxytanxycotxyAsinx（A、0）定义域R R x|xR 且xk1,kZx|xR 且xk,kZR 2值域,11,11R R
9、 A,A周期性222奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当0 非奇非偶当0 奇函数22k,2 k1,；上2k,2k数k, k1上为减函2k2A,A数（kZ）2 k函上 为 增 函为增22 k数（kZ）2k1上 为 增 函2 k,2数；2 k1单调性22 k,上 为 减 函上为增函数；A ,A 数2 k232 k（kZ）22 k3 2上 为 减 函数（kZ）上为减函数（kZ）留意：ysinx与ysinx的单调性正好相反；ycosx与ycosx的单调性也同样相反.一般地,如yf x 在a,b上递增（减） ,就yf x 在a ,b上递减（增） . ysinx与ycosx的周期是. yysinx或ycos
10、x（0）的周期T2. xytan x 2的周期为 2（TT2,如图,翻折无效）. Oysinx的对称轴方程是xk2（kZ）,对称中心（k, 0）；ycosx的对称轴方程是xk（kZ）,对称中心（k1, 0）；ytanx的对称中心 （k,0）. 22ycos2x原点对称ycos2xcos2x当 tantan,1k2kZ； tantan,1k2kZ. ycosx与ysinx22 k是同一函数 ,而y x是偶函数,就yxsinxk1cosx . 2第 4 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 函数ytanx在 R 上为增函数 .（） 只能在某个单调区间单调递增. 如在
11、整个定义域,y tan x 为增函数,同样也是错误的 . 定义域关于原点对称是 f x 具有奇偶性的必要不充分条件 .（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要）,二是满意奇偶性条件,偶函数：f x f x ,奇函数：f x f x ）奇偶性的单调性：奇同偶反 . 例如：y tan x 是奇函数,y tanx 1 是非奇非偶 .（定3义域不关于原点对称）奇函数特有性质：如0x的定义域,就fx肯定有f00.（0x的定义域,就无此性质）_精品资料_ ysinx不是周期函数；ysinx为周期函数（T）；yxyxycosx是周期函数（如图） ；ycosx为周期函数（T）；1/2y=|cos2
12、x+1/2|图象y= cos|x|图象ycos x1的周期为（如图）,并非全部周期函数都有最小正周期,例如：第 5 页,共 15 页2yfx5fxk,kR. yacosbsina2b2sincosb有a2b2y. a- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等函数 yAsin（ x）的振幅 |A| ,周期T2|,频率f1|,相位x;初相T2|（即当 x0 时的相位）（当 A 0, 0 时以上公式可去肯定值符号）,由 ysinx 的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长 （当 |A|1）或缩短 （当 0|A|1
13、）到原先的 |A|倍,得到 yAsinx 的图象, 叫做 振幅变换 或叫沿 y 轴的伸缩变换（用 y/A 替换 y）由 ysinx 的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长 （0| |1）或缩短（| | 1）到原先的|1|倍,得到 ysinx 的图象,叫做 周期变换 或叫做沿x 轴的伸缩变换用 x替换 x 由 ysinx 的图象上全部的点向左（当 0）或向右（当 0）平行移动 个单位,得到 y sin（x）的图象,叫做相位变换 或叫做沿 x 轴方向的平移用 x 替换 x 由 ysinx 的图象上全部的点向上（当 b 0）或向下 （当 b 0）平行移动 b个单位,得到 y sinxb 的图象叫做
14、沿 y 轴方向的平移 （用 y+-b 替换 y）由 ysinx 的图象利用图象变换作函数yAsin（ x）（A0, 0）（x R）的图象, 要特殊留意： 当周期变换和相位变换的先后次序不同时,原图象延 x 轴量伸缩量的区别；_精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 高中数学三角函数常见习题类型及解法1. 三角函数恒等变形的基本策略；1 ”的 代 换 , 如1=cos2 +sin2 ：2所（ 1 ） 常 值 代 换 ： 特 别 是 用 “=tanx cotx=tan45 等；（2）项的分拆与角的配凑；如分拆项sin2x+
15、2cos2x=sin2x+cos2x+cos2x=1+cos 2x；配凑角： =（ + ） , =2等；（3）降次与升次；（4）化弦（切）法；（4）引入帮助角； asin +bcos =a2b2sin + ,这里帮助角在象限由 a、b 的符号确定,角的值由 tan=b 确定；a2. 证明三角等式的思路和方法；（1）思路：利用三角公式进行化名,化角,转变运算结构,使等式两边化 为同一形式；（2）证明方法：综合法、分析法、比较法、代换法、相消法、数学归纳法；3. 证明三角不等式的方法：比较法、配方法、反证法、分析法,利用函数的单调性,利用正、余弦函数的有界性,利用单位圆三角函数线及判别法等；4.
16、解答三角高考题的策略；（1）发觉差异：观看角、函数运算间的差异,即进行所谓的“ 差异分析”；（2）查找联系：运用相关公式,找出差异之间的内在联系；（3）合理转化：挑选恰当的公式,促使差异的转化；四、例题分析例 1已知tan2,求（1）cossin；（2）sin2sin.cos2cos2cossin的值 . 解：（1）cos cossin12sin1tansin1222322；cos sinsin11tan12 2 sin2sincoscossin2coscos2,进行cos2sin2cossin2sin22222432. 2 cossin2cos112 cos说明：利用齐次式的结构特点（假如不
17、具备,通过构造的方法得到）弦、切互化,就会使解题过程简化；_精品资料_ 例 2求函数y1 sinxcosxsinxcos 2的值域；第 7 页,共 15 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - ytt解：设tsinxcosx2 sinx12,2,就原函数可化为42t1 t1 223,由于t,所以2,24当2时,时,y min3,y max32,当t24所以,函数的值域为 y 3,2；4例 3已知函数 f x 4sin 2x 2sin 2 x 2,x R；（1）求 f x 的最小正周期、f x 的最大值及此时 x 的集合；（2）证明：函数 f x 的图像
18、关于直线 x 对称；8解：f x 4sin 2 x 2sin 2 x 2 2sin x 21 2sin 2 x 2 s i n 2 2 c o s 2 2 2 si n 2 41所以 f x 的最小正周期 T ,由于 x R ,所以,当 2 x 2 k ,即 x k 3 时,f x 最大值为 2 2 ；4 2 82证明：欲证明函数 f x 的图像关于直线 x 对称,只要证明对任意 x R,8有 f x f x 成立,8 8由于 f x 2 2 sin2 x 2 2 sin 2 2 2 cos2 x ,8 8 4 2 f x 2 2 sin2 x 2 2 sin 2 2 2 cos2 x ,8
19、8 4 2所以 f x f x 成立,从而函数 f x 的图像关于直线 x 对称；8 8 8例 4 已知函数 y= 1 cos 2x+ 3 sinx cosx+1 （xR）, 2 2（1）当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合；（2）该函数的图像可由 y=sinxx R的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？_精品资料_ +1 解：（1）y=1 cos 22x+3 sinx cosx+1= 21 2cos 42x1+ 1 + 43（2sinx cosx）4第 8 页,共 15 页=1 cos2x+ 43 sin2x+ 45 = 41 cos2x sin 26+sin2x cos6+54=1
20、 sin2x+ 26+54- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 所以 y 取最大值时, 只需 2x+6=2+2k ,（kZ）,即 x=6+k ,（kZ）；所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为 x|x= +k ,k Z 6（2）将函数 y=sinx 依次进行如下变换：（i ）把函数 y=sinx 的图像向左平移,得到函数 y=sinx+ 的图像；6 6（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原先的 1 倍（纵坐标不变）,得到2函数 y=sin2x+ 的图像；6（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原先的 1 倍（横坐标不变）,得到2函数 y
21、= 1 sin2x+ 的图像；2 6（iv ）把得到的图像向上平移 5 个单位长度,得到函数 y= 1 sin2x+ + 54 2 6 4的图像；综上得到 y= 1 cos 2x+ 3 sinxcosx+1 的图像；2 2说明：此题是 2022 年全国高考试题,属中档偏简单题,主要考查三角函数的图像和性质； 这类题一般有两种解法： 一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式, 降2 2幂后最终化成 y= a b sin x+ +k 的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式；此题（ 1）仍可以解法如下：当cosx=0 时, y=1；当 cosx 0 时,_精品资料_ y=1cos2xx3 si
22、n22 cosxcosx+1=13 tan22 tan xx+1 第 9 页,共 15 页22sin2x1化简得： 2y 1tan2x3 tanx+2y 3=0 tanx R, =38y 12y 3 0, 解之得：3 y474ymax=7 ,此时对应自变量 4x 的值集为 x|x=k +6,k Z 例 5已知函数fxsinxcos x3 cos 2 x .3 3 的形式,并求其图象对称中心的横坐标；3（）将 fx 写成Asinx（）假如ABC的三边 a、b、c 满意 b 2=ac,且边 b 所对的角为 x,试求 x的范畴及此时函数fx 的值域 . 解：fx1sin2x3 1cos2x1sin2
23、x3cos2x3sin2x3323232323232（）由sin2x3=0 即2x3kkz得x3 k1kz332即对称中心的横坐标为3k1,kz2（）由已知 b 2=ac - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - cosxa2c2b2a2c2ac2acac1,2ac2ac2ac21cosx1,0x3,32x3513,239|32|52|,sin3sin2x31,3sin2x39332即fx的值域为3 1,3. 2综上所述,x0 ,3,fx值域为31,3 . 2说明：此题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等学问,仍需要利用数形结合的思想来解决函数值域的
24、问题,整合的才能；有利于培育同学的运算才能, 对学问进行_精品资料_ 例 6在ABC 中,a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且cos cosC3ac,第 10 页,共 15 页Bb1求 sin B 的值；2如b4 2,且 a=c,求ABC 的面积；解： 1由正弦定理及cos cosC3ac,有cos cosC3sinAsinC,BbBsinBA0,即 sinBcosC3sinAcosBsinCcosB ,所以 sinBC3sinAcosB ,又由于 ABC,sinBCsinA ,所以 sinA3sinAcosB ,由于 sin所以cosB1,又 0B ,所以sinB12 cosB2 2
25、；332在ABC 中,由余弦定理可得a2c22ac32,又 ac ,3所以有4a232,即a224,所以ABC 的面积为3S1acsinB1a2sinB8 2；22- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 三角函数一、挑选题 本大题共10 小题,每道题5 分,共 50 分 ）是）1已知点 P（tan,cos）在第三象限, 就角 的终边在（A. 第一象限B.其次象限C.第三象限D.第四象限2集合 M x|xk 2 4,kZ与 Nx|xk,kZ 之间的关系是（4A. MN B.NM C.MN D.MN3如将分针拨慢非常钟,就分针所转过的角度是（A.60B.60
26、C.30D.304已知以下各角（1） 787, 2 957, 3 289, 41711 ,其中在第一象限的角 A. （1）（2）B.（2）（3）C.（1）（ 3）D.（2）（4）5设 a0,角 的终边经过点P（ 3a,4a）,那么 sin 2cos 的值等于（A. 2B.2C. 1D.155556如 cos1 2,3 22,就 sin2 等于（A. 3B. 3C. 1D.322227如 是第四象限角, 就 是（A. 第一象限角B.其次象限角C.第三象限角D.第四象限角8已知弧度数为2 的圆心角所对的弦长也是2,就这个圆心角所对的弧长是（A.2 B. 2C.2sin1 D.sin2 sin19假
27、如 sinxcosx1 5,且 0x,那么 cotx 的值是（A. 4B.4 3或3C.3D. 4 3或3344410如实数 x 满意 log 2x2 sin,就|x1|x10|的值等于（A.2x9 B.92x C.11 D.9 二、填空题 本大题共6 小题,每道题5 分,共 30 分 11 tan300 cot765 的值是 _. _精品资料_ 12如sincos sincos 2,就 sincos 的值是 _. 第 11 页,共 15 页13不等式（ lg202cosx1,x0,的解集为 _. 14如 满意 cos1 2,就角 的取值集合是 _. 15如 cos130 a,就 tan50
28、_. 16已知 fx1x,如 2, ,就 fcos f cos可化简为 _. 1x- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 三、解答题（本大题共 5 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17（本小题满分12 分）设一扇形的周长为CC0,当扇形中心角为多大时,它有最大面积？最大面积是多少？18 本小题满分14 分）设 90180,角 的终边上一点为P（x,5 ,且 cos2 4 x,求 sin 与 tan 的值 . 19 本小题满分14 分 已知 2 ,sinm3 m5,cos42m,求 m 的值 . m520 本小题满分 15 分
29、已知 045,且 lgtanlgsin lgcoslgcot 2lg3 3 2 lg2,求 cos 3sin 3 的值 . 2 cos7 2 和3 cos2 cos ,21 本小题满分15 分已知 sin5且 0, 0,求 和 的值 . _精品资料_ - - - - - - -第 12 页,共 15 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 三角函数一、挑选题（本大题共10 小题,每道题5 分,共 50 分）（）1以下函数中, 最小正周期为 的偶函数是A. ysin2xx B.y cos 2（）C.ysin2xcos2x D.y1tan2x 2x1tan2设函数 ycossinx
30、,就A. 它的定义域是1, 1B.它是偶函数C.它的值域是cos1,cos1D.它不是周期函数3把函数y cosx 的图象上的全部点的横坐标缩小到原先的一半,纵坐标扩大到原先的两倍 , 然 后 把 图 象 向 左 平 移 4（）个 单 位 . 就 所 得 图 象 表 示 的 函 数 的 解 析 式 为A. y2sin2x B.y 2sin2x 4 D. 4（）C.y2cos2x 4 D.y2cosx 24函数 y2sin3x 4 图象的两条相邻对称轴之间的距离是A. B. 2C.333（）5如 sincos m,且2 m 1,就 角所在象限是A. 第一象限B.其次象限（）C.第三象限D.第四象限6函数 y|cotx| sinx（ 0x3且 x）的图象是27设 ycos 2x1sinx,就以下结论中正确选项（）A. y 有最大值也有最小值 B.y 有最大值但无最小值C.y 有最小值但无最大值D.y 既无最大值又无最小值_精品资料_ 8函数 ysin（ 42x的单调增区间是（）第 13 页,共 15 页A. k3 8,k 8k Z B.k8,k5kZ C.k 8,k 3kZ D.k3 8,k7 8kZ - - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 9已知 0x,且1 2a 0,那