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1、如果别人思考数学的真理像我一样深 入持久, 他也会找到我的发现。 -高斯,第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题,9.1 特殊函数的常微分方程,园球形和园柱形是两种常见的边界，本章考察拉普拉斯方程在球坐标系和坐标系中分离变量法所导致的常微分方程以及相应的本征值问题。,（一）直角坐标系内的拉普拉斯方程,正交曲线座标系中的拉普拉斯方程,球域内Laplace方程的边值问题,坐标变换,直角坐标：,柱坐标：,球坐标：,（1）球坐标系拉普拉斯方程的分离变量,令,拉普拉斯算子：,4,欧拉形式方程,球函数方程,5,常数,对欧拉形式方程作变量代换,因式分解,解为：,式中：C和D为积分常数.,球函数方程，令,
2、自然的周期边界条件：,l-阶缔合勒让德方程,7,l-阶勒让德方程,u 是轴对称的，对的转动不改变 u 。,8,令,（2）柱坐标系拉普拉斯方程的分离变量,9,1.,2.,3.,贝塞耳方程,虚宗量贝塞耳方程,侧面的齐次边界条件,的可能数值,上下低面的齐次边界条件,的可能数值,10,（二）波动方程的分离变量,令,振动方程,亥姆霍兹方程,（三）输运方程的分离变量,令,亥姆霍兹方程,增长或衰变的方程,11,（四）亥姆霍兹方程,1. 球坐标,l 阶球贝塞耳方程,球函数方程,12,阶贝塞耳方程,13,m阶贝塞耳方程,2. 柱坐标,齐次边界条件，本征值问题,14,分离变数结果,拉普拉斯方程,方程,球坐标系,柱
3、坐标系,l-阶连带勒让德方程,m-阶贝赛尔方程,m-阶虚宗量贝赛尔方程,15,16,三类数学物理方程,Helmholtz方程,连带Legendre方程、Bessel方程,分离时间空间变量,分离空间坐标变量,17,9.2 常点邻域的级数解法,线性常微分方程在指定初始条件下的级数解法。,对于复变函数：,（一）定义,方程的常点 ： 和 在其邻域解析。否则为奇点。,（二）常点邻域的级数解,定理：,方程的常点 的邻域 中 和 解析，则在这个圆中存在唯一的解析解 满足初始条件,由于解的唯一性，可将此解写为泰勒级数：,解析函数理论,19,这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的解法解出，但可用幂级数解法解出
4、所谓幂级数解法，就是在某个任意点Z0的邻域上，把待求的解表为系数待定的幂级数，代入方程以逐个确定系数 幂级数解法是一个比较普遍的方法，适用范围较广，可借助于解析函数的理论进行讨论 求得的解既然是级数，就有是否收敛以及收敛范围的问题. 尽管幂级数解法较为繁琐，但它可广泛应用于微分方程的求解问题中,几点说明,（三）勒让德方程的级数解法,化为标准形式：,是方程的奇点,在 点的邻域：,1.级数解,代入方程,或,20,递推公式,系数的两 个序列,21,22,这样 l 阶 Legendre 方程的解是：,所以 l 阶Legendre的级数解在单位圆内收敛，在单位圆外发散。,（Gauss判别法）,幂级数解的
5、收敛半径,2. x=1解的收敛性,可以证明，当解 是无穷级数时，不可能在两点同时收敛。,如果解是多项式，即只有有限项，这样的解可以在这两点 同时收敛,由系数的递推关系 可知：,当l是偶数，则偶次项的系数在k=l以后为零。,当l是奇数，则奇次项的系数在k=l以后为零。,3.自然边界条件,“解在x=1保持有限”是自然边界条件，勒让德方程变成本征值问题，本征函数为勒让德多项式，l(l+1)是本征值。,23,9.3 正则奇点邻域上的级数解法,和,（一）奇点邻域上的级数解,定理：如果z0是方程 的奇点，则在p(z)和q(z)都解析的环状区域0z-z0R内，方程的两个线性无关解是,或,（二）正则奇点邻域上
6、的级数解,显然，把解代入方程时，会得到的是一组无穷多个未知数的联立方程。但在一定条件下，两个线性独立解具有有限个负幂项，这样的解称为正则解。,正则奇点,定理：方程 在它的奇点z0的邻域0z-z0R内有两个正则解的充要条件是： (z-z0)p(z)和(z-z0)2q(z)在z-z0R中解析,即z0最多是p(z)的一阶极点，同时最多是q(z)的二阶极点，即是正则奇点。,和,或,25,原因分析：,有有限个负幂项的解,代入方程后，最低幂项的系数,两个根分别作为线性独立解的最低幂次,若不是正则奇点,m 1 或 n 2,令最低幂项合并后的系数为零，得不到s得二次代数方程,26,（三）贝塞尔方程,(1) v
7、阶贝塞尔方程,在x0=0的邻域上求解,v整数或半奇数,27,28,(2) 半奇数阶贝塞尔方程,在x0=0的邻域上求解,第一解,29,根据常微分方程理论，对于一个二阶线性常微分方程,如果已经求出一个解 ，则第二个解可用积分求出,朗斯基行列式法,30,什么情况下第二解可能含对数项？,若规定方程在正则奇点处的两个指标,则,31,代入方程,第一解,32,l+1/2 阶贝塞尔方程通解,(3) 整数阶贝塞尔方程,通解,33,（四）虚宗量贝塞尔方程,(1) v阶虚宗量贝塞尔方程,在x0=0的邻域上求解,v整数或半奇数,v阶贝塞尔方程,整数阶贝塞尔方程在x=0处的自然边界条件,正项级数，除x=0外恒不为零,3
8、4,9.4 施图姆刘维尔本征值问题,一定的边界条件限制了常微分方程的解：仅当方程的参数取特定的值时，满足边界条件的解才存在。参数的特定值叫本征值，解叫本征函数，求解的问题就叫本征值问题。,（一）施图姆刘维尔本征值问题,施图姆刘维尔型方程：,化为施图姆刘维尔型方程：,二阶常微分方程最一般的形式：,35,（1）,振动方程：,A 为一常数。,（2）,勒让德方程：,（3）,连带勒让德方程：,36,瑞士数学家J.C.F.Sturm, 法国数学家J.Liouville, 18361838年发表的研究结果,（5）,埃尔米特方程：,标准形式,（4）,贝赛尔方程：,（6）,拉盖尔方程：,标准形式,37,证明：,
9、如端点x=a是k(x)的一级零点,在x=a成为无限大的解应该排除，这正是自然边界条件,如端点x=a或b是k(x)的一级零点，则在该端点存在自然边界条件,不高于一级极点,勒让德方程的自然边界条件：,38,（二）本征值问题,如 连续或最多以x=a 和x=b为一阶极点，则存在无限多个本征值：,及无限多本征函数,2. 所有本征值,证：,39,第一类、第二类边界条件及自然边界条件决定右边一、二项为零,第三类齐次边界条件：,所以,即,3. 对应于不同的本征值的 本征函数带权 正交：,本征值与本征函数一一对应：,40,证：,第一、第二类齐次或自然边界条件：,41,第三类齐次边界条件：,同样：,4. 本征函数
10、族完备,f(x) 具有连续一阶导数和分段连续二阶导数，且满足本征函数族所满足的边界条件。,绝对且一致收敛,42,（三）广义傅立叶级数,复本征函数族,前边讨论的都是实变量的实值函数。一般地，本征函数还可以是实变量的复值函数，或者复变量的复值函数。,Hilbert 空间,把本征值问题的无穷多个本征函数看作一个无穷维函数空间的基，该空间中的任一个函数都可以用这组基展开。换句话说，满足相应边界条件的任意函数都可以表示为该空间中的一个矢量。这个空间又是一个内积空间，所有基矢量相互正交或互相垂直。把一个函数用函数基展开，等价于把相应的矢量在这个空间中投影，每一个基矢量上的投影分量即为该函数的广义Fouri
11、er系数。这样的空间就是所谓 Hilbert 空间。,欧拉方程,常系数线性微分方程,附录： 欧拉方程,欧拉方程的算子解法:,则由上述计算可知:,用归纳法可证,于是欧拉方程,转化为常系数线性方程:,例1.,解:,则原方程化为,亦即,其根,则对应的齐次方程的通解为,特征方程, 的通解为,换回原变量, 得原方程通解为,设特解:,代入确定系数, 得,例2.,解:,将方程化为,(欧拉方程),则方程化为,即,特征根:,设特解:,代入 解得 A = 1,所求通解为,例3.,解: 由题设得定解问题,则化为,特征根:,设特解:,代入得 A1,得通解为,利用初始条件得,故所求特解为,思考: 如何解下述微分方程,提示:,原方程,直接令,为常数,