数学建模的微分方程方法.ppt

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1、数学建模的微分方程方法,主讲人：杨和,2017.7.24-25,许多有趣的实际问题都包含着随时间发展的过程。动态模型常被用于表现这些过程的演变。动态模型建模时首先要根据建模目的和对问题的具体分析作出简化假设，然后按照对象内在的或可以类比的其他对象的规律列出微分方程，接着求解微分方程并将微分方程的解翻译回实际对象，最后就可以进行描述、分析、预测和控制实际对象了。,五步方法、灵敏性分析和稳健性分析等基本原则对动态模型是有意义并且是有用的。在探讨一些最流行和最实用的动态建模技巧时，我们常采用这些方法。,一般来讲，动态模型易于构造但是难于求解。精确的解析解仅对少数特殊情况存在，如线性系统。数值方法常常

2、不能对系统的行为提供一个好的定性的解释。所以图形表示通常是分析动态模型不可缺少的一部分。由于图形表示特有的简单性，以及它的几何性质，使得它在数学建模中占据了重要地位。事实上，对于动态模型，数值方法结合图形分析才是最有效的方法。,目录：,1 五步方法 2 灵敏性分析 3 稳健性分析 4 薄膜渗透率的测定 5 香烟过滤嘴的作用 6 其他实例,本节简要介绍用数学建模解决问题的一般过程，称之为五步方法。 1. 提出问题 2. 选择建模方法 3. 推导模型的数学表达式 4. 求解模型 5. 回答问题,1 五步方法,例1.1 一头猪重200磅,每天增重5磅,伺养每天需花费45美分。猪的市场价格是每磅65美

3、分，但是每天下降1美分。求出售猪的最佳时间。,注：1磅 = 0.454千克,而问题需要用数学语言表达，这通常需要大量的工作。在这个过程中，需要对实际问题做一些假设，但不需要做出推测，因为我们总可以在后面的过程中随时返回并做出更好的推测。在用数学术语提出问题之前，我们需要定义所用的术语。,第一步是提出问题，,首先，列出整个问题所涉及的变量，包括恰当的单位。 然后，写出关于这些变量所做的假设，列出已知的或者假设的这些变量之间的关系式,包括等式或不等式。 最后，用明确的数学语言写出这个问题的目标的表达式。 变量、单位、等式、不等式和假设，就构成了完整的问题。,在例1.1中，变量包括: 1. 猪的重量

4、 w (磅) 2. 从现在到出售经历的时间 t (天) 3. t 天内伺养猪的花费 C (美元) 4. 猪的市场价格 p (美元/磅) 5. 售出生猪所获得的收益 R (美元) 6. 最终获得的净收益 P (美元) 还有一些量，如猪的初始重量(200磅)等，但这些量不是变量。把变量和常量分开是很重要的。,下面我们列出对这些变量所做的假设。在这个过程中，我们要考虑问题中的常量的作用,把变量的单位带进去,可以检查所列式子是否有意义。,变量：t = 从现在到出售的时间(天) w = 猪的重量(磅) p = 猪的价格(美元/磅) C = 饲养 t 天的花费(美元) R = 售出猪的收益(美元) P =

5、 净收益(美元) 假设：w = 200+5t p = 0.65-0.01t C = 0.45t R = pw P = R-C t 0 目标：求P的最大值,图1-1 售猪问题的第一步的结果,注意：第一部分三个阶段(变量、假设、目标)的确定不需要按特定的顺序。,现在我们已经有了一个用数学语言表述的问题，我们需要选择一种数学方法来获得解。许多问题都可以表示成一个已有的有效的一般求解方法的标准形式。应用数学领域的多数研究都包含确定问题的一般类别，并提出解决该类问题的有效方法。在这一领域有许多文献，并且不断取得新的进展。一般很少有学生对选择较好的建模方法有经验或熟悉文献。在座的各位大都是首次参加数学建模

6、比赛，至多也就是参加了学校的建模比赛，对形形色色的建模方法更是知之甚少。这也是我为什么选择这部分内容作为本讲的第一节的主要原因。,第二步是选择建模方法。,设 在 处是可微的，如果 在 处达到极大或极小, 则 。 细节可参阅微积分入门教材。,建模方法：,第三步是推导模型的数学表达式。,如：例1.1把问题中的变量名改换一下，在算法上就比较方便。,P = RC = pw 0.45t = (0.65 0.01t)(200 + 5t) 0.45t,记 y = P 为目标变量，x = t 为自变量，则问题转化为在集合S=x:x0上求下面函数的最大值：,y = f(x) = (0.65 0.01x)(200

7、+5x) 0.45x.,即要把第一步,得到的问题应用于第二步，写成所选建模方法需要的标准形式，以便于我们运用标准的算法过程求解。,第四步，利用第二步中确定的标准过程求解这个模型。,如本例中即对 y = f(x) = (0.65 0.01x)(200+5x) 0.45x 在区间 x0 上求最大值。,如图1-2可知，y = f(x) 关于 x 是二次的曲线图，易得,f (x) = 0.1x+0.8,则在点 x = 8 处 f (x)=0.,由 f 在区间(, 8)上单调递增,而在区间(8,+)上单调递减。,故点 x = 8是全局最大值点。且有 f(8) = 133.20, 从而点(x,y)=(8,

8、 133.20)是 f 在整个实轴上的全局最大值点,也是区间 x0 上的最大值点。,第五步回答问题，,由第四步，我们得到的答案是在8天之后，可以获得净收益133.20美元。只要第一步的假设成立，这一结果就是正确的。,相关的问题及其他不同的假设可以按照第一步中的做法调整得到。由于我们处理的是一个实际问题（一个农民决定何时出售他饲养的生猪），在第一步中会有一个风险因素存在，因此通常有必要研究一些不同的可能，这一过程称为灵敏性分析。我们将在下一节进行讨论。,即回答第一步中提出的问题,“何时售猪可以达到最大净收益？”,第一步 提出问题,(1) 列出问题涉及的变量，包括恰当的单位; (2) 注意不要混淆

9、了变量和常量; (3) 列出你对变量所做的全部假设，包括等式和不等式; (4) 检查单位从而保证你的假设有意义； (5) 用准确的数学表达式给出问题的目标。,第二步 选择建模方法,(1) 选择问题的一个一般的求解方法； (2) 一般地，这一步的成功需要经验、技巧的对相关文献有一定的熟悉程度； (3) 要针对不同问题决定要用的建模方法。,本节主要介绍五步方法,下面将这一方法总结归纳成如下图表(图1-3), 以便以后参考。,(2) 有可能需要统一第一、二步中的变量名； (3) 记下所有补充假设，这些假设是为了使在第一步中描述的问题与第二步中选定的数学结构相适应而做的。,第四步 求解模型,第五步 回

10、答问题 (1) 用非技术性的语言将第四步中的结果重新表述； (2) 避免数学符号和术语; (3) 能理解最初提出问题的人就应该能理解你给出的解答。,第三步 推导模型的公式,(1) 将第一步中得到的问题重新表达成第二步选定的建模方法需要的形式；,(1) 将第二步中所选方法应用于第三步得到的表达式; (2) 注意你的数学推导,检查是否有错误,答案是否有意义; (3) 采用适当的技术, 计算机代数系统、图形、数值计算的软件等都能扩大你解决问题的范围,并减少计算错误。,1.2 灵敏性分析,1.问题的提出,(2) 灵敏性分析是数学建模的一个重要方面，具体内容与所用的建模方法有关。,(3) 上一节用售猪问

11、题说明了建模的五步法。图1-1列出了求解该问题所做的所有假设，虽然数据和假设都有非常详细的说明，但还要再严格检查，由于数据是由测量、观察有时甚至完全是猜测得到的，故要考虑数据不准确的可能性。,(1) 上一节简要介绍了五步法。整个过程从假设开始, 但很难保证这些假设都是正确的，因此要考虑所得结果对每一条假设的敏感程度，即灵敏性。,在这个例子中，我们可以看出： 可靠性高的数据： 生猪现在的重量、猪现在的价格、每天饲养的花费等，易测量，确定性大；, 可靠性低的数据： 猪的生长率 g 和价格的下降速率 r .,2. 最佳售猪时间x关于价格下降速率r的灵敏性,前面我们假定 r = 0.01美元/天，现在

12、假设 r 的实际值是不同的，对几个不同的 r 值，重复使用前面的求解过程, 我们会对问题的解关于 r 的敏感程度有所了解。,即给定r，对 y = f(x) = (0.65 rx)(200 + 5x) 0.45x 关于 x 求导，令 f (x)=0，可得相应 x 值。,表1-4给出了选择几个不同的 r 值求出 x 的计算结果。,(1) 粗分析,表1-4 售猪问题中最佳售猪时间x关于价格的下降速率r的灵敏性,将上表1-4中的数据绘制在如下图1-5中。,易见，x 对 r 是很敏感的。,(2) 系统分析,将 r 作为未知的参数，仍按前面的步骤求解:, 出售价格：p = 0.65 rt, 目标函数：y

13、= f(x) = (0.65 rx)(200+5x) 0.45x = 130 + 2.8x 200rx 5rx2, 求导： f (x) = 2.8 200r 10rx, 使 f (x)=0的点为 x = (7 500r)/ 25r,若要 x0 ，只要 0 0.014 ,在0,+)上都有 f (x)0，最佳售猪时间为x=0。 图1-6给出了r = 0.015的情况,3. 最佳售猪时间x关于生长率g的灵敏性,前面我们假定 g = 5 磅/天,一般地,我们有如下步骤:, 出售重量：w = 200 + gt, 目标函数：y = f(x) = 0.65 0.01x)(200+gx) 0.45x =130

14、+0.65gx 2.45x 0.01gx2, 求导： f (x)= 0.65g 2.45 0.02gx, 使f (x)=0的点为 x = 5(13g 49)/ 2g,若要 x 0, 最佳售猪时间可由 x = 5(13g-49)/ 2g 给出, 图1-7给出了最佳售猪时间和生长率g之间的关系。,4. 灵敏性的相对改变量,(1) 意义： 相对改变量比绝对改变量更自然且更实用。将灵敏性数据表示成相对改变量或者百分比的形式，会使模型更加直观。 例如：r 的10%下降导致了x的39%的增加，g 的10%下降导致了 x 的34%的下降。,(2) x 对 r 的灵敏性:,对售猪问题中, 由x = (7500

15、r)/ 25r 可得, 在点 r = 0.01, 有,即若 r 增加10%,则导致了x 的35%下降.,即 r 对 x 的弹性,(3) x 对 g 的灵敏性:,对售猪问题中，由x = 5(13g 49)/ 2g可得，在点 g = 5，有,若 g 增加10%,则 x 上升30.625%, 即多等侍约30%的时间.,即 g 对 x 的弹性,注意: (1) 灵敏性分析的成功应用要有好的判断力,即不可能也不必要对模型中每个参数都进行灵敏性分析,要选择较大不确定的参数; (2) 对灵敏性的解释依赖于参数的不确定程度; (3) 原始问题中数据的不确定程度也会影响我们对答案的自信度。如售猪问题中, 猪的生长

16、率 g 比价格下降率 r 更可靠。,1.3 稳健性分析,1. 关于稳键性,(1) 稳键性： 一个数学模型不完全精确，但由其导出的结果仍是正确的，我们称这个模型有稳键性。,(2) 研究的理由：实际问题中，我们不会有绝对准确的信息，即使建立一个完美的精确的模型，也可能采用较简单和易于处理的近似方法。,(3) 数据假设与其它假设：灵敏性分析的过程是一种根据对数据提出的假设来评估模型稳键性的方法。在提出的问题中，还有其它假设需要检查。为了数学处理的方便和简化的目的，常要做一些假设，建模者有责任考察假设是否太特殊，以至于导致建模结果变得无效。,(4) 对售猪问题：图1-1列出了全部假设，除了数据的取值外

17、，主要的假设是猪的重量和价格都是时间的线性函数。这显然是做了简化的，是不可能严格满足的。,比如：由此线性假设，一年后，猪的重量 w = 200+5t = 200+5365 = 2025 (磅) 一年后价格为 p = 0.650.01t = 0.65 0.01365 = 3 (美元/磅),显然,线性假设不合理,更实际的模型既要考虑函数的非线性性，又要考虑随时间的不确定性。,若假设错误，模型怎能给出正确答案？虽然模型力求完美，但这难以达到。确切地说：数学模型力求接近完美。好模型有稳键性，是指虽然它给出的答案不完全精确，但足够近似故可以在实际问题中应用。,2. r，g不是常数时对模型结果的影响,(1

18、) 考察售猪问题中的线性假设,重量: w = 200+rt w = w(t),价格: p = 0.65gt p = p(t), 收益: P(t)=pw 0.45t,令 P(t)=0 pw + p w = 0.45,其中 pw 代表因价格下降而损失的价值; p w 代表由于猪增重而增加的价值。,模型告诉我们，只要猪价比伺养费用增长快，就应该继续伺养。保留生猪直到利润的增值等于每天的伺养费用时出售。,(2) 考察售猪问题中的非线性假设,重量: w = w(t),价格: p = p(t), 收益: P(t)=pw 0.45t,pw + p w= 0.45,假设一种情况：一个农民有一头重约200磅的猪

19、, 在上周每天增重约5磅，五天前猪价为70美分/磅，但现在猪价为65美分/磅，我们应该怎么办？,保留生猪直到利润的增值等于每天的费用时出售,由数据 w = 200,w= 5, p = 0.65, p= 0.01,若 (10%),建议过一周后(t=7)重新估计 ，再作计算。,和 ，,则 （30%）。,EX1. 完成下面的练习并试着用小论文的形式写出 一个汽车制造商售出某品牌的汽车可获利1500美元,估计每100美元的折扣可以使销售额提高15%。 (1) 多大的折扣可以使利润最高？利用五步方法及单变量最优化模型。 (2) 对你所得的结果，求关于所做的15%假设的灵敏性。分别考虑折扣量和相应的收益。

20、 (3) 假设实际每100美元的折扣仅可以使销售额提高10%，对结果会有什么影响？如果每100美元的折扣的提高量为10%15%之间的某个值, 结果以如何. (4) 什么情况下折扣会导致利润的降低。,EX2. 完成下面的练习并试着用小论文的形式写出 仍考虑例1.1中的问题，但现在假设猪的价格保持稳定. 设 (1.1) 表示 t 天后猪的价格(美分/磅)。 (1) 画图表示(1.1)式及我们原来的价格函数.解释为什么原来的价格函数可以作为(1.1)式在 t 趋于0时的近似. (2) 求最佳售猪时间. (3) 参数0.00004表示价格的平稳率，对这个参数求灵敏性. 分别考虑最佳售猪时间和相应的收益

21、.,EX3. 完成下面的练习并试着用小论文的形式写出 仍考虑例1.1中的问题，但假设现在的目标是对收益率求最大值。假设猪已经养了90天,到现在已为这头猪投入了100美元。 (1) 求最佳售猪时间. (2) 讨论猪的生长率的灵敏性,分别考虑最佳售猪时间和相应的收益. (3) 讨论猪价下降率的灵敏性, 分别考虑最佳售猪时间和相应的收益.,EX4. 用五步法完成下面的练习并试着用小论文的形式写出 一家彩电制造商计划推出两种新产品: 一种是19英寸液晶平板电视机,制造商建议零售价为339美元;另一种是21英寸液晶平板电视机,零售价为399美元.公司付出的成本为19英寸彩电每台195美元, 21英寸彩电

22、每台225美元,还要加上400000美元的固定成本.在竞争的销售市场中, 每年售出的彩电的数量会影响彩电的平均价格.据估计, 对每种类型的彩电,每多售出一台, 平均销售价格会下降1美分.而且19英寸彩电的销售会影响21英寸彩电的销售,反之亦然. 据估计,每售出一台21英寸彩电,19英寸彩电的评价售价会下降0.3美分,而每售出一台19英寸的彩电,21英寸彩电的平均价格会下降0.4美分.问题是: 每种彩电应该生产多少台?,1.4 薄膜渗透率的测定,一、 问题： 某种医用薄膜，具有从高浓度的溶液向低浓度的溶液扩散的功能，在试制时需测定薄膜被物质分子穿透的能力。,测定方法：用面积为 S 的薄膜将容器分

23、成体积分别为 的两部份，在两部分中分别注满该物质的两种不同浓度的溶液。此时该物质分子就会从高浓度溶液穿过薄膜向低浓度溶液中扩散。平均每单位时间通过单位面积薄膜的物质分子量与膜两侧溶液的浓度差成正比，比例系数 K 表征了薄膜被该物质分子穿透的能力，称为渗透率。定时测量容器中薄膜某一侧的溶液浓度，以此确定 K 。,设 ，对容器的 B 部分溶液浓度的测试结果如下表：（浓度单位 ）,二、问题分析 考察时段t，t +t薄膜两侧容器中该物质质量的变化。,(1) 在容器的一侧，物质质量的增加是由于另一侧的物质向该侧渗透的结果，因此物质质量的增量应等于另一侧的该物质向这侧的渗透量。,的浓度，浓度单位:,以容器

24、 A 侧为例，在时段t，t +t物质质量的增量为：,由于平均每单位时间通过单位面积薄膜的物质分子量与膜两侧溶液的浓度差成正比，比例系数为K。,因此，在时段t，t+t，从 B 侧渗透至 A 侧的该物质的质量为：,于是有：,两边除以 t，并令 t0取极限再稍加整理即得：,(1),(2) 注意到整个容器的溶液中含有该物质的质量不变,与初始时刻该物质的含量相同，因此,从而,加上初值条件：,代入式(1)得：,便可得出 CB(t)的变化规律，从而根据实验数据进行 拟合，估计出参数K, 。,三、数学模型 假设： (1) 薄膜两侧的溶液始终是均匀的； (2) 平均每单位时间通过单位面积薄膜的物 质分子量与膜两

25、侧溶液的浓度差成正比。 (3) 薄膜是双向同性的即物质从膜的任何一 侧向另一侧渗透的性能是相同的。 基于假设和前面的分析，B侧的浓度CB(t)应满 足如下微分方程和初始条件：,四、求解方法：,1. 函数拟合法,前面得到的模型是一个带初值的一阶线性微分方程，解之得：,问题归结为利用CB在时刻 tj 的测量数据 Cj (j=1,2,.,N) 来辨识 K 和 。,令,从而,用函数CB(t)来拟合所给的实验数据，从而估计出其中的参数 a, b, K。,用MATLAB软件进行计算. (1) 编写函数M-文件 nongdu.m function f = nongdu(x,tdata) f = x(1)+x

26、(2)*exp(0.02*x(3)*tdata); 其中 x(1) = a; x(2) = b; x(3) = k; (2) 在工作空间中执行以下命令(test1.m) tdata = linspace(100,1000,10); cdata =4.54 4.99 5.35 5.65 5.90 6.10 . 6.26 6.39 6.50 6.59; x0 = 0.2,0.05,0.05; x = curvefit(nongdu, x0, tdata, cdata) (3) 输出结果: x = 0.007 0.003 0.1012 即 k = 0.1012, a = 0.007, b = 0.0

27、03,进一步求得：,2. 导函数拟合法,前面得到的微分方程为：,令,上式变为：,即为求参数K, a使下列误差函数达到最小：,该问题等价于用函数 f (K,a,CB)=K(0.01a-0.02CB)来拟合数据,( j=1, 2,.,N),用MATLAB软件进行计算.,tdata = linspace (100,1000,10); cdata = 1e0.5*454 499 535 565 590. 610 626 639 650 659; d,ifail=e01bef(tdata,cdata); cj,dcj=e01bgf(tdata,cdata,d,tdata);,(1) 编写函数M-文件 b

28、aomof.m function f = baomof(x,cdata) f = x(1)*(0.01*x(2)0.02*cdata) 其中 x(1) = K; x(2) = h,(2) 编写命令M文件(baomo21.m),(3) 输出结果: x = 0.1009 0.014 即 k = 0.1009, h = 0.014,作函数拟合,x0=0.2,0.1; x=curvefit(baomof , x0, cdata,dcj),五、结果及误差分析,几种方法得出的结果及相应的误差总结于下表，误差为计算数据与实验数据之差的平方和。,函数拟合法的拟合效果,1.5 香烟过滤嘴的作用,尽管科学家们对于

29、吸烟的危害提出来许多无可辩驳的证据，不少国家的政府和有关部门也一直致力于减少或禁止吸烟，但是仍有不少人不愿放弃对香烟的嗜好。香烟制造商既要满足瘾君子的的需要，又要顺应减少吸烟危害的潮流，还要获取丰厚的利润，于是普遍地在香烟上安装了过滤嘴。过滤嘴的作用到底有多大，与使用的材料和过滤嘴的长度有什么关系？要从定量的角度回答这些问题，就要建立一个描述吸烟过程的数学模型，分析人体吸入的毒物数量与哪些因素有关，以及它们之间的数量表达式。,吸烟时毒物吸入人体的过程大致是这样的：毒物基本上均匀地分布在烟草中，吸烟时点燃处的烟草大部分化为烟雾,毒物有烟雾携带着一部分直接进入空气，另一部分沿着香烟穿行。在穿行过程

30、中又部分地被未点燃的烟草和过滤嘴吸收而沉积下来，剩下的进入人体。被烟草吸收而沉积下来的那一部分毒物，当香烟燃烧到那里的时候又通过烟雾部分进入空气，部分沿着香烟穿行，这个过程一直继续到香烟燃烧至过滤嘴处为止。于是我们看到，原来分布在烟草中的毒物除了进入空气和被过滤嘴吸收的一部分外，剩下的全部被人体吸入。,实际的吸烟过程非常复杂并且因人而异。点燃处毒物随烟雾进入空气和沿着香烟穿行的数量比例，与吸烟的方式、环境等多种因素有关；烟雾穿过香烟的速度随着吸烟的动作的变化而不断地改变；过滤嘴和烟草对毒物的吸收作用也会随着烟雾穿行速度等因素的影响而有所变化。如果要考虑类似于上面这些复杂情况，将使我们寸步难行。

31、为了能建立一个初步的模型，可以设想一个机器人在典型环境下吸烟，它吸烟的动作、方式和外部环境在整过过程中不变，于是可以认为毒物烟雾进入空气和沿着香烟穿行的数量比例、烟雾穿行的速度、过滤嘴和烟草对毒物的吸收率等在吸烟过程中都是常数。,过滤嘴的作用与它的材料和长度有什么关系?,人体吸入的毒物量与哪些因素有关，其中什么因素影响大，什么因素影响小?,分析吸烟时毒物进入人体的过程，建立吸烟过程的数学模型.,设想一个“机器人”在典型环境下吸烟，吸烟方式和外部环境在整个过程中不变.,问题：,模型分析：,模型假设,定性分析,(a) l1烟草长， l2过滤嘴长， l = l1+ l2， 毒物量M均匀分布，密度w0

32、=M/l1 .,(b) 点燃处毒物随烟雾进入空气和沿香烟穿行的数量比是 a:a, a+a=1.,(c) 未点燃的烟草和过滤嘴对随烟雾穿行的毒物的(单位时间)吸收率分别是b和 .,(d) 烟雾沿香烟穿行速度是常数v，香烟燃烧速度是常数u， v u.,Q 吸一支烟毒物进入人体总量,模型建立,t=0, x=0，点燃香烟,q(x,t) 毒物流量,w(x,t) 毒物密度,如果知道了流量函数 , 吸入毒物量 Q 就是 处的流量在吸一支烟时间内的总和。,注意到关于烟草长度和香烟燃烧速度的假设, 有,下面分4步计算 Q.,(1),(1) 求 q(x,0)=q(x),在t=0瞬间由烟雾携带的毒物单位时间内通过x

33、处的数量q(x,0)。由假设(a)中关于v u 的假定，可以认为香烟点燃处 x=0静止不动。,为简单期间，记 q(x,0)=q(x) , 考察 一段香烟。毒物通过 和 的流量分别是 。因此，根据能量守恒定律，有,其中 是烟雾穿过 所需的时间。令 ，得微分方程,在 x = 0 处点燃的香烟单位时间内放出的毒物量记作 ，根据假设(a),(b)和(d)可以写出上述方程的初始条件为,(3),(2),由上述微分方程及初始条件，先解出 再利用 在 处的连续性确定 , 其结果为,(4),由,及 (3) 式,(2) 求 q(l, t),在香烟燃烧过程的任意时刻 t, 求毒物单位时间内通过 的数量 q(l, t

34、) 。,因为在时刻 t 香烟燃烧至 处, 记此时点燃的香烟单位时间放出的毒物量为 , 则,与第一步完全相同的分析和计算，可得,因此,(5),(6),(7),(3) 求 w(ut, t),考察t内毒物密度的增量,(单位长度烟雾毒物被吸收部分),因为在吸烟过程中未点燃的烟草不断的吸收烟雾中的毒物，所以毒物在烟草中的密度 w(x, t) 由初始值 逐渐增加。考察烟草截面 x 处 时间内毒物密度的增量 , 根据能量守恒定律, 有,令 , 将第二步中的结果带入上式, 有,解上述微分方程初值问题, 得,(8),(9),4) 计算 Q,Q 吸一支烟毒物进入人体总量,将(9)式代入(7)式, 可得,再将(10

35、)式代入(1)式, 作积分可得,(11),(10),为了便于分析, 记,代入(11)式, 则,(12)、(13)式是我们最终得到的结果,表示了吸入毒物量 与 等诸因素之间的数量关系。,(12),(13),结果分析,Q与烟草中含毒物的总量M、毒物随烟雾沿着香烟穿行的比例 a 成正比， aM是毒物集中在x=l 处的吸入量。, 过滤嘴因素，体现了过滤嘴减少毒物进入人体的作用； , l2 负指数作用，能过对Q起到负指数衰减的效果，并且 和 l2在数量上增加一定比例时起的作用相同。降低烟雾穿行速度 v 也可以较少Q。,烟草为什么有作用?,(r) 烟草的吸收作用,设想将毒物 M 集中在 x=l1处，则 是

36、毒物集中在 x=l1 处的吸入量。,(r) 表示的是由于未点燃烟草对毒物的吸收而起到的较少 Q 的作用。虽然被吸收的毒物还要被点燃，随烟雾沿着香烟穿行而部分进入人体，但是因为烟草中毒物的密度 w(x, t) 越来越高，所以按照固定比例跑到空气中的毒物增加，相应地减少进入人体的毒物量。,b, l1 线性作用,根据实际资料， ，将(12) 式中的 中的 取Taylor展开式的前3项，可得,由此可知，提高烟草吸收率 b 和增加长度 l1 (香烟 中的毒物量不变)对减少 Q 的作用是线性的，与 和 l2 的负指数衰减作用相比，效果要小得多。,为了更清楚的了解过滤嘴的作用，不妨比较两支香烟，一支是上述模

37、型讨论的，另一支长度为 l ，不带过滤嘴，参数 w0, b, a, v 与第一支相同，并且吸至 x=l1处扔掉。吸第一支香烟和第二支香烟进入人体的毒物量分别记作 ，则,带过滤嘴,不带过滤嘴,所以 。,由此可得,这说明过滤嘴是起作用的。并且，提高吸收率之 差 b 与加长过滤嘴长度 l2 对于降低比例 的效果相同。不过，提高 需要研制新材料，将更困难一些。,香烟过滤嘴的作用,在基本合理的简化假设下，用精确的数学工具解决一个看来不易下手的实际问题.,引入两个基本函数：流量 q(x, t) 和密度 w(x, t)，运用物理学的守恒定律建立微分方程，构造动态模型.,对求解结果进行定性和定量分析，得到合乎

38、实际的结论.,例1 （理想单摆运动）建立理想单摆运动满足的微分方程，并得出理想单摆运动的周期公式。,从图3-1中不难看出，小球所受的合力为mgsin，根据牛顿第二定律可得：,这是理想单摆应满足的运动方程,（3.1）是一个两阶非线性方程，不易求解。当很小时，sin，此时，可考察（3.1）的近似线性方程：,由此即可得出,（3.1）的近似方程,6 其他实例,例2 我方巡逻艇发现敌方潜水艇。与此同时敌方潜水艇也发现了我方巡逻艇，并迅速下潜逃逸。设两艇间距离为60哩，潜水艇最大航速为30节而巡逻艇最大航速为60节，问巡逻艇应如何追赶潜水艇。,这一问题属于对策问题，较为复杂。讨论以下简单情形：,敌潜艇发现

39、自己目标已暴露后，立即下潜，并沿着直 线方向全速逃逸，逃逸方向我方不知。,设巡逻艇在A处发现位于B处的潜水艇，取极坐标，以B为极点，BA为极轴，设巡逻艇追赶路径在此极坐标下的方程为r=r()，见图3-2。,由题意， ，故ds=2dr,图3-2可看出，,故有:,先使自己到极点的距离等于潜艇到极点的距离然后按（3.4）对数螺线航行，即可追上潜艇。,追赶方法如下：,例3 一个半径为Rcm的半球形容器内开始时盛满了水，但由于其底部一个面积为Scm2的小孔在t=0时刻被打开，水被不断放出。问：容器中的水被放完总共需要多少时间？,解: 以容器的底部O点为 原点，取坐标系如图3.3所示。令h(t)为t时刻容

40、器中水的高度，现建立h(t)满足的微分方程。,设水从小孔流出的速度为v(t)，由力学定律，在不计水的内部磨擦力和表面张力的假定下，有：,因体积守衡，又可得：,易见：,故有：,这是可分离变量的一阶微分方程，得,例4 一根长度为l的金属杆被水平地夹在两端垂直的支架上，一端的温度恒为T1，另一端温度恒为T2，（T1、T2为常数，T1 T2）。金属杆横截面积为A，截面的边界长度为B，它完全暴露在空气中，空气温度为T3，（T3 T2，T3为常数），导热系数为，试求金属杆上的温度分布T(x)，（设金属杆的导热率为）,一般情况下，在同一截面上的各点处温度也不尽相同，如果这样来考虑问题，本题要建的数学模型当为

41、一偏微分方程。,但由题意可以看出，因金属杆较细且金属杆导热系数又较大，为简便起见，不考虑这方面的差异，而建模求单变量函数T(x)。,热传导现象机理：当温差在一定范围内时，单位时间里由温度高的一侧向温度低的一侧通过单位面积的热量与两侧的温差成正比，比例系数与介质有关。,由泰勒公式：,金属杆的微元x,x+dx在dt内由获得热量为：,同时，微元向空气散发出的热量为：,系统处于热平衡状态，故有：,所以金属杆各处温度T(x)满足的微分方程:,这是一个两阶常系数线性方程，很容易求解,微分方程的概念,常微分方程,附录：,通解与特解,有解,例1 求微分方程,的通解.,解 分离变量得,两边积分,得,即,( C

42、为任意常数 ),说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、,减解.,( 此式含分离变量时丢失的解 y = 0 ),例2 解初值问题,解 分离变量得,两边积分得,即,由初始条件得 C = 1,( C 为任意常数 ),故所求特解为,例3 解初值问题,解,即,可化为变量分离方程的类型,例4 求下述微分方程的通解:,解 令,则,故有,即,解得,( C 为任意常数 ),所求通解:,解法1,故有,积分,( C 为任意常数 ),所求通解:,(试用适当的变量代换),解法2 分离变量,即,( C 0 ),例5,解：,分离变量并积分,即,特解,子的含量 M 成正比,求在,衰变过程中铀含量 M(t)

43、随时间 t 的变化规律.,解: 根据题意, 有,(初始条件),对方程分离变量,即,利用初始条件, 得,故所求铀的变化规律为,然后积分:,已知 t = 0 时铀的含量为,已知放射性元素铀的衰变速度与当时未衰变原,成正比,求,解: 根据牛顿第二定律列方程,初始条件为,对方程分离变量,然后积分 :,得,利用初始条件, 得,代入上式后化简, 得特解,并设降落伞离开跳伞塔时( t = 0 ) 速度为0,设降落伞从跳伞塔下落后所受空气阻力与速度,降落伞下落速度与时间的函数关系.,t 足够大时,可化为变量分离方程的类型,2. 齐次方程,形如,的方程叫做齐次方程 .,令,代入原方程得,两边积分, 得,积分后再

44、用,代替 u,便得原方程的通解.,解法:,分离变量:,解微分方程,解:,代入原方程得,分离变量,两边积分,得,故原方程的通解为,( 当 C = 0 时, y = 0 也是方程的解),( C 为任意常数 ),解微分方程,解:,则有,分离变量,积分得,代回原变量得通解,即,说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在,求解过程中丢失了.,( h, k 为待,可化为齐次方程的方程,作变换,原方程化为,令, 解出 h , k,(齐次方程),定常数),求出其解后,即得原方,程的解.,原方程可化为,令,(可分离变量方程),注: 上述方法可适用于下述更一般的方程,求解,解

45、:,令,得,再令 YX u , 得,令,积分得,代回原变量, 得原方程的通解:,得 C = 1 ,故所求特解为,求解方程,解：,分离变量并积分得,由此求出通积分,一阶线性微分方程,一阶线性微分方程标准形式:,若 Q(x) 0,称为非齐次方程 .,1. 解齐次方程,分离变量,两边积分得,故通解为,称为齐次方程 ;,对应齐次方程通解,齐次方程通解,非齐次方程特解,2. 解非齐次方程,用常数变易法:,则,故原方程的通解,即,即,作变换,两端积分得,解方程,解: 先解,即,积分得,即,用常数变易法求特解. 令,则,代入非齐次方程得,解得,故原方程通解为,解微分方程,解：,代入微分方程可得,伯努利 (

46、Bernoulli )方程,伯努利方程的标准形式:,令,求出此方程通解后,除方程两边 , 得,换回原变量即得伯努利方程的通解.,解法:,(线性方程),解微分方程,解：,方程可改写为,内容小结,1. 一阶线性方程,方法1 先解齐次方程 , 再用常数变易法.,方法2 用通解公式,化为线性方程求解.,2. 伯努利方程,可降阶的二阶微分方程,不显含未知函数y的方程,通积分,求解一阶微分方程,解：,分离变量得,两边积分可得,即,分离变量并积分,解：,分离变量并积分得,分离变量并积分得,可降阶的二阶微分方程,降阶,通积分,解：,分离变量并积分可得,相应的通积分为,解：,再次用分离变量法,所求特解为,即,n

47、 阶,方程,二阶常系数非齐次线性方程,线性微分方程,常系数,二阶,常系数,齐次,线性,形如,二阶常系数线性微分方程,- 特征方程法,将其代入方程,故有,特征根,二阶,设有解,得,特征方程,常系数,齐次,线性方程,二阶常系数齐次线性方程解法,其中 r 为待定常数.,两个线性无关的特解,有两个不相等的实根,特征方程,得齐次方程的通解为,设有解,其中 r 为待定常数.,有两个相等的实根,设,取,则,知,得齐次方程的通解为,设有解,其中 r 为待定常数.,有一对共轭复根,的两个线性无关的解.,设有解,其中 r 为待定常数.,叠加原理,重新组合,解:,特征方程,故所求通解为,特征根,解:,特征方程,故所

48、求通解为,特征根,解初值问题,解:,特征方程,特征根,所以方程的通解为,(二重根),特解,特征方程,特征方程的根,通解中的对应项,n阶常系数齐次线性方程解法,若是 k 重根 r,若是 k 重共轭复根,包含 k 个线性无关的解,包含 2k 个线性无关的解,注意,一个根都对应着通解中的一项,n 次代数方程有 n 个根,而特征方程的每,且每一项各,乘以一个任意常数.,求方程,解,的通解.,特征方程,故所求通解为,特征根,即,和,特征根,故所求通解,解:,特征方程,对应的特解,(3) 根据特征根的不同情况,得到相应的通解,(1) 写出相应的特征方程,(2) 求出特征根,小结,二阶常系数齐次线性方程,特征根的情况,通解的表达式,实根,实根,复根,求通解的步骤:,方程,Y 是对应齐次方程,通解结构,难点,方法,二阶,常系数,非齐次,线性,如何求非齐次方程特解 y*?,待定系数法.,的通解,y*是非齐次方程的一个特解.,二阶常系数非齐次线性方程,设想有解,解方程,设想有解,解方程,设想有解,解方程,特征方程,1.,0 不是齐次方程的特征根,2.,0 是齐次方程的单特征根,3.,0 是齐次方程的重特征根,求微分方程的通解,解：,特征方程,齐次方程通解,0不是特征根,代入原方程得,比较同次项系数得