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1、微分方程模型微分方程模型(五五)问题的提出问题的提出假设和定义假设和定义模型的建立模型的建立分析和求解分析和求解结论和讨论结论和讨论两种群动物的弱肉强食模型两种群动物的弱肉强食模型 典型生态平衡问题典型生态平衡问题: :在一个封闭的自然环在一个封闭的自然环境下生存有两种动物境下生存有两种动物, ,例如在水草丰盛的小例如在水草丰盛的小岛上只生存有狐和兔两种动物岛上只生存有狐和兔两种动物. .兔不缺食物兔不缺食物, ,狐则以兔为食狐则以兔为食. .兔靠多快地繁殖和机智地逃兔靠多快地繁殖和机智地逃避求得生存与发展避求得生存与发展. .不难看出这个岛上存在不难看出这个岛上存在如下生态平衡如下生态平衡:
2、 :兔依靠丰盛水草而大量繁殖兔依靠丰盛水草而大量繁殖; ;兔多则狐易得食也随之大量繁殖兔多则狐易得食也随之大量繁殖; ;狐过多捕狐过多捕食兔也多食兔也多, ,势必造成兔量不断减少势必造成兔量不断减少; ;兔量过兔量过少狐就会因觅食困难而减员少狐就会因觅食困难而减员; ;狐量少使幸存狐量少使幸存的狡兔们相对安全从而兔量又转为回升的狡兔们相对安全从而兔量又转为回升. .狐狐兔量就这样交替增减兔量就这样交替增减, ,稳定地无限循环下去稳定地无限循环下去, ,形成这个岛上狐与兔的生态平衡形成这个岛上狐与兔的生态平衡. .弱肉强食生态平衡的弱肉强食生态平衡的VolterraVolterra模型模型假设假
3、设: :岛上只有狐兔两种动物岛上只有狐兔两种动物; ;岛上气候温岛上气候温和和, ,水草丰盛水草丰盛, ,无自然灾害无自然灾害. .令令t t时刻的兔时刻的兔, ,狐数分别为狐数分别为x(t),y(tx(t),y(t),),意大意大利数学家利数学家VolterraVolterra建立下列数学模型建立下列数学模型: : dx/dt=x(a dx/dt=x(a-by), -by), dy/dt=-y(m-nx dy/dt=-y(m-nx), ), (3.1)(3.1) t t 0,x(0)=x0,x(0)=x0 0,y(0)=y,y(0)=y0 0. .其中其中,a,b,m,n,a,b,m,n为正
4、的常数为正的常数( (生物含义见后生物含义见后).).兔增长率兔增长率为为 a-by,a-by,即即y y越小增加越快越小增加越快, ,反反之之, ,则越慢则越慢, ,甚至负增长甚至负增长,y=0,y=0时时, ,对应于对应于兔的自然增长率兔的自然增长率a.a.狐增长率狐增长率为为 nx-mnx-m, ,即即x x越大增加越快越大增加越快, ,反反之之, ,则越慢则越慢, ,甚至负增长甚至负增长, ,特别特别,x=0,x=0时为时为- -m0,m0,对应于在无兔可食时狐的饿死率对应于在无兔可食时狐的饿死率. . a,b,m,na,b,m,n 可通过观察资料的统计分析而可通过观察资料的统计分析而
5、确定确定. . VolterraVolterra 模型的解释模型的解释VolterraVolterra模型的数学解模型的数学解x(t),y(t)x(t),y(t)满足的一阶常微分方程组等价于满足的一阶常微分方程组等价于dx/(x(a-by)=dt=dy/(-y(m-nxdx/(x(a-by)=dt=dy/(-y(m-nx),), 分离变量求通解得分离变量求通解得 aln|y|-by-ln|C|=-mln|x|+nxaln|y|-by-ln|C|=-mln|x|+nx, , 即即 y ya ax xm m=Ce=Cenx+bynx+by. .代入初始条件决定常数得代入初始条件决定常数得: : C
6、=(y C=(y0 0) )a a(x(x0 0) )m mexp(-nxexp(-nx0 0-by-by0 0).).xdxnxmydybya)()(VolterraVolterra的的相图分析方法相图分析方法将含同一变量的项分别移到等式的同一边将含同一变量的项分别移到等式的同一边可把可把VolterraVolterra模型的解写成模型的解写成 y ya ae e-by-by=Cx=Cx-m-me enxnx. .VolterraVolterra给出一种相图分析方法如下给出一种相图分析方法如下. .令令L L1 1:z=y:z=ya ae e-by-by; ; L L2 2:w=Cx:w=C
7、x-m-me enxnx, , 则上述解为则上述解为 L L3 3:z=w. :z=w. 因变量因变量x,y,z,wx,y,z,w全取正值全取正值, ,故可在同一张坐故可在同一张坐标平面上画出曲线标平面上画出曲线L L1 1,L,L2 2, ,和和L L3 3, ,并由它们并由它们确定本模型的解曲线确定本模型的解曲线L,L,如下图所示如下图所示. .oxzywBACDL3L1L2L图图 2-12-1解曲线解曲线L L的生物解释的生物解释从最低点从最低点A A开始开始, ,此时狐数减到最少使留下此时狐数减到最少使留下的兔更能存活的兔更能存活, ,故兔数继续上升故兔数继续上升, ,与此同时与此同时
8、, ,下的精英狐更易得食下的精英狐更易得食, ,狐数也开始上升直狐数也开始上升直到到B B点点. .从点从点B B到点到点C C, ,兔数处于最多阶段兔数处于最多阶段, ,狐狐也因食物丰盛而大量增员直到最高点也因食物丰盛而大量增员直到最高点C.C.从从点点C C到点到点D D, ,狐数处于最多阶段狐数处于最多阶段, ,兔被大量捕兔被大量捕杀而继续减员杀而继续减员, ,狐也因兔的供不应求而减狐也因兔的供不应求而减员员. .从点从点D D到点到点A,A,兔数处于最少阶段兔数处于最少阶段, ,因幸因幸存的是能逃会躲者且狐数也较少存的是能逃会躲者且狐数也较少, ,故兔数故兔数开始上升而狐数继续下降直到
9、开始上升而狐数继续下降直到A A点完成一点完成一次四阶段循环次四阶段循环. .接着再以同样方式进行新接着再以同样方式进行新一轮循环一轮循环. .形成所考察岛上的生态平衡形成所考察岛上的生态平衡. .进一步的讨论与研究进一步的讨论与研究VolteraVoltera模型的解曲线模型的解曲线L L是封闭曲线表明是封闭曲线表明x(t),y(tx(t),y(t) )都是都是t t的的周期函数周期函数, ,周期周期 T T 就是就是解曲线解曲线 L L 上任一点上任一点, ,例如例如A,A,回到原位置所回到原位置所需的最短时间需的最短时间. .借助周期函数的有关概念借助周期函数的有关概念, ,可以计算岛可
10、以计算岛上兔上兔, ,狐的狐的平均值平均值x x* *,y,y* *为为: :不难利用已知的微分方程求出兔不难利用已知的微分方程求出兔, ,狐平狐平均值的显式公式均值的显式公式: : x x* *=m/n, y=m/n, y* *=a/b. =a/b. (3.2)(3.2).)(*,)(*0101TTTTdttyydttxx思考题思考题2-52-5: : 证明证明: :兔兔, ,狐平均值的显式公式狐平均值的显式公式(3.2).(3.2).兔兔, ,狐平均值公式的应用狐平均值公式的应用我们知道我们知道: : a,ma,m 分别作为兔分别作为兔, ,狐的自然增狐的自然增长率长率, ,饿死率是容易确
11、定的饿死率是容易确定的. .如果通过观如果通过观察能求得平均数察能求得平均数 x x* *,y,y* *, ,则利用兔则利用兔, ,狐平狐平均值公式均值公式(3.2): (3.2): x x* *=m/n, y=m/n, y* *=a/b=a/b 即可进一步确定其它两个参数即可进一步确定其它两个参数n=m/xn=m/x* *, b=a/y, b=a/y* *. .有人类介入的数学模型有人类介入的数学模型现在考虑人类介入的情形现在考虑人类介入的情形. .假设假设: :岛上住有居民岛上住有居民, ,并且他们对兔并且他们对兔, ,狐都狐都进行捕杀进行捕杀, ,固定捕杀率分别为正数固定捕杀率分别为正数
12、f,g.f,g.令令x x, ,y y记人类介入情形的兔记人类介入情形的兔, ,狐数狐数, ,则它们则它们满足的数学模型是下列微分方程组满足的数学模型是下列微分方程组: :d dx x/dt/dt= =x x(a-f)-b(a-f)-by y),),d dy y/dt/dt=-=-y y(m+g)-n(m+g)-nx x), ), t t 0,0,x x(0)=(0)=x x0 0, , y y(0)=(0)=y y0 0. .人类介入导致生态平衡破坏人类介入导致生态平衡破坏由此可见由此可见, ,x x, ,y y与与x,yx,y满足类似的微分方满足类似的微分方程程( (只个别系数不同只个别系
13、数不同),),于是于是, ,由上面的结由上面的结果推出果推出, ,在人类介入情形下兔在人类介入情形下兔, ,狐狐( (平均平均) )数分别为数分别为: :x x* *=(m+g)/n =(m+g)/n m/n=x m/n=x* *; ; y y* *=(a-f)/b =(a-f)/b a/b=y a/b=y* *. . (3.3)(3.3)其生物含义是其生物含义是: :人类的持续介入不断使人类的持续介入不断使兔数增而狐数减兔数增而狐数减, ,从而破坏弧兔的自然从而破坏弧兔的自然生态平衡生态平衡, ,甚至最后导致有兔无狐甚至最后导致有兔无狐. . 思考题思考题2-62-6: : 人们对农作物施农药的效果是人们对农作物施农药的效果是: :既杀既杀了害虫也杀了害虫的天敌青蛙了害虫也杀了害虫的天敌青蛙. .试用上试用上面讨论过的理论面讨论过的理论, ,分析施农药对害虫与分析施农药对害虫与青蛙青蛙( (平均平均) )数的影响数的影响, ,并由此作出并由此作出“长长期施农药将破坏害虫与青蛙的生态平期施农药将破坏害虫与青蛙的生态平衡衡, ,导致青蛙的绝灭导致青蛙的绝灭, ,最终对农业不利最终对农业不利”的结论的结论. .