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1、2016 广东高考理数大二轮专项训练 第 1 讲空间几何体 考情解读1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算 .2.考查空间几何体的侧面展 开图及简单的组合体问题 1四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系 2空间几何体的三视图 (1)三视图的正 (主)视图、侧 (左)视图、俯视图分别是从物体的正前方、正左方、正上方看到的 物体轮廓线的正投影形成的平面图形 (2)三视图排列规则：俯视图放在正视图的下面，长度与正视图一样；侧视图放在正视图的右 面，高度和正视图一样，宽度与俯视图一样 (3)画三视图的基本要求：正俯一样长，俯侧一样宽，正侧一样高看不到
2、的线画虚线 3直观图的斜二测画法 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则： (1)原图形中x 轴、 y 轴、 z 轴两两垂直，直观图中，x轴、 y轴的夹角为45 (或 135 )， z 轴与 x轴和 y轴所在平面垂直 (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴平行于x 轴和 z 轴的线段 在直观图中保持原长度不变，平行于y 轴的线段长度在直观图中变为原来的一半 4空间几何体的两组常用公式 (1)柱体、锥体、台体的侧面积公式： S柱侧ch(c 为底面周长，h 为高 )； S锥侧 1 2ch(c 为底面周长， h为斜高 )； S台侧 1 2(cc)h (c， c 分别为上，
3、下底面的周长， h为斜高 )； S球表4 R2(R 为球的半径 ) (2)柱体、锥体和球的体积公式： V柱体Sh(S为底面面积， h 为高 )； V锥体 1 3Sh(S为底面面积， h 为高 )； V台1 3(S SS S)h(不要求记忆 )； V球4 3 R 3. 热点一三视图与直观图 例 1某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为() A. 8 3 B8 C.32 3 D16 (2)(2013四川 )一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的直观图可以是() 思维启迪(1)根据三视图确定几何体的直观图；(2)分析几何体的特征，从俯视图突破 答案(1)B(2)D 解析(1)由三视图可知
4、该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱，如图： 则该几何体的体积V1 22 248. (2)由俯视图易知答案为D. 思维升华空间几何体的三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到 的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底 面，然后根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、 面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果 (1)(2013 课标全国)一个四面体的顶点在 空间直角坐标系Oxyz 中的坐标分别是(1,0,1)，(1,1,0)， (0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图 中的正视图时，以zOx
5、 平面为投影面，则得到的正视图可以为() (2)将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为() 答案(1)A(2)D 解析(1)根据已知条件作出图形：四面体 C1A1DB，标出各个点的坐标如图 (1)所示， 可以看 出正视图为正方形，如图(2)所示故选A. (2)如图所示，点D1的投影为C1，点 D 的投影为C，点 A 的投影为 B，故选 D. 热点二几何体的表面积与体积 例 2(1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为() A.2 B2 2 C. 3 D. 2 3 (2)如图，在棱长为6 的正方体ABCDA1B1C1D1中，E， F 分别在 C1D1与 C1B
6、1上，且 C1E4， C1F3，连接 EF， FB，DE ，则几何体EFC1DBC 的体积为 () A66 B68 C70 D72 思维启迪(1)由三视图确定几何体形状；(2)对几何体进行分割 答案(1)D(2)A 解析(1)由三视图知，原几何体是两个相同的圆锥的组合，V(1 3 1 2)22 3. (2)如图，连接DF ，DC1，那么几何体EFC1DBC 被分割成三棱锥D EFC1及四棱锥DCBFC1，那么几何体EFC1DBC 的体积为V 1 3 1 2 346 1 3 1 2(3 6)66125466. 故所求几何体EFC1DBC 的体积为66. 思维升华(1)利用三视图求解几何体的表面积
7、、体积，关键是确定几何体的相关数据，掌握 应用三视图的“长对正、高平齐、宽相等”；(2)求不规则几何体的体积，常用“割补 ”的思 想 多面体 MNABCD 的底面 ABCD 为矩形， 其正视图和侧视图如图，其中正视图为等腰梯形，侧视图为等腰三角形，则该多面体的体积 是() A. 163 3 B. 86 3 3 C.16 3 D. 20 3 答案D 解析过 M，N 分别作两个垂直于底面的截面，将多面体分割成一个三棱柱和两个四棱锥， 由正视图知三棱柱底面是等腰直角三角形，面积为S1 1 2222，高为 2，所以体积为V1 4，两个四棱锥为全等四棱锥，棱锥的体积为V1 21 3212 8 3，所以多
8、面体的体积为 V 8 34 20 3 ，选 D. 热点三多面体与球 例 3如图所示，平面四边形ABCD 中， ABADCD1，BD2，BDCD，将其沿对角 线 BD 折成四面体ABCD，使平面 ABD平面 BCD，若四面体ABCD 的顶点在同一个球面上， 则该球的体积为() A. 3 2 B3 C. 2 3 D2 思维启迪要求出球的体积就要求出球的半径，需要根据已知数据和空间位置关系确定球心 的位置，由于BCD 是直角三角形，根据直角三角形的性质：斜边的中点到三角形各个顶点 的距离相等，只要再证明这个点到点A 的距离等于这个点到B，C，D 的距离即可确定球心， 进而求出球的半径，根据体积公式求
9、解即可 答案A 解析如图，取BD 的中点 E，BC 的中点 O， 连接 AE，OD，EO，AO. 由题意，知ABAD，所以 AEBD. 由于平面ABD平面 BCD，AE BD， 所以 AE平面 BCD . 因为 ABADCD1，BD2， 所以 AE 2 2 ，EO1 2. 所以 OA 3 2 . 在 RtBDC 中， OBOCOD1 2BC 3 2 ， 所以四面体ABCD 的外接球的球心为O，半径为 3 2 . 所以该球的体积V 4 3 ( 3 2 )3 3 2 .故选 A. 思维升华多面体与球接、切问题求解策略 (1)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、
10、切点) 或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系， 或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径 )与该几何体已知 量的关系，列方程(组)求解 (2)若球面上四点P，A，B，C 构成的三条线段PA，PB，PC 两两互相垂直， 且 P Aa，PBb， PCc，一般把有关元素“补形 ” 成为一个球内接长方体，则4R2 a2 b 2c2 求解 (1)(2014 湖南 )一块石材表示的几何体的三 视图如图所示将该石材切削、打磨，加工成球，则能得到的最大球的半径等于() A1 B2 C3 D4 (2)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和
11、侧视图是腰长为1 的两个全等的等腰直角三 角形，则该几何体的体积是_；若该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的表面积 是_ 答案(1)B(2) 1 3 3 解析(1)由三视图可知该几何体是一个直三棱柱，如图所示由题意知，当 打磨成的球的大圆恰好与三棱柱底面直角三角形的内切圆相同时，该球的半 径最大，故其半径r 1 2 (6810)2.因此选 B. (2)由三视图可知， 该几何体是四棱锥PABCD(如图 )，其中底面ABCD 是边长为1 的正方形， PA底面 ABCD，且 PA1， 该四棱锥的体积为V 1 31 11 1 3.又 PC 为其外接球的直 径， 2R PC3，则球的表面积为S4 R2
12、3. 1空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴 露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”多面体的表面积 就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和 2在体积计算中都离不开空间几何体的“高”这个几何量(球除外 )，因此体积计算中的关键 一环就是求出这个量在计算这个几何量时要注意多面体中的“特征图”和旋转体中的轴截 面 3一些不规则的几何体，求其体积多采用分割或补形的方法，从而转化为规则的几何体，而 补形又分为对称补形(即某些不规则的几何体，若存在对称性，则可考虑用对称的方法进行补 形)、还原补形 (
13、即还台为锥 )和联系补形 (某些空间几何体虽然也是规则几何体，不过几何量不 易求解，可根据其所具有的特征，联系其他常见几何体，作为这个规则几何体的一部分来求 解) 4长方体的外接球 (1)长、宽、高分别为a、b、c 的长方体的体对角线长等于外接球的直径，即a2b2c22R； (2)棱长为 a 的正方体的体对角线长等于外接球的直径，即3a2R. 真题感悟 1(2014 北京 )在空间直角坐标系Oxyz 中，已知 A(2,0,0)，B(2,2,0)，C(0,2,0)，D(1,1，2)若 S1，S2，S3分别是三棱锥DABC 在 xOy，yOz，zOx 坐标平面上的正投影图形的面积，则() AS1S
14、2S3BS2S1且 S2S3 CS3S1且 S3S2DS3S2且 S3S1 答案D 解析如图所示， ABC 为三棱锥在坐标平面xOy 上的正投影，所以 S1 1 2 222. 三棱锥在坐标平面yOz 上的正投影与 DEF(E，F 分别为 OA， BC 的 中点 )全等， 所以 S21 22 22. 三棱锥在坐标平面xOz 上的正投影与 DGH (G，H 分别为 AB， OC 的中点 )全等， 所以 S31 22 22. 所以 S2S3且 S1S3.故选 D. 2(2014 江苏 )设甲、乙两个圆柱的底面积分别为S1，S2，体积分别为V1，V2.若它们的侧面积 相等，且 S1 S2 9 4，则
15、V1 V2的值是 _ 答案 3 2 解析设两个圆柱的底面半径和高分别为r1，r2和 h1，h2，由 S1 S2 9 4， 得 r 2 1 r 2 2 9 4，则 r1 r2 3 2. 由圆柱的侧面积相等，得2 r1h12 r2h2， 即 r1h1r2h2，则 h1 h2 2 3， 所以 V1 V2 r21h1 r22h2 3 2. 押题精练 1把边长为2的正方形ABCD 沿对角线BD 折起，连接AC，得到三棱锥CABD，其正视 图、俯视图均为全等的等腰直角三角形(如图所示 )，则其侧视图的面积为() A. 3 2 B. 1 2 C1 D. 2 2 答案B 解析在三棱锥CABD 中，C 在平面
16、ABD 上的投影为BD 的中点 O， 正方形边长为2，AOOC1， 侧视图的面积为SAOC 1 211 1 2. 2在三棱锥ABCD 中，侧棱 AB，AC，AD 两两垂直， ABC，ACD， ABD 的面积分别为 2 2 ， 3 2 ， 6 2 ，则三棱锥ABCD 的外接球体积为() A.6 B2 6 C 3 6 D46 答案A 解析如图，以AB，AC，AD 为棱把该三棱锥扩充成长方体，则该长方体 的外接球恰为三棱锥的外接球， 三棱锥的外接球的直径是长方体的体对角线长 据题意 AB AC2， AC AD3， AB AD 6， 解得 AB2， AC1， AD3， 长方体的体对角线长为AB2AC2
17、AD 2 6， 三棱锥外接球的半径为 6 2 . 三棱锥外接球的体积为V 4 3( 6 2 )36. (推荐时间： 50 分钟 ) 一、选择题 1已知正三棱锥V ABC 的正视图和俯视图如图所示，则该三棱锥的侧视图的面积为() A2 B4 C6 D8 答案C 解析如图，作出正三棱锥VABC 的直观图，取BC 边的中点D，连接VD， AD，作 VO AD 于 O. 结合题意，可知正视图实际上就是VAD，于是三棱锥的棱长VA 4，从俯视图 中可以得到底面边长为2 3，侧视图是一个等腰三角形，此三角形的底边长为2 3，高为棱锥 的高 VO. 由于 VO42 2 32 3 3 2 22 3. 于是侧视
18、图的面积为 1 22 32 36，故选 C. 2右图是棱长为2 的正方体的表面展开图，则多面体ABCDE 的体积为 () A2 B. 2 3 C.4 3 D. 8 3 答案D 解析多面体 ABCDE 为四棱锥，利用割补法可得其体积V4 4 3 8 3，选 D. 3如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视图是平行四边形，则该几何体的体积为 () A153 3 B9 3 C306 3 D183 答案B 解析由三视图知几何体是一个底面为3 的正方形，高为3的斜四棱柱，所以VSh 3339 3. 4已知正四棱锥的底面边长为2a，其侧 (左)视图如图所示当正(主)视图的面积最大时，该 正四棱锥的表面
19、积为() A8 B882 C8 2 D48 2 答案B 解析由题意可知该正四棱锥的直观图如图所示，其主视图与左视图相 同，设棱锥的高为h，则a2 h2 4.故其主视图的面积为S 1 2 2a h ah a2h2 2 2，即当 ah2时， S最大，此时该正四棱锥的表面积 S表 (2a)24 1 22a2 8 8 2，故选 B. 5某几何体的三视图如图所示，其中正视图是腰长为2 的等腰三角形，侧视图是半径为1 的 半圆，该几何体的体积为() A. 3 3 B. 3 6 C. 3 2 D.3 答案A 解析三视图复原的几何体是圆锥沿轴截面截成两部分，然后把截面放在平面上，底面相对 接的图形，圆锥的底面
20、半径为1，母线长为2，故圆锥的高为h22 123.易知该几何体 的体积就是整个圆锥的体积，即V圆锥 1 3 r 2h1 3 1 2 3 3 3 .故选 A. 6(2014 大纲全国 )正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为2，则 该球的表面积为() A. 81 4 B 16 C9 D.27 4 答案A 解析如图，设球心为O，半径为r， 则 RtAOF 中， (4r)2(2) 2r2， 解得 r9 4， 该球的表面积为4 r 24 (9 4) 281 4 . 二、填空题 7有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯 形 (如图所示 )， ABC45 ，A
21、B AD1，DCBC，则这块菜地的面积为 _ 答案2 2 2 解析如图，在直观图中，过点A 作 AEBC，垂足为 E， 则在 RtABE 中， AB1， ABE45 ， BE 2 2 . 而四边形AECD 为矩形， AD1， EC AD1，BCBEEC 2 2 1. 由此可还原原图形如图 在 原 图 形 中 ， A D 1 ， A B 2 ， BC 2 2 1 ， 且 A D B C， AB BC， 这块菜地的面积为S 1 2(ADBC) AB 1 2 (11 2 2 )22 2 2 . 8如图，侧棱长为23的正三棱锥VABC 中，AVB BVC CVA 40 ， 过A作 截 面 AEF ，
22、则 截 面 AEF的 周 长 的 最 小 值 为 _ 答案6 解析沿着侧棱VA 把正三棱锥VABC 展开在一个平面内，如图 则 AA即为截面 AEF 周长的最小值，且AVA340 120 . 在VAA中，由余弦定理可得AA 6，故答案为6. 9如图，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，E，F 分别为线段AA1， B1C 上的点，则三棱锥D1EDF 的体积为 _ 答案 1 6 解析 111 1 3 DEDFFDD ED DE VVSABg 1 3 1 2 111 1 6. 10已知矩形ABCD 的面积为8，当矩形周长最小时，沿对角线AC 把 ACD 折起，则三棱锥 DABC 的外接球的表
23、面积等于_ 答案16 解析设矩形的两邻边长度分别为a，b，则 ab8，此时2a2b4 ab82，当且仅当a b 2 2时等号成立，此时四边形ABCD 为正方形，其中心到四个顶点的距离相等，均为2， 无论怎样折叠，其四个顶点都在一个半径为2 的球面上，这个球的表面积是4 2216 . 三、解答题 11已知某几何体的俯视图是如图所示的矩形，正视图是一个底边长为8、 高为 4 的等腰三角形，侧视图是一个底边长为6、高为 4 的等腰三角形 (1)求该几何体的体积V； (2)求该几何体的侧面积S. 解由已知可得，该几何体是一个底面为矩形，高为4，顶点在底面的投影是矩形中心的四棱 锥 EABCD . (1
24、)V 1 3(86)4 64. (2)四棱锥EABCD 的两个侧面EAD， EBC 是全等的等腰三角形，且BC 边上的高h1 42 8 2 24 2； 另两个侧面EAB，ECD 也是全等的等腰三角形，AB 边上的高h242 6 2 25. 因此 S2(1 26 4 2 1 285)40 24 2. 12如图，在 RtABC 中，ABBC4，点 E 在线段 AB 上过点 E 作 EFBC 交 AC 于点 F， 将 AEF 沿 EF 折起到 PEF 的位置 (点 A 与 P 重合 )，使得 PEB30 . (1)求证： EFPB； (2)试问：当点E 在何处时，四棱锥PEFCB 的侧面PEB 的面
25、积最大？并求此时四棱锥 P EFCB 的体积 (1)证明EFBC 且 BCAB， EFAB，即 EFBE， EFPE.又 BEPEE， EF平面 PBE，又 PB? 平面 PBE， EFPB. (2)解设 BEx，PE y，则 xy4. SPEB 1 2BE PE sinPEB 1 4xy 1 4 xy 2 21. 当且仅当xy2 时， SPEB的面积最大 此时， BEPE2. 由(1)知 EF平面 PBE， 平面 PBE平面 EFCB， 在平面 PBE 中，作 POBE 于 O，则 PO 平面 EFCB. 即 PO 为四棱锥PEFCB 的高 又 POPE sin 302 1 21. SEFCB 1 2(24)26. VPBCFE1 3 612.