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1、精品_精品资料_高中数学椭圆的经典学问总结椭圆学问点总结可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 椭圆的定义 ： 1,2x 2y 21椭圆：焦点在 x 轴上时1 a2b2c2 xacos参数方程,其中为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2y 2x 2ybsin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_参数,焦点在 y 轴上时 2a2 1 abb0 .方程Ax 2By 2C 表示椭圆的充要条件是什么？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABC 0,且 A,B,C 同号, AB.2. 椭圆的几何性质 ：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品
2、资料_21椭圆以 xa 2y1 ab2b 20 为例：范畴：axa,byb .焦点：两个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_焦点 c,0.对称性：两条对称轴x0, y0 ,一个对称中心 0,0 ,四个顶点 a,0,0,b ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2其中长轴长为 2 a ,短轴长为 2b .准线：两条准线 x2b 2a. 离心率： e cc ,椭圆0ae1 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e 越小,椭圆越圆. e 越大,椭圆越扁.通径ax2y2可
3、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 点与椭圆的位置关系 ：1点 Px , y 在椭圆外001 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00a 2b222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2点P x , y 在椭圆上x0y0 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00a 2b 2x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3点P x , y 在椭圆内001可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_00a2b 23. 直线与圆锥曲线的位置关系 ：1相交：0直线与椭圆相交.2相切：0直线与椭圆相切. 3相离：0直线与椭圆相离.可
4、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22如: 直线 y kx1=0 与椭圆 xy1 恒有公共点,就 m 的取值范畴是答： 1,5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5m5, +.4、焦半径 圆锥曲线上的点 P 到焦点 F 的距离 的运算方法 ：利用圆锥曲线的其次定义,转化到相应准线的距离,即焦半径 redaex0 ,其中 d 表示 P 到与 F 所对应的准线的距离.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如1已知椭圆x2y21上一点 P 到椭圆左焦点的距离为3,就点 P 到右准线的距离为 答：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_25162210/3.2
5、椭圆 xy1 内有一点P1,1 , F 为右焦点,在椭圆上有一点M,使MP2 MF之值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_43可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_最小,就点 M 的坐标为答： 26 ,31 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5、焦点三角形 椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形问题：Sb2tan2c | y0 |,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当| y0 |b 即P 为短轴端点时,Sm ax 的最大值为 bc.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6、弦长公式
6、 ：假设直线 ykxb 与圆锥曲线相交于两点A、B,且 x1, x2 分别为 A、B 的横坐可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_标,就 AB 1k 2xx ,假设 y , y 分别为 A、B 的纵坐标,就 AB 11yy,假设2121212k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_弦 AB 所在直线方程设为 xkyb ,就 AB 1k 2y1y2 .特殊的,焦点弦过焦点的弦 ：焦可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点弦的弦长的运算, 一般不用弦长公式运算, 而是将焦点弦转化为两条焦半径之和后, 利用其次定义求解.7、圆锥曲线的中点弦问题：遇到中点弦问题常用 “韦
7、达定理”或“点差法” 求解.在 椭圆可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22xy1 中,以P x , y 为中点的弦所在直线的斜率 k=b 2 x0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0a 2b 200a 2 y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22如1假如椭圆 xy1 弦被点 A4,2平分,那么这条弦所在的直线方程是答：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_369x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2 y80 .2已知直线 y=x+1 与椭圆221abab0 相交于 A、B 两点,且线段 AB可编辑资料 - - - 欢迎
8、下载精品_精品资料_的中点在直线 L：x2y=0 上,就此椭圆的离心率为22xy 答： 22.3试确定 m 的取值范2 132 13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_围,使得椭圆1 上有不同的两点关于直线y4 xm对称答：,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_431313特殊提示 ：由于0 是直线与圆锥曲线相交于两点的必要条件,故在求解有关弦长、对称问题时,务必别忘了检验0；可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆学问点1. 如何确定椭圆的标准方程？任何椭圆都有一个对称中心,两条对称轴.当且仅当椭圆的对称中心在坐标原点,对称轴是坐标轴,椭圆的方程才是标准
9、方程形式.此时,椭圆焦点在坐标轴上.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_确定一个椭圆的标准方程需要三个条件：两个定形条件a,b .一个定位条件焦点坐标,由焦点坐标的形式确可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定标准方程的类型.2. 椭圆标准方程中的三个量a, b, c 的几何意义可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆标准方程中,a, b, c 三个量的大小与坐标系无关,是由椭圆本身的外形大小所确定的.分别表示椭圆的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可
10、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_长半轴长、短半轴长和半焦距长,均为正数,且三个量的大小关系为：ab0 , ac0 ,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2c2 .可借助右图懂得记忆：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显：a, b,c 恰构成一个直角三角形的三条边,其中a 是斜边, b、c 为两条直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角边.3. 如何由椭圆标准方程判定焦点位置椭圆的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2焦点总在长轴上,因此已知标准方程,判定焦点位置的方法是：看的大小,哪个分母大,焦点就在哪个坐标轴上.x
11、2 ,y的 分 母可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 方程Ax 2By 2C A, B,C均不为零） 是表示椭圆的条件可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ax 2By 2x 2By 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程 Ax2By 2C 可化为1 ,即1,所以只有A、B、C 同号,且 AB 时,方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_CCCC AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_程表示椭圆.当 CAC 时,椭圆的焦点在x 轴上.当 C BAC 时,椭圆的焦点在y 轴上.B可编
12、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 求椭圆标准方程的常用方法：待定系数法：由已知条件确定焦点的位置,从而确定椭圆方程的类型,设出标准方程,再由条件确定方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中的参数a,b,c 的值.其主要步骤是“先定型,再定量”.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义法：由已知条件判定出动点的轨迹是什么图形,然后再依据定义确定方程.6. 共焦点的椭圆标准方程形式上的差异可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2共焦点, 就 c 相同.与椭圆 x2y1 a2b0 共焦点的椭圆方程可设为x2y1 mb 2 ,可编辑资料 - - -
13、欢迎下载精品_精品资料_a 2b 2此类问题常用待定系数法求解.a 2mb 2m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 判定曲线关于 x 轴、 y 轴、原点对称的依据： 假设把曲线方程中的 x 换成 x ,方程不变,就曲线关于y 轴对称.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 假设把曲线方程中的 y 换成 y ,方程不变,就曲线关于 x 轴对称. 假设把曲线方程中的 x 、 y 同时换成x 、 y ,方程不变,就曲线关于原点对称.8如何求解与焦点三角形 PF1F2P 为椭圆上的点有关的运算问题？思路分析：与焦点三角形 PF1F2 有关的运算问题时,常考虑到用椭圆的定义及
14、余弦定理或勾股可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定理、三角形面积公式S PF1 F21PF12PF2sinF1PF2相结合的方法进行运算解题.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_将有关线段PF1 、PF2 、F1 F2,有关角F1PF2 F1PF2F1BF2 结合起来,建立PF1PF2 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF1PF2 之间的关系 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9如何运算椭圆的扁圆程度与离心率的关系？长轴与短轴的长短关系打算椭圆外形的变化. 离心率 ec 0 ae1 ,由
15、于 c2a 2b 2 ,ac0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_用a、b表示为 e1b 2 0ae1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_明显：当近于圆.b 越小时,ae0e1越大,椭圆外形越扁.当b 越大, e0ae1越小,椭圆外形越趋可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_椭圆题型 1: 椭圆定义的运用x 2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1、已知F1,F2 为椭圆2591 的两个焦点,过F1的直线交椭圆于A 、B 两点假设F2A
16、F2B12,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AB .例 2、椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点动身的光线,经椭圆反射后, 反射光线经过椭圆的另一个焦点, 今有一个水平放置的椭圆形台球盘,点A 、B 是它的焦点,长轴长为2a,焦距为 2c,静放在点 A 的小球小球的半径不计,从点 A 沿直线动身,经椭圆壁反弹后第一次回到点A 时,小球经过的路程是例 3、假如方程x2ky22 表示焦点在 x 轴的椭圆,那么实数k 的取值范畴是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 4、已知P 为椭圆 xy 21 上的一点,M, N2分别为圆x 3y21和圆 x 3y24上的点
17、,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22516就 PMPN 的最小值为题型 2： 求椭圆的标准方程例 1、求满意以下各条件的椭圆的标准方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(1) 经过两点 A3, 2 、B 2 3,1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(2) 经过点 2, 3且与椭圆9x24y 236 具有共同的焦点 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3一个焦点与短轴两端点的连线相互垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离为42 4.题型 3: 求椭圆的离心率或范畴0例 1、 ABC 中,A30 , AB2,S ABC3假设以 A, B
18、 为焦点的椭圆经过点C ,就椭圆的离心率为.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2、过椭圆的一个焦点F2 作椭圆长轴的垂线交椭圆于P,假设F1PF2 为等腰直角三角形, 就椭圆的离心率为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 4: 椭圆的其他几何性质的运用范畴、对称性等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 1、已知实数x, y 满意 xy1 ,就 x2yx 的范畴为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2242可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2、已知 P 是椭圆2
19、21 上一点, abF1, F2 是椭圆的两个焦点,求PF1PF2的最大值与最小值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3、已知点A, B 是椭圆221 m mn0, n0 上两点 ,且 AOBO ,就=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4、如上图,把椭圆x2y21 的长轴 AB 分成 8 等份,过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上半部分于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2516P1, P2 , P3, P4 , P5, P6, P7 七个点,
20、F 是椭圆的一个焦点,就P1FP2FP3FP4FP5FP6FP7 F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 5：焦点三角形问题x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 1、已知F1, F2 为椭圆941 的两个焦点, p 为椭圆上的一点,已知P, F1, F2 为一个直角三角形的三个顶可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点,且PF1PF2 ,求PF1 PF2的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2、已知x2F1, F2 为椭圆 C:y
21、1 的两个焦点,在 C 上满意PF1PF2的点的个数为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_284可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 3、假设x2F1, F2 为椭圆y1 的两个焦点, p 为椭圆上的一点,当F1PF2 为钝角时,点P 横坐标的取值可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_294范畴为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 4、已知椭圆的焦点是32F10, 1,F 0,1 ,且经过点 1, 求椭圆的方程 ; 设点 P 在椭圆上 ,且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PF1PF21 ,求 cos2F1PF 2 .可编辑资料
22、 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 6: 三角代换的应用可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2例 1、椭圆y21 上的点到直线l: xy90 的距离的最小值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_169可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2例 2、椭圆y21 的内接矩形的面积的最大值为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_169可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 7：直线与椭圆的位置关系的判定2例 1、当 m 为何值时,直线 yxm与椭圆 x2y1 相交？相切？相离？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_169
23、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 2、假设直线 ykx1 kR 与椭圆1恒有公共点,求实数m 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 8：弦长问题例 3求直线 y4 x2y22 x4 被椭圆991 所截得的弦长 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2例 4、已知椭圆 x2y21 的左右焦点分别为F1,F2,假设过点 P0,-2及 F1 的直线交椭圆于 A,B 两点,求可编辑资料 -
24、 - - 欢迎下载精品_精品资料_ABF 2 的面积.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 9：中点弦问题x2例 5、求以椭圆y1 内的点 A 2,-1为中点的弦所在的直线方程.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_285可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6、中心在原点,一个焦点为F10,50 的椭圆截直线 y3x21所得弦的中点横坐标为2,求椭圆的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 7、椭圆mx2ny 21,与直线 xy1 相交于、两点,是的中点假设 AB22,可编辑资料 - -
25、- 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_斜率为22 O为原点,求椭圆的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_题型 10：椭圆与向量、解三角形的交汇问题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_例 6、设过点P x, y 的直线分别与x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴交于 A 、 B 两点,点 Q 与点 P 关于 y 轴对称,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_O为坐标原点,假设BP2 PA ,且OQ AB1 ,求 P 点的轨迹方程 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
26、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_215. 如图,在 Rt ABC 中, CAB=90 , AB=2 , AC=2.一曲线 E 过点 C,动点 P 在曲线 E 上运动,且保可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_持|PA|+|PB|的值不变,直线 l 经过 A 与曲线 E 交于 M 、N 两点.1建立适当的坐标系,求曲线E 的方程.2设直线 l 的斜率为 k,假设 MBN 为钝角,求 k 的取值范畴.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_基础稳固训练1. 如图 ,椭圆中心在原点 ,F 是左焦点 ,直线AB1 与 BF 交于 D, 且BDB1 ,就椭圆的离心率可编
27、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为2. 设 Fx2, F 为椭圆y21 的两焦点, P 在椭圆上, 当F PF 面积为 1 时, PFPF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_124的值为1212可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x23. 椭圆y1 的一条弦被A 4,2平分 ,那么这条弦所在的直线方程是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_23694. 在 ABC中,A90, tan B3假设以4A, B 为焦点的椭圆经过点C ,就该椭圆的离心率e可编辑
28、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 假设率为F1, F2 为椭圆的两个焦点 ,P 为椭圆上一点 ,假设PF1F 2 :PF2 F1 :F1PF21 : 2 : 3 , 就此椭圆的离心可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2a 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 在平面直角坐标系中,椭圆a 2b21ab0 的焦距为 2,以 O 为圆心, a 为半径的圆,过点,0 作c可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_圆的两切线相互垂直,就离心率e =综合提高训练x2y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精
29、品_精品资料_7、已知椭圆221abab0 与过点 A2 ,0 ,B0 , 1的直线 l 有且只有一个公共点T,且椭圆的离心率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_e3 求椭圆方程.2x2y22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 已知 A、 B 分别是椭圆221ab ab0 的左右两个焦点, O 为坐标原点,点P1,在椭圆上,线2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_段 PB 与 y 轴的交点 M 为线段 PB 的中点.1求椭圆的标准方程.2点 C 是椭圆上异于长轴端点的任意一点,对于 ABC ,求 sin Asin B 的值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin C9. 已知长方形 ABCD, AB=22 ,BC=1. 以 AB 的中点 O为原点建立如图 8 所示的平面直角坐标系xoy. 求以 A 、B 为焦点,且过C、D 两点的椭圆的标准方程; 过点 P0,2的直线 l 交 中椭圆于 M,N 两点,是否存在直线 l ,使得以弦 MN 为直径的圆恰好过原点 .假设存在 ,y求出直线 l 的方程 ;假设不存在 ,说明理由 .DCAOBx图 8可编辑资料 - - - 欢迎下载