《2022年高中数学竞赛模拟试题一汇总 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中数学竞赛模拟试题一汇总 .docx（22页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_高中数学竞赛模拟试题一一 试考试时间： 80 分钟 总分值 100分y一、填空题共 8 小题, 8756 分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、已知 , 点 x, y 在直线 x2 y3 上移动 , 当 2 x4 取最小值时 , 点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x, y 与原点的距离是.2、设 f n 为正整数 n十进制的各数位上的数字的平方之和,比方可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f12312223214 .记f1 nf n ,f k1nf f k n ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_k1,2,3. ,就 f
2、 2022 2022.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 、 如 图 , 正 方 体是.ABCDA1B1C1D1中 , 二 面 角 ABD1A1的 度 数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、在1,2,2022中随机选取三个数,能构成递增等差数列的概率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5 、 假 设 正 数a, b, c 满 足 abcbc, 就acabb的 最 大 值ac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是.6、在平面直角坐标系 xoy
3、 中,给定两点M 1,2 和N 1,4 ,点 P 在 X 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上移动,当MPN 取最大值时,点P 的横坐标是.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、已知数列a0, a1, a2 ,.,an ., 满意关系式3an16an 18 且 a03 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1i0 ai的值是.8、函数 f xsin xcos xsin xtan xtan x cos x.cot xtan xsin xcos xcos xcot xtan xsin xcot xcot x 在 xo,2的最小值为二、解答题共3 题,
4、14151544分 9、设数列 an 满意条件：a11, a22 ,且 an2an 1an n1, 2, 3,求证：对于任何正整数n,都有：na1n 11nan 时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10、已知曲线M : x2y 2m , x0 , m为正常数直线 l 与曲线 M 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_实轴不垂直,且依次交直线yx 、曲线 M 、直线 yx 于 A 、 B 、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C 、 D 4 个点, O 为坐标原点
5、.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1假设| AB | BC | CD| ,求证： AOD 的面积为定值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2假设 BOC 的面积等于AOD 面积的1 ,求证：3| AB | BC | CD |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11、已知、是方程 4x24tx10tR 的两个不等实根,函数f x2xx21t 的定义域为, .求gt max f xmin f x;证明：对于ui0, i1,2,3 ,假设 sin u12sinu2sinu3就1g tan u1 1gtan u2
6、 1g tan u3 346 .1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二试考试时间： 150分钟总分： 200分一、此题 50 分如图,O1 和 O2P与 ABC 的三边所在的三条直线都相切, E, F , G, H 为切点,并且EG 、GHFH 的延长线交于P 点.O1.A.O2求证：直线 PA 与 BC 垂直.EBCF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、此题 50 分正实数 x, y, z ,满意 xyz1 .证明：x5x 2y 5y 2z5z2x 5y 2z2y 5z2x 2z5x 2y 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三 、 此 题 5
7、0分 对 每 个 正 整 数 n, 定 义 函 数0（当 n为平方数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f n1（当 n不为平方数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n240可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中 x 表示不超过 x 的最大整数, 值. xx x.试求：k 1f k 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_四、此题 50 分在世界杯足球赛前,F 国的教练员为了考察A1, A2, A3, A4 , A5, A6 , A7 这七名队员,预备让他们在三场训练竞赛每场竞赛 90 分钟 中都上场,假设在竞赛的任何时刻,这些队员都有且只有
8、一人在场上,并且A1, A2, A3 , A4 每人上场的总时间 以分钟为单位 均被 7 整除, A5 , A6, A7 每人上场的总时间以分钟为单位 均被13整除 假如每场换人的次数不限,那么, 按每名队员上场的总时间计,共有多少种不同的情形？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_答案与解析一、填空题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1、 35 . 2 x4 y2 2x 2 y42 . x3 , y3 时取最小值 , 此时可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4x2y 224= 35 .4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -
9、 欢迎下载精品_精品资料_2、4.解： 将f 20225 记做20225 ,于是有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20225252985891454220416375889可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从 89 开头, f n 是周期为 8 的周期数列.故可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f 2022 2022 f 2022 89f5 2508 89f 5 89 4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、60 .解：连结D1C , 作
10、CEBD1,垂足为 E ,延长 CE 交A1B 于 F ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 FEBD1 ,连结 AE ,由对称性知AEBD1,FEA 是二面角D1C1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ABD1A1的平面角.A1B1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_连结 AC ,设 AB1,就ACAD12, BD3.F1E可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在Rt ABD1 中, AEAB AD1
11、2 ,CDBD13AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2422222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在 AEC中,cosAECAECEAC 2 AE CE2 AEAC3122 AE423可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AEC1200 , 而FEA是AEC的补角,FEA600 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4、 3.解：三个数成递增等差数列,设为4018a, ad , a2 d ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_按题意必需满意1,2,20222d .a2d2022,d1004. 对于给定的d, a 可以取可编辑资
12、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bxyzt1171ac2 z224可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1004故三数成递增等差数列的个数为 20222d 1005 * 1004 .d 1三数成递增等差数列的概率为1005 * 10043C34018.20225、1741 .解：由条件,有bcaacabb,c令 abx,bcy,ca就 axz2y , bxy2z.z , cyzx ,2从而原条件可化为：xyzyzzxxy1zxzy14zxy1,令 xyzt , 就t4t1 ,解得 t117或t2117 ,2故6、1. 解：经过M , N 两点的圆的圆心在线段MN 的垂直平分线
13、y3x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上,设圆心为Sa,3a ,就圆 S 的方程为：xa2 y3a221a2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对于定长的弦在优弧上所对的圆周角会随着圆的半径减小而角度增大,所以,当MPN 取最大值时,经过 M , N , P 三点的圆 S必与 x 轴相切于点 P ,即圆 S 的方程中的 a 值必需满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21a2a32, 解得a1或 a7 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即对
14、应的切点分别为P1,0 和P 7,0,而过点M , N , P 的圆的半可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_径大于过点M , N , P 的圆的半径,所以MPNMP N ,故点P1,0 为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所求,所以点 P 的横坐标为 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7、 1 2 n 2n33 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：设 bn1 ,n an0,1,2,.,就31
15、bn 161 18,bn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n即 3b16b10.b1nn1nn2b, b111n2b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故数列 bn3331 是公比为 2 的等比数列,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0bn12n b1 2 n 1112 n 1b1 2 n 11 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n33a0333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n1nn1i 1122n 111n 2可编辑资料
16、- - - 欢迎下载精品_精品资料_bi21n12n3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i o aii 0i 0 332138、 4. 解：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f xsin xcosx1sinxtanx1cosxcotxtanxcotx1cosxtanx1sinxcotx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin xcos x sin xtan4xcos xcot xtan xcot x sin xtan4xcos xcot x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由调和平均值不
17、等式4要使上式等号成立,当且仅当可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin x tan xtan x cosxcosx cot xcot x sin x1 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 1） 2得到sin xcos xcosxsin x ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_即得 sinxcos x .由于 x0,2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以当 x4 时,f xf 44 .所
18、以minf x4 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、解答题9、证明：令a01 , 就有ak 1akak1 ,且1akak 1ak 1 kak 11, 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是 nnakk 1 ak 1n ak 1 k 1 ak 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由算术 - 几何平均值不等式,可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1n a1a2 a2a3an+ n a0a1 an 1a2a3an 1an 1可编辑资料 -
19、 - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意到a0a11,可知可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11n an 1n an 111,即n an an 1A1yBn anBP可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_OCxAQCD可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10、解：1设直线 l ： ykxb 代入 x 2y2m 得：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1k2 x22bkxb2m0 ,0 得： b2m1k 2
20、0 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 B x1 , y1 , C x2 , y2 ,就有 x1x22bk,1k 2x1x2b 2m1k 2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 A x3, y3 , D x4, y4 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_易得： x3b, xb ,41k1k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_由| AB | BC | CD| 得| BC |1 | AD | ,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故| x1x2 |1| x33x4 | ,可编辑
21、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_代入得 2bk 24b2m1 |2b|,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_整理得：1k 2b 219 mk 28k 21 ,3 1k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又| OA |2 |b1k| , | OD |2 |b| ,1kAOD90,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_S AODb2|1k 29 m 为定值 .|8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2设 BC 中点为 P , AD 中点为 Q可
22、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 xpx1x2 2bk1k 2, xQx3x42bk,1k 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 x PxQ, P 、 Q 重合,从而| AP | DP | ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 |AB | CD|,又 BOC 的面积等于可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AOD 面积的1 ,所以3| BC |1 | AD | ,3可编辑资料 - - - 欢
23、迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_从而 |AB | BC | CD |.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11、解：设xx,就4x24tx10, 4x24tx10,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1211224 x2x24t xx 20,2 x xt xx 1012121 2122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_212222就 f x f x 2x2t2x1t x2x1t x1x22x1x22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x21x11 x21x11
24、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又t xx 2 x x2t xx 2 x x10f x f x 0121 2121 2212故 f x 在区间,上是增函数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t,1 ,4 t 22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_gt max f xminf xf f 22221可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t 21 t 2528 t 212t 25可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t22516t 22516可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
25、证：8cosu2cos2 u316cosu24cos ui可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_gtan ui iii916169cos 2 u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_iicos2 u可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 1624166i1,2,3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_169cos2 u169cos2 uii31132132可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_169cos ui 16 3939sinui 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 1 gtan ui 16 6 i 1166i 1iii
26、i333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_sin u1,且u0, i1,2,33sin 2 usin u 21 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_i 12i 1i 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而均值不等式与柯西不等式中,等号不能同时成立,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1111759136可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_g tan u 1g tan u2g tan u316634可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二 试一、证明：延长 PA 交 EF 于 D ,就 PEG 和 PHF 分别是ACD
27、与 ABD 的截线,由梅涅劳斯定理得：DECGAPECGAPDBFDPAHFDPAHB11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_O1,O2 都是 ABC 的旁切圆,P可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ECCG1BCCAAB2BFHFGH可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_于是由、得：O1AO2DE = GA FDAH可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 Rt AGO1Rt AHO2EBDCF可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_DE FD=
28、 GA =AHAO1 AO2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_而 O1, A,O2 三点共线,且O1EEF ,O2FEF ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PABC可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二、证明：原不等式可变形为x2x 5x5y2z2y2y5y5z2x 2z2z5z5x2y20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2即x5y 2z2y2z2x2y2z2y5z2x2x2y2z2z5x2y23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
29、料_由柯西不等式以及xyz1 可得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ x5y2z2 yzy2z2 x2xyzy2z2 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2y2z2522即xyz x2y222yzy2xyz2 2 ,2z2 z可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22222xyzzxzx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_同理上面三式相加并利用y5z2x2222xyzxy z5x2y 2x2x2y2z2xyx2y 2z222xyy2z2yzzx得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x
30、2y2z2x5y2z2x2y2z2y5z2x2x2y2z2z5x2y2xy2x2yzzxy2z23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三、解：对任意a, kN * ,假设 k 2ak1 2 ,就 1ak 22k ,设可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ak,01,就 111aakakak22kak 22kak 21,1a2k ak 2 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_让 a跑遍区间k 2 , k1) 2 中的全部整数,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就 1 2 k2k,可编辑资料