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1、精品_精品资料_第一章计数原理1.1 分类加法计数与分步乘法计数分类加法计数原理： 完成一件事有两类不同方案,在第 1 类方案中有 m 种不同的方法,在第 2 类方案中有 n 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m+n 种不同的方法. 分类要做到“不重不漏” .分步乘法计数原理： 完成一件事需要两个步骤.做第 1 步有 m 种不同的方法, 做第 2 步有 n 种不同的方法, 那么完成这件事共有 N=mn 种不同的方法. 分步要做到“步骤完整”.n 元集合 A=a1, a2. ,an的不同子集有 2n 个.1.2 排列与组合1.2.1 排列一般的,从 n 个不同元素中取出 mmn个元素,依据肯
2、定的次序排成一列, 叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 排列arrangement .n从 n 个不同元素中取出 mmn个元素的全部不同排列的个数叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的 排列数,用符号 Am 表示.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_排列数公式：Am =n.= n n - 1 n -2 . n -m + 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n n -m.n 个元素的全排列数nAn = n.规定： 0.=11.2.2 组合一般的,从 n 个不同元素中取出 mmn个元素合成一组,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个 组合combin
3、ation .从 n 个不同元素中取出 mmn个元素的全部不同组合的个数,叫做从n 个不同元素中取出 m 个元素的 组合数,用符号 Cm 或 n 表示.nm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_组合数公式： Am = Cm .Am可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnm可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nCm =mn.AA=nmmm. n -m. =nn -1 n - 2 . n -m + 1m.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.规定： .= .组合数的性质：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Cm= Cn-mnn“构建组合意义
4、”“殊途同归”Cmn+1= Cmn+ Cm-1n（杨辉三角）kCkn= nCk-1n-1* Ck Cm-knn-k= Cm Cknm1.3 二项式定理1.3.1 二项式定理 binomial theorema + b n= C0 an + C1 an-1nnb + . + Ck an-k bk + . + Cn bnnnn N*其中各项的系数 Cknk0,1,2, . ,n叫做二项式系数 binomial coefficient .式中的Ck an-knbk 叫做二项绽开式的通项 ,用 Tk+1 表示通项绽开式的第 k+1 项：Tk+1= Ck an-kbkn* 留意二项绽开式某一项的系数与这
5、一项的二项式系数是两个不同的概念.1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质* 表现形式的变化有时能帮忙我们发觉某些规律；1 对称性2 当 n 是偶数时,共有奇数项,中间的一项C2n +1n取得最大值.n-1n+1当 n 是奇数时,共有偶数项,中间的两项 Cn2 ,C2 同时取得最大值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n(3) 各二项式系数的和为2n = C0 + C1 + C2 + . + Ck + . + Cnnnnnn(4) 二项式绽开式中, 奇数项二项式系数之和等于偶数项二项式系数之和：C0 + C2 + C4 + . = C1 + C3 + C5 + .nnnnnn可编
6、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_(5) 一般的,Cr + Cr+ Cr+ . + Cr= Cr+1n .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_rr+1r+2n-1n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其次章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布2.1.1 离散型随机变量随着试验结果变化而变化的变量称为 随机变量 random variable .随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映为实数,函数 把实数映为实数. 试验结果的范畴相当于函数的定义域,随机变量的取值范畴相当于函数的值域.全部取值可以一一列出的随机变量,称为离散型随机变量 d
7、iscrete randomvariable.概率分布列 probability distribution series ,简称为 分布列 distribution series .Xx1x2.xi.xnPp1p2.pi.pn也可用等式表示：PX = xi = pi ,i = 1,2, . ,n 依据概率的性质,离散型随机变量的分布列具有如下性质：1 pi0,i=1,2,. , n.2 npi = 1i=1随机变量 X 的均值mean或数学期望 mathematical expectation ：E X = x1 p1 + x2p2 + . + xi pi + . xn pn它反映了离散型随机
8、变量取值的平均水平.随机变量 X 的方差variance刻画了随机变量 X 与其均值 EX的平均偏离程度nD X = x i -EX 2 pii=1其算术平方根 DX 为随机变量 X 的标准差 standard deviation .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_E aX + b = aE X + b D aX + b = a2 D X如随机变量 X 的分 布具 有下 表的形 式,就称 X 听从 两点分布 two-point distribution ,并称 p=PX=1为胜利概率. 两点分布又称 0-1 分布.由于只有两个可能结果的随机试验叫 伯努利试验 ,所以两点分布又叫
9、 伯努利分布 X01P1-pp如 X 听从两点分布,就 EX = p,DX = p1-p一般的,在含有 M 件次品的 N 件产品中,任取 n 件,其中恰有 X 件次品,就Ck Cn-k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_. .= k =MN-MCn N,k=0,1,2,. , m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_X01.m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C0 Cn-0C1 Cn-1Cm Cn-m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_PMN-MCn NMN-MCn NMN-MCn N可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.其中 m=m
10、inM ,n ,且 nN, MN, n, M,NN*假如随机变量 X的分布列具有上表的形式, 就称随机变量 X 听从超几何分布hypergeometric distribution .2.2 二项分布及其应用2.2.1 条件概率一般的,设 A,B 为两个大事,且 PA0,称PAB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P B|A =PA可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_为在大事 A 发生的条件下,大事 B 发生的条件概率 conditional probability .假如 B 和 C是两个互斥大事 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P B C|A =
11、 P B|A + PC|A2.2.2 大事的相互独立性设 A,B 为两个大事,如PAB = PAPB就称大事 A 与大事 B 相互独立 mutually independent .可以证明,假如大事 A 与 B 相互独立,那么 A 与. ,. 与 B,. 与.也都相互独立.2.2.3 独立重复试验与二项分布一般的,在相同条件下重复做的 n 次试验称为 n 次独立重复试验 independent and repeated trials .P A1A2 . An = PA1 PA2 . PAn 其中 Ai i=1 , 2, . ,n 是第 i 次试验的结果.一般的,在 n 次独立重复试验中,用 X
12、 表示大事 A 发生的次数,设每次试验中大事 A 发生的概率为 p,就nP X = k = Ck pk 1 -p n-k, k = 0,1, 2, . , n此时称随机变量 X 听从二项分布 binomial distribution ,记作XBn , p ,并称 p为胜利概率.如XBn , p,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnE X = kCk pk qn-kk=0nn-1= npCk-1pk-1qn-1-k-1 k=1n-1n-1= np Ckpk qn-1-kk=0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_= npp + q n-1= npDX = np1 -
13、p* 随机变量的均值是常数,而样本的平均值是随着样本的不同而变化的,因此样本的平均值是随机变量.随机变量的方差是常数, 而样本的方差是随着样本的不同而变化的, 因此样本的方差是随机变量.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2.4正态分布一般的,假如对于任何实数 a, b ab,随机变量 X 满意可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_, x =1- x- 2e22, x （ -, + ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 bP a 0 , +a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_P -a .+ . = , x dx -a该面积随着 的削减而变大.
14、这说明 越小, X 落在区间 -a,+ a 的概率越大,即 X 集中在 四周概率越大.特殊有P - . .+ = 0.6826P -2 . .+ 2 = 0.9544P -3 . .+ 3 = 0.9974可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_在实际 应用 中,通 常认 为 听从于 正态分布 N, 2 的 随机变 量 X 只取 - 3 R2 ,就模型 1 比模型 2 拟合成效更好.如 R2 w 0 时,就判定“ X 和 Y有关系” .否就,判定“ X和 Y没有关系”.这里 w0 为正实数,且满意在“ X 和 Y没有关系”的前提下P W 2 w 0 = 0.01可编辑资料 - - - 欢迎下载