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1、精品_精品资料_高 一 数学 知 识 点 总 结第一章 集合与函数概念一、集合有关概念集合的中元素的三个特性：1 元素的确定性互异性无序性1 集合的表示方法：列举法与描述法.留意：常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N正整数集N* 或 N+整数集 Z有理数集 Q实数集 R二、集合间的基本关系1.“包含”关系子集留意： AB 有两种可能（ 1 ）A 是 B 的一部分,.（2 ）A与 B 是同一集合.反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 AB 或 BA2“相等”关系： A=B5 5 ,且 5 5 ,就 5=5即： 任何一个集合是它本身的子集. AA真子
2、集 :假如 AB,且 AB 那就说集合 A 是集合 B 的真子集,记作 AB或 BA假如 AB, BC ,那么 AC 假如 AB同时 BA 那么 A=B3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.有 n 个元素的集合,含有 2n 个子集, 2n-1 个真子集二、函数的有关概念1函数的概念：设 A、B 是非空的数集,假如根据某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在集合 B 中都有唯独确定的数 fx 和它对应, 那么就称 f ：A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作
3、： y=fx ,xA其中, x 叫做自变量, x 的取值范畴 A 叫做函数的定义域. 与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值, 函数值的集合fx| x A 叫做函数的值域留意：1. 定义域：能使函数式有意义的实数x 的集合称为函数的定义域.和函数值的字母无关） .定义域一样相同函数的判定方法：表达式相同（与表示自变量两点必需同时具备2. 值域 : 先考虑其定义域5映射对于映射 f：AB 来说,就应满意：(1) 集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯独的.(2) 集合 A 中不同的元素,在集合B 中对应的象可以是同一个.(3) 不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有
4、原象.二函数的性质1.函数的单调性 局部性质 （1） ）增减函数留意：函数的单调性是函数的局部性质.（2） ） 图象的特点假如函数 y=fx 在某个区间是增函数或减函数, 那么说函数 y=fx 在这一区间上具有 严格的单调性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的 .3. 函数单调区间与单调性的判定方法C复合函数的单调性复合函数 f gx 的单调性与构成它的函数u=gx ,y=fu 的单调性亲密相关,其规律： “同增异减”可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：函数的单调区间只能是其定义域的子区间,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.8函数的
5、奇偶性（整体性质）9、函数的解析表达式函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的对应法就,二是要求出函数的定义域 .10 函数最大（小）值其次章 基本初等函数一、指数函数负数没有偶次方根. 0 的任何次方根都是 0,记作 n 0当 n是 奇 数 时nna0 ., 当 n是 偶 数 时 ,nan| a |aaaa,00a2分数指数幂正数的分数指数幂的意义,规定：ma nna m a1man0, m, nN * , n1,amn1n ama0,m, nN*, n10 的正分数指数幂等于 0, 0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1 ） a a
6、rrr sa a0, r, sR .（2 ） a rsarsa0,r , sR .rrs（3 ） aba aa0, r , sR （二）指数函数及其性质留意：指数函数的底数的取值范畴, 底数不能是负数、零和 1 指数函数的图象和性质a10a10a1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_32.521.51 132.521.51 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0.50-1-0 .5-1-1 .5-2-2 .51234567810.50-1-0 .5-1-1 .5-2-2 .5123456781可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域 x 0定义域 x0值
7、域为 R值域为 R在 R 上递增在 R 上递减函数图象都可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_过定点（ 1, 0）函数 图象 都过 定点（ 1 , 0）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（三）幂函数1、幂函数定义：一般的,形如 y幂函数,其中为常数2、幂函数性质归纳x aR) 的函数称为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ）全部的幂函数在（ 0, + ）都有定义并且图象都过点（ 1 ,1 ）.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ）0 时,幂函数的图象通过原点, 并且在区间 0,可编辑
8、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上是增函数特殊的,当1时,幂函数的图象下凸.当 01时,幂函数的图象上凸.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） ）0 时,幂函数的图象在区间0, 上是减函数在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_第一象限内,当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限的靠近 y 轴正半轴,当 x 趋于 时,图象在 x 轴上方无限的靠近 x 轴正半轴第三章 函数的应用一、方程的根与函数的零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 、函数零点的概念：对于函数yf x xD ,把使可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可
9、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 成立的实数 x 叫做函数 yf x xD 的零点.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 、函数零点的意义 ：函数 yf x的零点就是方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_f x0 实数根,亦即函数 yf x 的图象与 x 轴交点的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_横坐标.即：方程f x0 有实数根函数 yf x 的图象与 x 轴可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_有交点函数 yf x 有零点
10、可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3、函数零点的求法：1 （代数法）求方程f x0 的实数根.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 （几何法） 对于不能用求根公式的方程, 可以将它与函数 yf x 的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点4、二次函数的零点：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_二次函数 yax 2bxca0 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1 ）,方程ax 2bxc0 有两不等实根,二次函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2数的图象与 x 轴有两个交点,二次函数有两个零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
11、_精品资料_（2 ）,方程axbxc0 有两相等实根,二次函可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_数的图象与 x 轴有一个交点,二次函数有一个二重零点或二阶零点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 3）, 方程ax 2bxc0 无实根, 二次函数的图象与x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_轴无交点,二次函数无零点高中数学必修二复习基本概念公理 1：假如一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上的全部的点都在这个平面内.公理 2：假如两个平面有一个公共点,那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.公理 3： 过不在同一条直线上的三个点,有且只有一个平面.推
12、论 1: 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_推论 2：经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论 3：经过两条平行直线,有且只有一个平面.公理 4 ：平行于同一条直线的两条直线相互平行.等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角相等.空间两直线的位置关系：空间两条直线只有三种位置关系：平行、相交、异面异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交. 异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线,与平面内不经过该点的直线是异面直线.直线和平面的位置关系：直线和平面只有三种位置关系：
13、在平面内、与平面相交、与平面平行直线在平面内有很多个公共点直线和平面相交有且只有一个公共点直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角. 三垂线定理及逆定理 : 假如平面内的一条直线 ,与这个平面的一条斜线的射影垂直,那么它也与这条斜线垂直.直线和平面垂直直线与平面垂直的判定定理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线垂直于这个平面.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_直线与平面垂直的性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行.直线和平面平行没有公共点直线和平面平行的判定定理：假如平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行,那
14、么这条直线和这个平面平行.直线和平面平行的性质定理：假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个平面相交,那么这条直线和交线平行.两个平面的位置关系：a、平行两个平面平行的判定定理：假如一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行.两个平面平行的性质定理：假如两个平行平面同时和第三个平面相交,那么交线平行.b、相交两平面垂直两平面垂直的定义：两平面相交,假如所成的角是直二面角, 就说这两个平面相互垂直.记为两平面垂直的判定定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂直两个平面垂直的性质定理：假如两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直
15、于另一个平面.直线与方程（1 ）直线的斜率可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义：倾斜角不是 90 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率.直可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_线的斜率常用 k 表示.即 ktan.斜率反映直线与轴的倾斜程度.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当0 ,90时, k0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当90,180时, k0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当90 时, k 不存在.（3） ）直线方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点斜式： yy1k xx1 直线斜率 k
16、,且过点x1, y1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：当直线的斜率为0 时,k=0 ,直线的方程是 y= y1 .当直线的斜率为 90 时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示但因l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x= x1.斜截式： ykxb ,直线斜率为 k,直线在 y 轴上的截距为 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两点式：yy1xx1（ xx , yy ）直线两点x , y , x , y可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y2y1x2x112121122可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_截矩式： xy
17、1ab可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_其中直线 l 与 x 轴交于点 a,0为a,b .,与 y 轴交于点 0,b ,即 l 与 x 轴、 y 轴的截距分别可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般式： AxByC0 （ A, B 不全为 0 ）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：1各式的适用范畴2特殊的方程如：平行于 x 轴的直线： y平行于 y 轴的直线： x（4） ）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（5） ）两直线平行与垂直b （b 为常数）.a （a 为常数）.可编辑资料 - - - 欢迎下
18、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 l1 : yk1 xb1 , l 2 : yk 2 xb2 时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l1 / l 2k1k 2, b1b2 . l1l 2k1k 21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_留意：利用斜率判定直线的平行与垂直时,要留意斜率的存在与否.（6） ）两条直线的交点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_l1 : A1 xB1 yC10l 2 : A2 xB2 yC20 相交可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_交点
19、坐标即方程组A1x A2 xB1 yC1B2 yC20 的一组解.0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_方程组无解l1 / l 2.方程组有很多解l1 与l 2 重合可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22（7） ）两点间距离公式：设 A x1, y1 ,（B x2, y2）是平面直角坐标系中的两个点,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_就| AB | x2x1 y2y1 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ 8 ）点到直线距离公式：一点P x0 , y0到直线l 1 : AxByC0 的距离可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Ax
20、0dBy0C22AB可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（9 ）两平行直线距离公式2在任始终线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解.圆的方程可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（1） ）标准方程 xa2ybr,圆心a, b,半径为 r.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） ）一般方程x2y 2DxEyF0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 D 2E 24F0 时 , 方 程 表 示 圆 , 此 时 圆 心 为D ,E, 半 径 为22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_r1D 22E 24F可编辑资料 - - - 欢
21、迎下载精品_精品资料_（3） ）求圆方程的方法：一般都采纳待定系数法：先设后求.确定一个圆需要三个独立条件,如利用圆的标准方程,需求出 a,b,r.如利用一般方程,需要求出 D, E, F.另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置.直线与圆的位置关系22直线与圆的位置关系有相离,相切,相交三种情形：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） ）设直线l : AxByC0 ,圆C : xaybr 2 ,圆心 Ca,b到 l 的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_距 离 为 dAaBbC22AB, 就 有 drl与C相离 . drl与C相切
22、 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_drl与C相交（2） ）过圆外一点的切线： k 不存在, 验证是否成立 k 存在,设点斜式方程,用圆心到该直线距离 = 半径,求解 k,得到方程【肯定两解】3 过圆上一点的切线方程：圆 x-a 2+y-b 2 =r 2 ,圆上一点为 x0, y0 ,就过此点的切线方程为 x 0-ax-a+y0-by-b= r2圆与圆的位置关系2222通过两圆半径的和（差） ,与圆心距（ d）之间的大小比较来确定.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_222设圆C1 : xa1yb1r 2 , C:xayb2R可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精
23、品资料_两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差） ,与圆心距（ d）之间的大小比较来确定.当dRr 时两圆外离,此时有公切线四条.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当dRr 时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 RrdRr时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当dRr 时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当dRr 时,两圆内含.当d0 时,为同心圆.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
24、留意：已知圆上两点,圆心必在中垂线上.已知两圆相切,两圆心与切点共线圆的帮助线一般为连圆心与切线或者连圆心与弦中点基本三角函数诱导公式终边相同的角的三角函数值相等Sin2 kSin,kzCostan2 k2 kCostan,kkzz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.角 与角关于 x轴对称Sin Cos tanSin Costan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角与角关于y轴对称Sin Cos tanSinCos tan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角与角关于原点对称Sin Cos tanSin C
25、ostan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_角与角2关于yx对称Sin2Cos2tan2CosSin cotSin2Cos2tan2CosSin cot可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_上述的诱导公式记忆口诀： “奇变偶不变,符号看象限” 三角函数的性质可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_性 质ySin xyCos x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义域RR可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_值 域1,11,1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_周期性22奇偶性奇函
26、数偶函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_单调性, kz, 增函数2k,2k,kz,增函数2k,2k, kz,减函数, kz,减函数2k,2k2232k,2k22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_对 称 中心对称轴k,0xk, kz, kz2k, 0, kz 2xk, kz可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5图4534y32y21可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_像-8-2 -6-3 /2 -4-2-/21O/22-1-2-3-4-5-63 /2 46 2x-88-2 -6-3 /2 -4-2-/2O/2 2-1-2-3-4-54 3 /
27、2x6 2 8可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面对量共线定理：一般的,对于两个向量a, a0 , b, 假如有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一个实数, 使得ba, a0 ,就b与a是共线向量.反之假如b与a是共线向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_那么又且只有一个实数,使得ba.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_向量的一个定理的类似推广 向量共线定理：baa0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_平面对量基本定理：a1 e1
28、2 e2 ,其中 e1 , e2为该平面内的两个不共线的向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 e12 e23 e3 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_空间向量基本定理：其中 e1, e2, e3为该空间内的三个可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_不共面的向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_一般的,设向量 ax1 ,y1 , bx2, y2 且a0, 假如a b那么x1y2x2 y10可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_反过来
29、,假如x1y2x2 y10,就a b .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 一般的,对于两个非零向量a,b有a . ba b Cos,其中为两向量可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2222的夹角.Cosa . bx1x 2y1 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a bx1y1x2y 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的,2a . aa2a或者 aa . a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载
30、精品_精品资料_假如 ax1, y1, bx2 , y 2且a0 , 就a . bx1x2y1 y2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特殊的 , abx1x2y1 y20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_两角的和与差公式：三角公式以及恒等变换Cos CosCos CosCos CosSin SinSin Sin可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SinSin CosCosSintantan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_SinSin CosCosSin,tan1 tantan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_tantantan可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_.二倍角公式：