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1、第四章 换面法,第一节 概述,第二节 投影变换,第一节 概述,特殊位置的直线：,可直接反映实长、倾角问题,特殊位置的平面：,可直接反映实形、倾角问题,正平面,正垂面,特殊位置的几何元素：,可直接反映度量、定位问题,距离,m,m,点到直线的距离,一、基本概念,改变空间几何元素与投影面的相对位置，使它们相互之间处于某一特殊位置的情况，从而使问题简化、得到解决投影变换。,二、投影变换的方法,辅助投影面法（换面法） 2. 旋转法,第二节 变换投影面,一、 概念：,换面法：空间几何元素不动，改变投影面的位置使其有利于解题。,二、基本条件,讲解：点 线 面,a1,H,V1,ax1,三、基本原理,1. 点的
2、一次变换：, 变换规律： 1). 点的新投影到新轴之距=旧投影到原轴之距； 2). 点的新投影与被保留投影的连线新轴O1X1。,ax1,a1,点在V/H1体系中的投影,更换H面,求新投影的作图方法,V,H,X,由点的不变投影向新投影轴作垂线，并在垂线上量取一段距离，使这段距离等于被代替的投影到原投影轴的距离。,a,a,ax,ax1,ax1,更换V面,作图规律：,点的两次变换,新投影体系的建立,按次序更换,A,a,V,H,a,ax,X,点的两次变换,1、把一般位置直线变换成投影面的平行线,b1,a1,四、基本作图,2.把投影面的平行线变换成投影面的垂直线,a1 (b1),a1 (b1),3. 把
3、一般位置直线变换成投影面垂直线,3. 把一般位置直线变换成投影面垂直线,空间分析：,a,b,a,b,X,V,H,作图：,二次换面把投影面平行线变成投影面垂直线。,X2轴的位置？,与a1b1垂直,一次换面把直线变成投影面平行线；,把一般位置直线变为投影面垂直线,一般位置直线变换成投影面垂直线，需经几次变换？,如果把平面内的一条直线变换成新投影面的垂直线，那么该平面则变换成新投影面的垂直面。,空间分析：,在平面内取一条投影面平行线，经一次换面后变换成新投影面的垂直线，则该平面变成新投影面的垂直面。,作图方法：,能否只进行一次变换？,思考： 若变换H面，需在面内取什么位置直线？,正平线！,4.把一般
4、位置平面变换成投影面的垂直面,把一般位置平面变换成投影面的垂直面,d,d,a1,b1,d1(c1),把一般位置平面变换成投影面的垂直面,c,5.把投影面的垂直面变换成投影面的平行面,把投影面的垂直面变换成投影面的平行面,a1,b1,c1,6.把一般位置平面变换成投影面的平行面,V1,H2,a2,b2,c2,k1,b1,a1,k2,a2(b2),(t2),t1,t,t,求K点到直线AB之 距及两面投影。,例题1：,求具有公共边BC的ABC 和BCD的夹角。,例题2：,C,D,S,T,B,b2,t2,a2,C2(s2) (d2),H2,V,H,X,O,b,d,a,c,c,d,a,b,V1,X1,H
5、,O1,b1,a1,c1,d1,k1,g1,k,g,O2,X2,H2,V1,a2,b2,g,k,g2,距离,例3： 求交叉两直线AB和CD间的距离。,b,例题4： 求两直线AB与CD的公垂线 。,题5： 如何求两直线AB与CD间的距离？,V,提示,b,a,a,b,c,d,例6：已知两交叉直线AB和CD的公垂线的长度 为MN， 且AB为水平线，求CD及MN的投影。,空间及投影分析：,V,H,X,圆半径=MN,作图：,请注意各点的投影如何返回？,求m点是难点。,c1,空间及投影分析：AB与CD都平行于投影面时，其投影的夹角才反映实角（60），因此需将AB与C点所确定的平面变换成投影面平行面。,例8
6、: 过C点作直线CD与AB相交成60角。,a,b,a,c,b,X,V,H,c,作图：,几个解？,两个解！,已知点C是等边三角形的顶点，另两个顶点在直线AB上，求等边三角形的投影。,思考：,如何解？,解法相同！,D点的投影如何返回？,例10：已知点E在平面ABC上，距离A、B为15，求E点的投影。,a,a,X,b,b,c,d,c,d,题10： 已知两直线AB/CD且相间距离为10,X,H2,V1,c1,d1,c,c2(d2),R=10,例题11： 求点S到平面ABC的距离,例12：已知E到平面ABC的距离为N，求E点的正面投影e。,例13： 求点到平面ABC的距离,X1,b 1 d 1,c 1,
7、a 1,k 1,k,k,小 结,本章主要介绍了投影变换的一种常用方法 换面法。,一、 换面法就是改变投影面的位置，使它与所给物 体或其几何元素处于解题所需的特殊位置。,二、 换面法的关键是要注意新投影面的选择条件， 即必须使新投影面与某一原投面保持垂直关系， 同时又有利于解题需要，这样才能使正投影规 律继续有效。,三、点的变换规律是换面法的作图基础，六个基本 问题是解题的基本作图方法，必需熟练掌握。,换面法的基本问题：,2. 把一般位置直线变成投影面垂直线,1. 把一般位置直线变成投影面平行线,3. 把一般位置平面变成投影面垂直面,4. 把一般位置平面变成投影面平行面,变换一次投影面,变换一次投影面,变换两次投影面,变换两次投影面,需先在面内作一条投影面平行线,四、解题时一般要注意下面几个问题：, 分析已给条件的空间情况，弄清原始条件中 物体与原投影面的相对位置，并把这些条件 抽象成几何元素（点、线、面等）。, 根据要求得到的结果，确定出有关几何元 素对新投影面应处于什么样的特殊位置（垂 直或平行），据此选择正确的解题思路与方 法。, 在具体作图过程中，要注意新投影与原投影 在变换前后的关系， 既要在新投影体系中正 确无误地求得结果，又能将结果返回到原投 影体系中去。,END,