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1、精品_精品资料_数列学问点总结与练习1. 数列的概念：依据的数n2. 数列的分类：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） 已知 annn 2156nN * ,就在数列 a 的最大项为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） 数列 a 的通项为 aan,其中a, b均为正数,就a 与 a的大小关系为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nnbn1nn 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n（3） 已知数列 an 中,an2n ,且 an 是递增数列,求实数的取值范畴可编辑资料 - - - 欢迎下
2、载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_等差数列的有关概念：1. 定义：即 an 1and常数nN . 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 通项公式：,推广：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dana1n1是点列 n, an 所在直线的斜率 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特点： andn a1d ,即： anf nknm,k , m为常数）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anknm,（ k, m为常数 是数
3、列an 成等差数列的充要条件.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 前 n 项的和： Snd n 2nn2a1d n 变式： a12an = Sn2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_特点： Snd2na12d n,即S 2f nAn 2BnSAn2Bn A, B为常数 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_是数列an成等差数列的充要条件.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 等差中项：如 a,
4、b, c 成等差数列,就 b 称 a与c 的等差中项,且bac. a, b, c 成等差数列是2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2bac 的条件.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 等差数列an的基本性质其中m, n,p, q,hN 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 如mnpq2 h,就.反之不成立.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ anamnm d 2anan man m Sn, S2nSn , S3nS2n成公差为n 2 d可编辑
5、资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的等差数列.an , anm , an2m 组成公差为 md 的等差数列. 当 n2k1为奇数时,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Snna kna 中. S 奇kak , S偶k1a k可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 判定或证明一个数列是等差数列的方法：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定义法：an 1and 常数）（ nN ）an是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - -
6、 - 欢迎下载精品_精品资料_中项法：2an 1anan 2（ nN an是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通项公式法： anknb k, b为常数 an是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn前 n 项和公式法：SAn 2Bn A, B为常数 a是等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. a1, d , n,an , Sn 知三求二 ,可考虑统一转化为两个基本量; 或利用数列性质 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_三数 : ad, a, ad ,四数 a3d ,
7、ad , ad, a3d可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 会从函数角度懂得和处理数列问题.练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 设Sn 是等差数列s3an 的前 n 项和,如s61s6,就3s12可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ A） 310（ B） 13（C） 18（ D） 19可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知等差数列共有10 项,其中奇数项之和15,偶数项之和为 30,就其公差是A 5B 4C 3D 23. 等差数列 an 中, a10 0, a11 0 且
8、a11| a10 | , Sn 为其前 n 项和,就A. S 10 小于 0, S11 大于 0B.S 19 小于 0, S20 大于 0C. S 5 小于 0, S6 大于 0D.S20 小于 0, S21 大于 0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知数列 an 、 bn 都是公差为 1 的等差数列,其首项分别为a1 、 b1 ,且a1b15 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_*a 、 bN * 设 ca（ nN）,就数列 c 的前 10 项和等于（）11nbnnA 55B 70C 85D 1005. 等差数列 an 的前 n 项和记为 Sn,如 a2+
9、a4+a15 =p 是一常数,就 S13=可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 在等差数列an中, 已知 a49, a96, Sn63 , 就 n=.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 已知an 数列是等差数列,a1010 ,其前 10 项的和S1070 ,就其公差 d 等于 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 23B 1CD12333可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 已知等差数列
10、an中, a 7a 916, a41,就 a12 等于（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A 15B 30C 31D 64可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 设Sn 为等差数列an 的前 n 项和, S414, S10S730,就 S9 =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 已知等差数列an的前 n 项和为Sn ,如S1221,就 a 2a5a8a11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 如一个等差数列前3 项和为 34, 后 3 项和为 146, 且全部项的和为 390,
11、求这个数列项数 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2等差数列 an的前 10 项的和 S10100, 前 100项的和 S10010 , 求前 110项的和 S110 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 在等差数列 a n 中,a m=n,a n=m,就 am+n的值为（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（A） m+n（ B） 1 mn21（C）mn2（ D）0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 设an 是公差为正数的等差数列, 如 a1a2a315 ,a1a2a380 ,
12、就 a11a12a13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A120B105C90D75可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14. 假如a1 , a2 ,a8 为各项都大于零的等差数列,公差d0,就（）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（ A） a1 a8a4 a5 （ B） a8 a1a4 a5 （ C） a1 + a8a4 + a5 （ D） a1a8 = a4a5可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15. 如数列 an 是等差数列,首项 a1Sn0 成立的最大自然数n 是：0, a2022a20220, a2022.a2022（0 ,就使前
13、）n 项和A4005B 4006C4007D4008416. 假如一个等差数列的前12 项和为 354,前 12 项中偶数项的和与奇数项的和之比为32:2求公差.17. 项数为奇数的等差数列, 奇数项之和为 44,偶数项之和为33,求这个数列的中间项及项数18. 已知数列 a 的前 n 项和 S =n2-2n , b = a2a4a2 n ,证明 : 数列 b 是等差数列nnnnn19. 数列 an 的首项 a13 , 通项 an 与前 n 项和 Sn 之间满意 2anSnSn 1 n27 ,.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 求证 :1是等差数列 , 并求公差 ;2求数列S
14、nan的通项公式 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 数列an 中是否存在正整数k, 使得不等式akak1 对任意不小于k 的正整数都成立 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如存在 , 求出最小的 k, 如不存在 , 请说明理由 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_20. 等差数列an的前 n 项和记为Sn ,已知a1030, a 2050求通项an .如可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn =242,求 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21. 已知数列an中, a
15、13,前 n 和 Sn1 n211an11求证：数列an是等差数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_列求数列an的通项公式设数列an an 1的前 n 项和为Tn ,是否存在实数 M ,使得可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_TnM对一切正整数n 都成立？如存在,求M 的最小值,如不存在,试说明理由.等比数列的有关概念：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 定义：假如一个数列从起,与它的的比等于常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,记为q,（ qan 1anq常数 nN . 2 递推关
16、系与通项公式递推关系：an1qan通项公式：推广：3 等比中项：如三个数a, b,c 成等比数列,就称 b 为 a与c 的中项,且,注： b 2ac 是成等比数列的必要而不充分条件.4 前 n 项和公式 : Sn5 等比数列的基本性质,其中 m, n, p, q,hN 如mnpq2h,就.反之不真；n m qanam, an2an man mnNan为等比数列,就下标成等差数列的对应项成等比数列 . q1时, Sn, S2 nSn, S3nS2n,仍成.6 等差数列与等比数列的转化 an是等差数列can c0, c1 是等比数列.an是正项等比数列log c anc0, c1 是等差数列.an
17、既是等差数列又是等比数列an是各项不为零的常数列.7 等比数列的判定法定义法：an1q（常数）a为等比数列.0 .即可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_中项法：an2an 1anan 2nan0an 为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通项公式法： ankq nk , q为常数）an为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_前 n 项和法： Snk 1qn （ k, q为常数）an 为等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_练习可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
18、1. 设fn224272 1023 n 10nN ,就f n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_28n1128n3128n 4777A 2n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 817B. C. D 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知数列an 是等比数列,且 Sm10, S2m30,就 S3m可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 在等比数列an中, a1a633, a3 a432, anan 1求 an ,可编辑资料 - - - 欢迎
19、下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 Tnlg a1lg a 2lg an ,求Tn可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 在等比数列an中, 如 am0 在等差数列中有 a1a2ana1a2a2m 1 n可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ n2m1, nN 成立,类比上述性质,相应的在等比数列bn中,如 bm1 就有等可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_式成立.点拨：历年高考对性质考查较多,主要是利用“等积性”,题目“小而巧
20、”且背景不断更新, 要娴熟把握.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 一个等比数列 an 共有 2n1 项,奇数项之积为100,偶数项之积为 120,就 an1 为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 数列 an 中, 等比数列.Sn =4 an1 +1 n2 且a1 =1,如 bnan 12 an,求证：数列bn 是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 设等比数列 an 中, a1an66 ,a2an1128 ,前 n 项和Sn 126,求 n 和公比 q .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
21、_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_8. 等比数列中,q 2,S99=77,求 a3a 6a 99可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 已知两个正数a, b ab 的等差中项为 A,等比中项为B,就 A 与 B 的大小关系为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个成等比数列,且第一个数与第四个数的和是 16,其次个数与第三个数的和为12,求此四个数.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_点拨：奇数个数成等比,可设为,a , a , a, a
22、q, aq2 （公比为 q ）.但偶数个数成等比q 2q可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,不能设为a , aq 3q, aq, aq3 ,因公比不肯定为正数,只有公比为正时才可如此设,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2且公比为 q .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11. 在等比数列 an 中, a3a8124, a4a7512 ,公比 q 是整数,就a10 = 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 各项均为正数的等比数列 an 中,如a5 a69 ,就log 3 a1log 3 a2Llog 3 a10可编辑资料 - - -
23、 欢迎下载精品_精品资料_13. 已 知 a0 且 a1 , 设 数 列 xn满 足 log axn 11loga xnnN *, 且可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1x2Lx100100 ,就x101x102Lx200可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14. 等比数列 an 中, Sn 为其前 n 项和, 如 S3013S10 , S10S30140 ,就 S20 的值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_15. 如 an 是等比数列,且 Sn3 nr ,就 r 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_16. 设等比数列 an 的公比为
24、q ,前 n 项和为Sn ,如Sn 1 , Sn, Sn2 成等差数列,就q 的值 =_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_17. 设数列an 的前 n 项和为Sn （ nN ）, 关于数列an有以下三个命题：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 anan 1 nN ,就an既是等差数列又是等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_n如 Sna n 2b na、bR,就an 是等差数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_如 Sn11,就an 是等比数列.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_这些命题中,真命题的序号是数列的通项的
25、求法一、观看法（多用于挑选题,填空题,解答题（需用数学归纳法证明）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 已知数列3 1 ,5 148,7 116,9 1 ,32试写出其一个通项公式：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 已知数列8,8,8,8,试写出其一个通项公式： 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 已知数列2, 2,2, 2,试写出其一个通项公式： 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 已知数列4. 已知数列1,2,4,8,161,4,9,16,试写出其一个通项公式： 试写出其一个通项公式： 可编辑资料 - - - 欢迎下载
26、精品_精品资料_二、 an 与 Sn 的关系Sna1a2a3an 1ann1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Sn 1a1a 2a3an 1n2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_anSnSn1n 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 已知 an的前 n 项和满意log 2 Sn1n1 ,求an = 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 数列 a 满意 1 a1 aL1 a2 n5 ,求 a =可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2nn12nnn222可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 数列 an 中,
27、a11, 对全部的 n2 都有a1a2 a3an 2 ,就a3a 5 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 已知数列an的前 n 项和为Sn ,且an 1Snn3, nN, a12 . 求数列an的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_通项 ; 设 bnnnSnn2N 的前 n 项和为4Tn ,证明 :Tn.3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. 设数列an 的前 n 项和为Sn ,且满意 Sn2an , n1,2,3求数列an的通项公式.可编辑资料 - -
28、 - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_6. 已知数列an 满意的前 n 项和为Sn ,且 Sn 1 n3n1.（1）求数列an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2）如数列bn 的通项公式满意 bnn1an ,求数列bn的前 n 项和 Tn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 在数列an 中, a11,a12a23a3nann1an 1nN 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - -
29、 欢迎下载精品_精品资料_（1）求数列小值 .an 的通项an .（ 2）如存在 nN,使得 an n1成立,求实数的最可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7. 已知数列 an 中, a12 ,前 n 项和Sn ,如 Snn 2a ,求 a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_nn8. 数列 an 满意 a14, SnSn 15an 1 ,求 an3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_m三、公式法（等差数列,等比数列）可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
30、等差数列： an1等比数列 :ana1 n a q n 1d am a q n m nmd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 已知数列 an 满意an 12an3 2n, a12 ,求数列 an 的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 数列 an 中, a18 , a42 ,且满意an 22an 1an01求数列的通项公式. 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_设 Sna1a2an ,求Sn 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可
31、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 等比数列 an为递增数列,且a 42, a5320 , ,数列 bn9log 3an, （ 1 ）求数列 an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_的通项公式. （ 2）设 Tnb1b2b2n1 , ,求Tn .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4.（2022 全国卷理）设数列 an的前 n 项和为Sn ,已知 a11, Sn14an2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（I ）设 bnan 12an ,证明数列 bn 是等比数列（ II ）求数列 an的通项公式.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_5. （ 2022 辽宁卷）等比数列 an 的前 n 项和为sn ,已知S1 ,S3 ,S2 成等差数列可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资