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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 一、等差数列学习必备欢迎下载学问总结必修 其次章 数列1等差数列定义：依据肯定次序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项；数列可以看作一个定义域为正整数集N 或它的有限子集1,2,. , n 的函数当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值. 它的图像是一群孤立的点它具有如下特点：an 1and, 或an2a n1a n1annN留意：（1）证明数列 a 是等差数列的五种基本方法（大多用在客观题上）： . 利用定义：证明an 1and（ 常数 ）利用中项性质：证明2anan1an2nN通项公式法：anpnq （p、q 为常数）
2、an为等差数列前 n 项和公式法：S nAn2Bn （A 、B 为常数）an为等差数列 a n成等比数列且a n0lga n为等差数列（2）证明数列an不是等差数列的常用方法：找反例.如验证前三项不成等差数列（3）如a n1a nn a 1a nN,就an不是等差数列 ,求a 可用累加法a nana n 1an 1an 2aaa,n2.2通项公式及其变式名师归纳总结 - - - - - - -ana 1n1 ddna 1d变式：a namnm da 1a nn1 d率）da na mda na m（联想点列 , n an所在直线的斜nmnm3前 n 项和公式及其变式S nn a 1a nna
3、11 n n21 d ；a 为首项 , d 为公差的等差数列. 21 n n2变式 : S na n1 d联想 :an是以S nd 2n2a 1d 2nS nd n 21a 1联想：S n是以a 为首项 , 2 d 为公差的等差数列nnS na 12a na 1a 2na n联想：算术平均数n4等差中项如 a, b, c 成等差数列,就b 称 a 与 c 的等差中项,且ba2c5重要性质 等差数列a n中 第 1 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）对称性质：如 m+n=p+q m.、 n、p、q N , 就 a m a n a p a ；特
4、殊地：当 m+n=2p 时 a m a n 2 a ; 2）如 d 为 a 的公差,就其子数列 a k , a k m , a k 2 m , , 也成等差数列,且公差为 md；（3）片段和性质：S m , S 2 m S m , S 3 m S 2 m , 也成等差数列,且公差为 m d ；2（4）如 a n , b n 都是等差数列 ,就 ka n , ka n p , ka n pb n 都为等差数列；（5）如项数为 2n n 就 S 偶 S 奇 nd；SS 奇偶 a an n1；S 2 n n a n a n 1 ;如项数为 2n-1 n N 就 * S 奇 S 偶 a n；SS 奇偶
5、 n n1；S 2 n 1 2 n 1 a . 评注 : 有限等差数列中,奇数项和与偶数项和的存在必定联系,由数列的总项数是偶数仍是奇数打算 . 如总项数为偶数,就“ 偶数项和” “ 奇数项和” 总项数的一半与其公差的积；如总项数为奇数,就“ 奇数项和” “ 偶数项和” 此数列的中项 . 6常用结论、技巧,削减运算量（留意对称设元,整体消参,设而不求）（1）设元技巧：如三个数成等差数列,可设为 a d a a d ；四个数成等差数列,可设为 a 3 , d a d a d a 3 d . （2）在等差数列中,求 S 最值：方法一：建立 S 的目标函数,转化为 n 的二次函数求；a n0方法二：
6、如 a 1 0 , d 0 时 , S n 有最大值,这时可由不等式组 来确定 n；a n 10a n0如 a 1 0, d 0 时 , S n 有最小值,这时可由不等式组 来确定 n. a n 10（3）基本量运算：等差数列中有五量 a 1 , n , d , a nS n 、三式（一个通项公式,两个求和公式）,一般可以“ 知三求二” 通过列方程（组）求关键量 a 和 d,问题可迎刃而解 . （ 4）几个重要结论apq aqp pqap q0pqS pq S qp pq qS p qS pS qpqS p0S m nS mS nmnd二、等比数列定义与特点：定义： _. 它具有如下特点：an
7、1qq 为不为零常数 或者a n2an1（nN* ）ana n1a n注：（ 1）证明数列是等比数列的两个基本方法：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载. N ）利用定义：an1qq 为不为零常数 a n利用等比中项：2 a n1ana n2通项公式法 :a ncqnc0前 n 项和法 :S nkqnkk0 an成等差数列can为等比数列（ 2）证明数列an不是等比数列的常用方法：找特例2通项公式：ana qn1；变式：ana qn m；qnman（nm; m 、nam3前 n 项和公式：s na 11
8、qna 1a qq1；1 的关系,必要时分类争论. 1q1q（1）留意：运用等比数列求和公式,务必检查其公比与（2）当公比 q1 时,S n1qnS mm1q4等比中项如 a,G , b 成等比数列,就G 为 a, b 的等比中项,即Gab, ab0. 5性质名师归纳总结 - - - - - - -在等比数列an中,有（1）如 m+n=p+q ,m ,n, p ,qN , 就a ana a ；当 m+n=2p 时,a a m n2 a ；p（2）如 an,bn成等比数列 , 就|a n|kan,a2a nb n,1 a n,a n也成等比数列；nb n（3）如 q 为a 的公比,就其子序列ak
9、,a k m,ak2m,也成等比数列 ,公比为qm；即序号成等差数列的项按原次序构成新的等比数列（4）片段和 :S m,S2mS m,S 3mS 2m,也成等比数列,且公比为qm. 6常用结论、技巧：m q S nS nn q S mS 3 nS nn q S 2nS 2nq2nS n（1）S m nS m（2）前 n 项和公式,肯定要分q=1 或 q1 两种情形3 设元技巧：三个数成等比数列,通常设为a a aq q；四个数成等比数列,不能设为a 3,qa aq aq q3,只有当 q0 时才可以4 等比数列an的单调性当a 10,q1或a 10,0q1时,等比数列an为递增数列；第 3 页
10、,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当 a 1 0,0 q 1 或 a 1 0, q 1 时,等比数列 a n 为递减数列；当 q 1 时,等比数列 a n 为常数列 ; 当 q 0 时,等比数列 a n 为摇摆数列 . 5 有限项等比数列中,设“ 偶数项和” 为 S偶 ,“ 奇数项和” 为 S奇如总项数为偶数 2n,就 S 偶 qS 奇；如总项数为奇数 2 n 1,S 奇 a 1 qS 偶. 三、数列求和的方法：公式法1等差数列 a n的前 n 项和公式（三种形式）; 2等比数列 a n的前 n 项和公式（三种形式）; 3几个重要公式2 1 3 5
11、 2 n 1 n 1 1 22 23 2n 2 1 n n 1 n 26 1 32 33 3n 3 n n 2 1 24倒序相加法 :在数列求和中,如和式中到首尾距离相等的两项和有其共性或数列的通项与组合数相关联,就常可考虑选用倒序相加法,发挥其共性的作用求和（这也是等差数列前 n 和公式的推导方法） 如: 在1 和 n 1 之间插入 n 个正数, 使这 n+2 个数成等比数列,求所插入的 n 个数之积n3错位相减法：适用于 b n c n 的数列；其中 b n 成等差数列 , C n 成等比数列 . 记 S n b c 1 1 b c 2 b n 1 c n 1 b c ；就 qS n b
12、c 2 b n 1 c n b c n 1 . （这也是等比数列前 n 和公式的推导方法之一）4裂项相消法：假如数列的通项可“ 分裂成两项差” 的形式,且相邻项分裂后相关联,那么常选用裂项相消法求和. 常用裂项形式有：n21 n n11 nn111 n nk1 1 k n n1kn n1 1 n21 21 n n1n1 1 na nS nS n1n2的和易求得 . 5. 分组求和：适用于cna nb n,而an、b四、求一般数列通项公式的类型及方法：名师归纳总结 1应用公式（等差、等比数列）；1n2,是否分段 ,需要验证 . 第 4 页,共 5 页2已知S 求a 可用anS 1nS nS n1
13、- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载n 项和公式的 数列的通项、数列的项数,递推公式与递推数列,数列的通项与数列的前 关系 3累加法：适用于差后等差或差后等比的数列；a na nan1an1an2a2a 1a ；如：已知数列an满意a n1an2 , n a 13,求a ；已知数列an满意a n1ann 2 ,a 13,求a . 4累积法：适用于分式给出的递推式,累积后可以消去中间项,ana n1an1a2a n2.anan2a 1如：已知数列an满意ann1nn2,a1=1,求a ；a 已知数列an满意ann12n,a1=1,求a .
14、a5构造特殊数列法：（1）利用递推关系写出数列的前几项,依据前几项的特点观看、归纳猜想出 a 的表达式,然后用数学归纳法证明 . （2）将递推关系式进行变形 比数列）；,然后运用累加、累积、迭代、换元转化为常见数列（等差、等名师归纳总结 - - - - - - -如：已知数列an满意a n13 an2,a 11,求a ；已知数列an满意a n1 2an12n1,a 11,求a . 五、数列的应用 三个模型 凡涉及到利息、产量、降价、繁衍增长率以及分期付款等问题时都可以用数列解决. 1复利公式 :按复利运算利息的一种储蓄,本金为a 元,每期利率为r,存期为 x,就本利和ya1rx（ 2）单利公式:利息按单利运算,本金为a 元,每期利率为r,存期为x,就本利和ya1xr（3）产值模型 :原先产值的基础数为N,平均增长率为p,对于时间 x 的总产值yN1px第 5 页,共 5 页