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1、-角平分线的应用-第 4 页角平分线的应用一 定义、定理1. 角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条 射线叫做这个角的角平分线。2. .角平分线的性质定理：在角平分线上的点到这个角的两条边的距离相等。3.逆定理：在角的内部到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。二基本结论1.三角形内（外）角平分线夹角结论（1）如图PB、PC分别平分ABC和ACBP=90+A， 点P在BAC的角平分线上（2） 如图PB、PC分别平分ABC和ACB的外角P=90-A 点P在BAC的角平分线上（3） 如图PB平分ABC、PC平分ACB的外角P=A 点P在BAC外角的角平分
2、线上应用：如图在ABC中，PB平分ABC，PC平分ACB的外角，连接AP，若APC=40，则NAP= 2. 三角形的三条角平分线交于一点（内心），这个点到三角形三边的距离相等。已知：ABC中，ABC和ACB的角平分线交于点O，过O的直线EFBC，分别交AB、AC于E、F两点，若BOC=135，EO：OF：OD=20:15:12，ABC的面积为216，则OD= 3.三角形内（外）角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。 （1）在ABC中，AD是BAC的角平分线AB：AC=BD：DC（2）AD是ABC外角BAP的角平分线AB：AC=BD：DC应用：在ABC中，A=2B，AC=3.5，
3、BC=5.5，D为射线BA上一点，D到直线AC，BC的距离相等，则AD= 1. 作双高（1）构造全等 （2）对角互补形 四边形ABCD中，BD是ABC的角平分线 3+4=180DA=DC应用：在ABC中，O是角平分线BE和CD的交点，A=60，求证：OD=OE2. 作平行线（1）平分平行等腰 （2）构造A型、X型基本应用： 1.矩ABCD中，F为BC中点，1=2AE=AB+EC 2.在正方形ABCD中，1=2AE=BE+DF练习：在ABC中，AD是中线，1=2，CE/AB，若BAC=120，AB=12，AC=8求EC的长度3. 截长补短构全等应用：1、在ABC中，AD是角平分线，2C=B，AC
4、-AB=BD4. 平分线+高线,延长等腰基本型1.在RTABC中，C=90，AC=BC，BD是角平分线，AEBD于EBD=2AE角平分线应用1. 应用：如图，在ABC中BE、CD分别为ABC的角平分线，ADCD，AEBE，连结DE,若AB=8，AC=5，BAC=60，则DE的长为_.2.如图，在等边ABC中,AB=8,D为AB中点,点E在BC上, 点F在AC上, 且AF=3CF, DE平分BDF,则BE= 3.如图,已知菱形ABCD,点E为AD边上一点,连接CE,把CDE沿着CE翻折,CD的对应边所在直线交直线AB于点F,若AF=2,AE=3,CF=4,则CD=_4.如图，在等边ABC中, A
5、B=4,ADBC于点D，点P在AB的延长线上，点Q在AB 上，PDQ=60，QD延长线交AC延长线于点R（PBCR），若PR=7，则PQ= 5.已知：在RtABC中，BAC=90，CD平分ACB，EDC=45.(1)求证：AED+ABC=90(2)过点E作DE的垂线，交DC于M，交BA延长线于N.若NE：MC=：3，探究BD与BC的数量关系.6.已知; 在ABC中，AD为BC边上的中线，点E为BC边上的一点BE=AC。(1) 求证：BEA+DAC=180；(2) 过点C作CHAB与点H，分别交BE、AD与点M、N，过点E作EFAC，交CH于点Q，若BE=EF+DF，BE:EF=3:2,请你探究线段MH与ME之间的数量关系，并证明你的结论。