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1、-等腰三角形的存在性问题解题策略-第 5 页中考数学压轴题解题策略（1）等腰三角形的存在性问题解题策略挑战中考数学压轴题的作者 上海 马学斌专题攻略如果ABC是等腰三角形，那么存在ABAC，BABC，CACB三种情况已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快几何法一般分三步：分类、画图、计算代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验例题解析例 如图1-1，在平面直角坐标系xOy中，已知点D的坐标为(3, 4)，点P是x轴正半轴上的一个动点，如果DOP是等腰三角形，
2、求点P的坐标图1-1【解析】分三种情况讨论等腰三角形DOP：DODP，ODOP，POPD当DODP时，以D为圆心、DO为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P，此时点D在OP的垂直平分线上，所以点P的坐标为(6, 0)（如图1-2）当ODOP5时，以O为圆心、OD为半径画圆，与x轴的正半轴交于点P(5, 0) （如图1-3）当POPD时，画OD的垂直平分线与x轴的正半轴交于点P，设垂足为E（如图1-4）在RtOPE中，所以此时点P的坐标为图1-2 图1-3 图1-4上面是几何法的解题过程，我们可以看到，画图可以帮助我们快速找到目标P，其中和画好图就知道答案了，只需要对进行计算代数法先设点P的坐标为(
3、x, 0)，其中x0，然后罗列DOP的三边长（的平方）DO252，OP2x2，PD2(x3)2+42当DODP时，52(x3)2+42解得x6，或x0当x0时既不符合点P在x轴的正半轴上，也不存在DOP当ODOP时，52x2解得x5当x5时等腰三角形DOP是存在的，但是点P此时不在x轴的正半轴上（如图1-5）当POPD时，x2(x3)2+42这是一个一元一次方程，有唯一解，它的几何意义是两条直线（x轴和OD的垂直平分线）有且只有一个交点代数法不需要画三种情况的示意图，但是计算量比较大，而且要进行检验图1-5例 如图2-1，在矩形ABCD中，AB6，BC8，动点P以2个单位/秒的速度从点A出发，
4、沿AC向点C移动，同时动点Q以1个单位/秒的速度从点C出发，沿CB向点B移动，当P、Q两点中其中一点到达终点时则停止运动在P、Q两点移动的过程中，当PQC为等腰三角形时，求t的值图2-1【解析】在P、Q两点移动的过程中，PQC的6个元素（3个角和3条边）中，唯一不变的就是PCQ的大小，夹PCQ的两条边CQt，CP102t.因此PQC符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个C就可以了，在C的边上取点P或Q画圆图2-2 图2-3 图2-4如图2-2，当CPCQ时，t102t，解得(秒).如图2-2，当QPQC时，过点Q作QMAC于M，则CM.在RtQMC中，解得(秒).如图2-4，当PQPC时，过
5、点P作PNBC于N，则CN.在RtPNC中，解得(秒).这道题中，我们从“有限”的矩形中，选择我们需要的“无限”的PCQ，使得画图简洁，计算简练例 如图3-1，直线y2x2与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P是x轴正半轴上的一个动点，直线PQ与直线AB垂直，交y轴于点Q，如果APQ是等腰三角形，求点P的坐标图3-1【解析】我们先用代数法解这道题由y2x2得，A(1，0)，B(0，2)所以OA1，OB2如图3-2，由于QPAABO，所以OPOQOBOA21设点Q的坐标为(0，m)，那么点P的坐标为(2m，0)因此AP2(2m1)2，AQ2m21，PQ2m2(2m)25m2当APAQ时，解方程(2
6、m1)2m21，得或所以符合条件的点P不存在当PAPQ时，解方程(2m1)25m2，得所以当QAQP时，解方程m215m2，得所以图3-2 图3-3 图3-4我们再用几何法验证代数法，并进行比较如图3-3，在直线PQ平移的过程中，根据“两直线平行，同位角相等”，可知QPO的大小是不变的，因此PQA也符合“边角边”的解题条件，我们只需要三个P，点P在点A的右侧，暂时不画y轴（如图3-4）如果APAQ，以A为圆心、AP为半径画圆，得到点Q（如图3-5）因为点Q在y轴上，于是“奇迹”出现了，点A(1, 0)怎么可以在y轴的右侧呢？ 图3-5 图3-6当PAPQ时，以P为圆心、PA为半径画圆，得到点Q
7、，再过点Q画y轴此时由，解得，所以（如图3-6）请问代数法解得的点在哪里？看看图3-7就明白了当QAQP时，点Q在AP的垂直平分线上，由于A(1, 0)，所以P(1, 0) （如图3-8）我们可以体验到，几何法可以快速找到目标，而且计算比较简便图3-7 图3-8例 如图4-1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M是BC的中点P(0, m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D当APD是等腰三角形时，求m的值图4-1【解析】点P(0, m)在运动的过程中，APD的三个角都在变化，因此不符合几何法“边角边”的解题条件，我们用代数法来解因为PC/
8、DB，M是BC的中点，所以BDCP2m所以D(2, 4m)于是我们可以罗列出APD的三边长（的平方）：当APAD时，解得（如图4-2）当PAPD时，解得（如图4-3）或（不合题意，舍去）当DADP时，解得（如图4-4）或（不合题意，舍去）综上所述，当APD为等腰三角形时，m的值为，或图4-2 图4-3 图4-4其实、两种情况，可以用几何说理的方法，计算更简单：如图4-2，当APAD时，AM垂直平分PD，那么PCMMBA所以因此，如图4-3，当PAPD时，P在AD的垂直平分线上所以DA2PO因此解得例 如图5-1，已知ABC中，ABAC6，BC8，点D是BC边上的一个动点，点E在AC边上，ADE
9、B设BD的长为x，如果ADE为等腰三角形，求x的值 图5-1【解析】在ADE中，ADEB大小确定，但是夹ADE的两条边DA、DE用含有x的式子表示太麻烦了本题的已知条件ADEBC非常典型，由于ADCADE1，ADCB2，ADEB，所以12于是得到典型结论DCEABD如图5-2，当DADE时，DCEABD因此DCAB，8x6解得x2如图5-3，如果ADAE，那么AEDADEC由于AED是DCE的一个外角，所以AEDC如果ADEC，那么E与C重合，此时D与B重合，x0如图5-4，当EAED时，DAEADEBC，所以DACABC因此解得图5-2 图5-3 图5-4马学斌 2015年9月13日星期日To：中小学数学初中版北京市海淀区西三环北路105号（首都师大）数学楼118室，100048