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1、-清江中学2015-2016学年高二下学期期中考试数学(理)试题-第 6 页江苏省清江中学20152016学年度第二学期期中考试来源:学.科.网Z.X.X.K高二数学（理科）试卷一填空题:本大题共14小题，每小题5分，共70分只要求写出结果，不必写出计算和推理过程请把答案写在答题卡相应位置上1复数（i是虚数单位）的虚部是 2甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8，0.9，若两人同时独立射击，他们都击中靶的概率为 3用数字0，1，2，3，7组成 个没有重复数字的五位偶数4已知随机变量X的分布列为P(Xk) (k1,2,3,4)，则a等于_5如果三点，在同一直线上，则_6从4名男生和2名女生中任选
2、3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则P(X1)等于 7若f(n)122232(2n)2，则f(k1)与f(k)的递推关系式是_ _8对于数25，规定第1次操作为23+53=133，第2次操作为13+33+33=55，如此反复操作，则第2016次操作后得到的数是 9的展开式中的系数为 10设，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得 11用5种不同的颜色给右图中所给出的四个区域涂色， 111121133114641每个区域涂一种颜色，若要求相邻（有公共边）的区域不同色，那么共有 种不同的涂色方法12如右图，在杨辉三角形中，从上往下数共有n(nN*) 行，在这些数中非
3、1的数字之和是_13若存在正整数m，使得f(n)(2n7)3n9(nN*)能被m整除，则m的最大值为 _14若，则a2= 二解答题：本大题共6小题，共90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤来源:学+科+网Z+X+X+K15（本小题满分14分）已知z是复数，z2i、均为实数(i为虚数单位)，且复数(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围16（本小题满分14分）（1）证明：； （2）证明：17（本小题满分14分）设函数yf (x)，对任意实数x，y都有f (xy)f (x)f (y)2xy.来源:学.科.网Z.X.X.K(1)求f (0)的值；
4、(2)若f (1)1，求f (2)，f (3)，f (4)的值；(3)在(2)的条件下，猜想f (n)(nN*)的表达式并用数学归纳法证明。18（本小题满分16分）（1）现有5名男生和3名女生若从中选5人，且要求女生只有2名，站成一排，共有多少种不同的排法？ （2）从3，2，1，0，1，2，3，4中任选三个不同元素作为二次函数y=ax2+bx+c的系数，问能组成多少条经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线？（3）已知（+2x）n，若展开式中第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数19（本小题满分16分）如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，A
5、B=BC=2，AA1=4， E是棱CC1上的点，且BEB1C.（1）求CE的长；（2）求证：A1C平面BED；（3）求A1B与平面BDE所成角的正弦值.20（本小题满分14分）从一批有10个合格品与3个次品的产品中，一件一件地抽取产品，设各个产品被抽取到的可能性相同。在下列三种情况下，分别求出直到取出合格品为止时所需抽取次数x的分布列。 （1）每次取出的产品都不放回此批产品中； （2）每次取出的产品都立即放回此批产品中，然后再取出一件产品； （3）每次取出一件产品后总以一件合格品放回此批产品中。高二数学（理科）参考答案一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1； 20.72； 3
6、42； 45； 57； 6；7f(k1)f(k)(2k1)2(2k2)2； 8250； 91820；10；11260； 122n2n； 136； 14476；二、解答题：本大题共6小题，共计90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15解：设zxyi(x、yR)，所以z2ix(y2)i，由题意得y2.2分因为(x2i)(2i)(2x2)(x4)i. 4分由题意得x4，所以z42i.6分所以(zai)2(124aa2)8(a2)i，8分由于(zai)2在复平面上对应的点在第一象限，所以10分解得2a6，12分故实数a的取值范围是(2,6) 14分16解：（1）证明：三种方法：法一：直接代
7、公式（略）；法二：（构造）从一个装有n个不同的红球和1个黄球的口袋中取出m个不同球，共得到个不同组合，我们可将这些组合分成两类：一类全是红球，则从n个红球中取，可得到个不同组合；一类含有黄球，则从n个红球中再取出m-1个，则得到个不同组合，所以；7分法三（构造）分别求(1+x)n+1和(1+x)(1+x)n的展开式中xm的系数(1+x)n+1的展开式中xm的系数为；(1+x)(1+x)n=(1+x)()的展开式中xm的系数为1+1=+，因为(1+x)n+1=(1+x)(1+x)n，所以展开式中xm的系数也相等，所以7分（2）法一：倒序相加法（略）；来源:学*科*网法二：公式法：利用公式和法三：
8、构造函数f (x)=(1+x)n=,两边求导得：令x=1得：成立法四：数学归纳法（略）14分17解答：(1)令xy0，得f(00)f(0)f(0)200，得f(0)0. 2分(2)由f(1)1，得f(2)f(11)f(1)f(1)2114.f(3)f(21)f(2)f(1)2219.f(4)f(31)f(3)f(1)23116.5分(3)由(2)可猜想f(n)n2，7分来源:学科网用数学归纳法证明：(i)当n1时，f(1)121显然成立.8分(ii)假设当nk时，命题成立，即f(k)k2， 10分则当nk1时，f(k1)f(k)f(1)2k1k212k(k1)2，故当nk1时命题也成立， 12
9、分由(i)，(ii)可得，对一切nN*都有f(n)n2成立. 14分18解答：（1）分三步完成：先从3名女生中选出2名，有种方法，再从5名男生中选出3名，有种方法，将选择出的5人全排列，有，根据分步计数原理，共有=3600种；4分（2）因为抛物线过原点，所以c=0，c只有1种取法；当顶点在第一象限时，必开口向下，且对称轴在y轴右边，所以a0所以a可取-1，-2，-3，有3种方法；b可取1，2，3，4，有4种方法，共得到34=12条抛物线；6分当顶点在第三象限时，必开口向上，且对称轴在y轴左边，所以a0，b0，即a,b只能在1,2,3,4中取，由于a,b不相同，所以有种取法，得到条抛物线8分 所
10、以共有不同的抛物线条数为+12=24条.9分（3）（+2x）n的若展开式通项因为第5项、第6项与第7项的二项式系数成等差数列所以，解得n=7或n=14 11分所以当n=7时，二项式系数最大的项是T4和T5，其中T4=, T5=，系数分别为，7013分所以当n=14时，二项式系数最大的项是T8，系数为=343216分19解答：（1）解 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1 所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系Dxyz.D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），A1（2，0，4），B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.设E点坐标为（0
11、，2，t），则=（-2，0，t），=（-2，0，-4）.BEB1C， =4+0-4t=0.t=1，故CE=1. 4分（2）证明 由（1）得，E（0，2，1），=（-2，0，1），又=（-2，2，-4），=（2，2，0），=4+0-4=0，且=-4+4+0=0.且，即A1CDB，A1CBE，又DBBE=B，A1C平面BDE.即A1C平面BED. 10分（3）解 由（2）知=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又=（0，2，-4）,cos,=.A1B与平面BDE所成角的正弦值为.16分20解：（1）的取值为1，2，3，4。当=1时，只取一次就取到合格品，P(=1)=；当=2时，即第一次取到
12、次品，而第二次取取到合格品，P(=2)=；类似地有P(=3)=，P(=4)=，的分布列为（略） 4分 （2）的取值为1,2,3,，n,。当=1时，只取一次就取到合格品，P(=1)=；当=2时，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，P(=2)=；当=3时，即第一、二次均取到次品，而第三次取取到合格品，P(=2)=；类似地当=n时, 即前n-1次均取到次品，而第n次取到合格品,P(=n)=()n-1 ，n=1,2,3, 的分布列为（略）10分 （3）的取值为1，2，3，4。当=1时，只取一次就取到合格品，P(=1)=；当=2时，即第一次取到次品，而第二次取取到合格品，注意第二次取时，这批产品有11个合格品，2个次品，P(=2)=；类似地，P(=3)=；P(=4)=，的分布列为（略） 16分来源:学.科.网Z.X.X.K