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1、-初中数学中多元极值问题的常用解法-第 5 页初中数学多元极值问题例1 设,为实数，代数式的最小值为 .分析与解:配方得:原式=显然,当时,原式有最小值-10.同类型试题: 设,为实数，代数式的最小值为 ,此题也可以用配方法来解决,最小值为3.二、消元法：把多个元素转化为某一元素为主元，再结合已知条件，经过合理的运算，使问题逐步简化，便利求解.例2 已知,为整数，且，若，则：的最小值是： .分析与解：由，得 因为，为整数，所以，的最大值为1002于是，的最大值为5013例3 若，且x、y、z均为非负数，则的最大值为_.分析与解：由用x来表示y、z，得y=402x，z=x10，又由y0，z0，得
2、解得10x20，又把y=402x，z=x10代入M=5x+4y+2z得，M=x+140，显然M是关于x的一次函数，且M随x增大而减小，所以当x=10时，M的最大值为130.三、数形结合法: 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的.例4 已知,且则的最小值为（ ）（A）3 （B）4 （C）5 （D）分析与解：这道题，初识实感无从下手，若将“式”转化成“形则或轻松解.（如图1）分别以、1和、2为直角边，、为斜边，构造如图1所示的两个、。由
3、图形显见，当点C位于直线 AD上时，AC+AD最短，即的值最小.A GB C ED21图 1于是过点A作AG垂直DE的延长线交于G点，则四边形ABEG是矩形，又在中，DG=3，AG=5， 斜边AD=， 由勾股定理可得：AD= 故应选择D。同类型试题: 已知,均为正数，且，求的最小值(2003年北京市初二数学竞赛试题),此题也可以用此方法来解决,最小值为.四、均值代换法：在数学问题中，出现条件时，我们常作代换，这种代换称为均值代换.例5 若,均为正数,且,求的最小值.分析与解:由,设: ,则 当时，即时，此时，原式有最小值：.五、和差代换法：对于任意的实数,，总有 ，若令则有：，这种代换称为和差
4、代换.例6 已知实数满足，那么t的取值范围是 _.分析与解:设,把它们代入 中，得： 化简得: 因为: 即：六、参数法：参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目研究的数学对象发生联系的新变量（参数），以此作为媒介，再进行分析和综合，从而解决问题.例7 若，则可取的最小值为（ ）A. 3B. C. D. 6解：设 则所以当时 的值最小为，应选B七、整体设元法：就是把一些看似彼此独立而实质是紧密相联系的量看成一个整体去设元、列式、变形、消元、代入和求值等.例8 已知,为实数，那么的最小值是 分析与解：本题要直接求出所求式子的值很困难，故可以采取整体设元，巧妙运用二元一次方程的根的判别式来解决，思路就显得非常简捷.设=,将等式整理成关于为主元的二次方程,得为实数 即 就是 ,当时,有.故当时, 有最小值,即代数式有最小值是-1.八、利用函数的性质：借助二次（一次）函数的增减性，并注意自变量的取值范围，可使问题迎刃而解.例9 已知，且，求的最小值.分析与解:将已知等式两边平方得 整理可得: 又 ,得.故=此为关于的二次函数,且开口向上,对称轴为=2 ,又由于,知当时, 取得最小值4.