函数概念与图像.ppt

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1、,函数概念与图像,知识结构,概念,三要素,图象,性质,指数函数,应用,大小比较,方程解的个数,不等式的解,实际应用,对数函数,一个物体从静止开始下落，下落的距离y(m)与下落时间x(s)之间近似地满足关系式y=4.9X。若一物体下落2s，你能求出它下落的距离么？,此问题中含有两个变量x和y，当一个变量x的取值确定后，另一个变量y的值随之唯一确定。根据初中知识，每一个问题都涉及一个确定的函数，这就是他们的共同特点。,定 义,给定两个非空数集A和B,如果按,照某个对应法则f ,对于A中的任何一,个数x, 在集合B中都存在唯一确定的,数 y 与之对应, 那么就把对应关系,f叫做定义在A的函数.,记作

2、: f:AB,其中,x叫做自变量,y 叫做函数值,集合A叫做定义域,y的集合叫做值域.,或 y= f (x) xA.,所有输入值x组成的集合A叫做函数y=f(x)的定义域。 对A中的每一个x，都有一个输出值y与之对应，我们将所有输出值y组成的集合称为函数的值域。,函数的三要素：定义域值域对应法则（解析式）,判断是否为函数的方法：是否有共同的对应法则 A中是否有剩余元素,给定函数时要指明函数的定义域，对于用解析式表示的函数，如果没有指明定义域，那么就认为函数的定义域是指使函数表达式有意义的输入值的集合。,例3 下列函数中哪个与 函数是同一个函数?,解：,（1） 这个函数与函数 虽然对应关系相同，

3、但是定义域不相同.所以这两个函数不是同一个函数.,（2） 这个函数与函数 不仅对应关系相同，而且定义域也相同.所以这两个函数是同一个函数.,（3） 这个函数与函数 的定义域都是实数R，但当时它的对应关系与函数不相同，所以这两个函数不是同一个函数.,映射概念： 一般地，设A,B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有唯一的与之对应，那么，这样的单值对应叫做集合A到集合B的映射，记作：f:AB,例1、在下列对应中、哪些是映射、那些映射是函数、那些不是？为什么？ 1.设A=1,2,3,4，B=3,5,7,9，对应关系是f(x)=2x+1,x属于A 2.设A=1,4,9,

4、B+-1,1,-2,2,-3,3对应关系是A中的元素开平方 3.设A=R，B=R,对应关系是f(x)=x的3次方，x属于A 4.设A=R,B=R,对应关系是f(x)=2x的2次方+1，x属于A 解析：1、是一一映射，且是函数 2、不是映射（象是有且唯一） 3、是一一映射，且是函数 4、是映射，但不是函数，因为B中不是所有值在A中都有对应。,练习3,判断下列各组函数是否同一函数？,答案：,（1）定义域相同且对应关系相同，是同一函数,（2）定义域不同，不是同一函数,（3）对应关系不同，不是同一函数,判断两函数是否为同一函数只要判断它们的定义域和对应关系是否相同即可.,函数的定义域：,使函数有意义的

5、x的取值范围。,求定义域的主要依据,1、分式的分母不为零. 2、偶次方根的被开方数不小于零. 3、零次幂的底数不为零. 4、对数函数的真数大于零. 5、指、对数函数的底数大于零且不为1.,6、实际问题中函数的定义域,1. 求自变量的取值范围：,例5 画出函数y=|x|的图象.,解：由绝对值的概念，我们有,y=,x, x0, -x, x0.,图象如下：,画出函数y=|x-4|的图象.,小结（平移变换）：,1. 将函数y=f(x)的图象向左（或向右）平移|k|个单位（k0时向左，k0向右）得y=f(x+k)的图象。,2. 将函数y=f(x)的图象向下（或向上）平移|k|个单位（k0时向下，k0向上

6、）得y +k =f(x) 的图象。,函数图象的变换,总结：k0,向负方向平移；k0，向正方向平移。,画出下列函数的图象, 并,基础练习,说明它们的关系:,(1) y=x2x,(2) y=,y=x2x,y=x2x ( x0或x1),y=,小结 (翻折变换） ： 1.将函数y=f(x)图像保留x轴上方的部分并且把x轴下方的部分关于x轴作对称就得到函数y=|f(x)|的图像 2.将函数y=f(x)图像去掉y轴左方的部分，保留y轴右方的部分并且把它关于y轴作对称就得到函数y=f(|x|)的图像,函数图象的变换,画出下列函数的图象:,(1) y=x2+2 +1,(2) y=,求函数解析式的方法：,待定系

7、数法、换元法、配凑法,1, 已知 求f(x).,2, 已知f(x)是一次函数，且ff(x)=4x+3求f(x).,函数的表示方法 列表法：用列表来表示两个变量之间函数的关系的方法。 解析法：用等式来表示两个变量之间的函数关系的方法。这个等式通常叫做函数的解析表达式，简称解析式。 图像法：用图像表示两个变量之间函数关系的方法。,例题 购买某种饮料x听，所需钱数为y元。若每听2元，试分别用解析法、列表法、图像法将y表示成x（x1,2,3,4）的函数，并指出该函数的值域。,例题1 画出f(x)=丨x丨的图像，并求f(-3),f(3),f(-1),f(1)的值,例题2某是出租汽车收费标准如下：在3km

8、以内（含3km）路程按起步价7元收费，超过3km以外的路程按2.4元/km收费。试写出收费额关于路程的函数解析式,由上述例题中观察 函数具有相同特点：在定义域内不同部分上，有不同的解析表达式。像这样的函数通常叫做分段函数,标题,函数的简单性质,继 续,前 屏,跳 转,前面我们学习了函数，你能作出下列函数的图象吗？,观察图象变化趋势,在(-,)上y 随x的增大而增大,在(-,0上，y 随x的增大而减少,在0,)上，y 随x的增大而增大,在区间(-,0)上及(0,)上y 随x的增大而减少,复习引入,继 续,前 屏,跳 转,一般地,设函数y=f(x)的定义域为A:,如果对于区间内的任意两个值x1,x

9、2,当x1x2时, 都有f(x1) f(x2) ,那么就说y=f(x)在区间上是单调增函数 称为y=f(x)的单调增区间.,(1)定义域,(2)区间,(3)任意,(4)自变量的大小与函数值大小的关系,单调性概念,如果对于区间内的任意两个值x1,x2,当x1 f(x2) ,那么就说y=f(x)在区间上是单调减函数 称为y=f(x)的单调减区间.,继 续,前 屏,跳 转,如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说该函数 y = f (x) 在这一区间上具有单调性 增函数和减函数统称为单调函数。单调增区间和单调减区间统称为单调区间,有关的概念,一般地，设函数y=f(x)的定义域为A，区

10、间I A 如果对于区间I内的任意两个值X1，X2，当X1X2时，都有f(X1)f(X2），那么就说y=f(x)在区间I上是单调增函数，I称为y=f(x)的单调增区间。 如果对于区间I内的任意两个值X1，X2，当X1X2时，都有f(X1)f(X2），那么就说y=f(x)在区间I上是单调减函数，I称为y=f(x)的单调减区间。,一般地，设y=f(x)的定义域为A 如果存在x。A，使得对于任意的xA，都有 f(x)f（x。), 那么称f（x。）为f(x)的最大值，记为ymax=f(x。)； 如果存在x。A，使得对于任意的xA，都有 f(x)f（x。), 那么称f（x。）为f(x)的最小值，记为ymi

11、n=f(x。)；,继 续,前 屏,跳 转,例1.下图是定义在区间-5，5上的函数y=f(x)的图象，根据图象写出函数y=f(x)的单调区间并指出哪些是增区间哪些是减区间,函数y=f(x)的单调区间有：-5,-2,-2,1,1,3,3,5,增区间有：-2,1,3,5,减区间有：-5,-2,1,3,单调区间的判断,继 续,前 屏,跳 转,单调区间的判断,练习： 已知函数y=f(x)及y=g(x)的图象(包括端点），根据图象写出函数的单调区间，并指出在每一单调区间上，函数是增函数还是减函数,继 续,前 屏,跳 转,单调区间的判断,增区间 减区间,继 续,前 屏,跳 转,单调区间的判断,思考： 怎样判

12、断函数的单调性？,继 续,前 屏,跳 转,单调性的证明,例3.证明函数f(x)=3x+2在R上是增函数,证明：设x1,x2是R上的任意两个实数, 且x1x2，,则f(x1)-f(x2)=(3x1+2)-(3x2+2),=3(x1-x2),因为x1x2，所以x1-x20,所以f(x1)-f(x2)0即f(x1)f(x2),所以，f(x)=3x+2在R上是增函数,(1)设数,(2)作差,(3)因式分解,(4)判断符号,(5)对比定义,(6)得出结论,证明：设x1,x2是(0,+ )上的任意两个实数, 且x1x2，,因为00且x1x20,所以f(x1)-f(x2)0即f(x1)f(x2),(1)设数

13、,(2)作差,(3)因式分解,(4)判断符号,(5)对比定义,(6)得出结论,例4.证明函数f(x)= 在（0，+）上是减函数,单调性的证明,例：证明f（x）=x在（-，+）上是增函数,继 续,前 屏,跳 转,单调性的证明,练习,1 判断函数f(x)= - x2+1在（0，）是增函数还是减 函数，并证明你的结论,思考：怎样证明函数的增减性？,3. 若函数f (x) 在区间a, b单调,且 f(a) f(b)0, 则方程f(x)=0在区,.,间a, b上( ).,A.至少有一实根;,B.至多有一实根;,C.没有一实根;,D.必有唯一实根.,D,4. 函数f (x)=,2x+1, (x1),5 x

14、, (x1),则f (x)的递减区间为( ),A. 1, ),B. (, 1),C. (0, ),D. (, 1,B,继 续,前 屏,跳 转,特点：,图象关于 y轴 对称 自变量相反，函数值相等,图象关于原点对称 自变量相反，函数值相反,结论：,偶函数,奇函数,图象,函数的奇偶性,继 续,前 屏,跳 转,一般地： 如果对于函数y=f(x)的定义域内任意一个x , 都有 f(-x)=f(x),那么称函数y=f(x)是偶函数,如果对于函数y=f(x)的定义域内任意一个x ，都有 f(-x)=-f(x),那么称函数y=f(x)是奇函数,（1）定义域,（2）任意,（3）f(x)与f(-x)的关系,奇、

15、偶函数的定义,一般地： 奇函数的图象关于原点对称，反过来，如果一个函数 的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数,偶函数的图象关于y轴对称，反过来，如果一个函数 的图象关于y轴对称，那么这个函数是偶函数,如果函数f(x)是奇函数或偶函数，我们说f(x)具有奇偶性。,奇偶图象的性质,继 续,前 屏,跳 转,例5.判断下列函数是否具有奇偶性,奇函数,偶函数,偶函数,非奇非偶函数,非奇非偶函数,偶函数,既是奇函数又是偶函数,奇偶性的判断,继 续,前 屏,跳 转,奇偶性的判断,练习：,判断下列函数的奇偶性,思考： 怎样判断函数 的奇偶性？,继 续,前 屏,跳 转,证明：函数f(x)=x3+x为奇函数,

16、证明：,= -x3-x,= -(x3+x),= -f(x),(1)定义域,(2)计算f(-x),(3)f(-x)与f(x)及 -f(x)进行比较,(4)结论,奇偶性的证明,继 续,前 屏,跳 转,例6.已知函数y=f(x)是定义在R上奇函数，而且在(0，) 是增函数，证明y=f(x)在(- ，0)上也是增函数,证明：任取0-x1-x2,f(-x2)= -f(x2),奇偶性的应用,继 续,前 屏,跳 转,奇偶性的应用,已知函数y=f(x)在R上偶函数，而且在(-,0)上是增 函数， 判断y=f(x)在(0，)是增函数还是减函数？并加以证明.,证明：任取x1-x20,f(-x2)= f(x2),答：y=f(x)在(0，)是减函数,继 续,前 屏,跳 转,奇偶性的应用,奇函数在对称区间上具有相同的单调性,偶函数在对称区间上具有相反的单调性,继 续,前 屏,跳 转,奇偶性的应用,例7.(1)已知f(x)为奇函数，当x0时，f(x)=x(-x+1) 则当x0时，f(x)=_, 若f(x)为偶函数，则当x0时，f(x)=_,(2)对奇函数f(x)当x=0时有意义 ，则f(0)= _,x(x+1),-x(x+1),0,若偶函数f(x)在x=0有意义 ，则f(0)一定等于 零吗？,(3)已知f(x)=ax2+bx+c为偶函数，则b=_,已知f(x)=bx+c为奇函数，则c=_,0,0,