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1、-向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇(生)-第 - 5 - 页向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设 是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.同理，为的垂心（3）设,是三角
2、形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量，平分,)，令化简得（4）为的外心。三、典型例题：已知点G是内任意一点,点 M是所在平面内一点.试根据下列条件判断G点可能通过的_心.(填“内心”或“外心”或“重心”或“垂心”).（1）动点满足， ，则点的轨迹一定通过的 (2)若存在常数,满足,则点G的轨迹一定通过的_ _.(3)若点D是的底边BC上的中点,满足,则点G的轨迹一定通过的_.(4)若存在常数,满足,则点G的轨迹一定通过的_.(5)若存在常数,满足,则点G的轨迹一定通过的_.四、课后练习：1已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（ ）A2 B C3
3、 D62若的外接圆的圆心为O，半径为1，则( )A B0 C1 D3点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ）A0 B C D4的外接圆的圆心为O，若，则是的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心5的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 6已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为( )A三边均不相等的三角形 B直角三角形C等腰非等边三角形 D等边三角形7已知三个顶点，若，则为（ C ）A等腰三角形 B等腰直角三角形C直角三角形 D既非等腰又非直角三角形8、8、8 已知A、B、C是平面上不共线的三点，O是三角形ABC的重心，动点P满足= (+2),则点P一定为三角形
4、ABC的 （ ）A.AB边中线的中点 B.AB边中线的三等分点（非重心）C.重心 D.AB边的中点9在同一个平面上有及一点满足关系式： ，则为的 （） 外心 内心 C 重心 D 垂心10在三角形ABC中，动点P满足：，则P点轨迹一定通过ABC的： （ ） 外心 内心 C 重心 D 垂心版权所有：高考资源网()五、与三角形的“四心”有关的一些常见的重要的向量关系式有： 设，则向量必平分BAC，该向量必通过ABC的内心; 设，则向量必平分BAC的邻补角 设，则向量必垂直于边BC，该向量必通过ABC的垂心 ABC中一定过的中点，通过ABC的重心 点是ABC的外心 点是ABC的重心 点是ABC的垂心 点是ABC的内心 (其中a、b、c为ABC三边) ABC的外心、重心、垂心共线，即 设为ABC所在平面内任意一点，G为ABC的重心，I为ABC的内心，则有 并且重心G（，） 内心I（，）