必修四-向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇.doc

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1、精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍(1)重心中线的交点:重心将中线长度分成 2:1;(2)垂心高线的交点:高线与对应边垂直;(3) 内心角平分线的交点 (内切圆的圆心) : 角平分线上的任意点到角两边的距离相等;(4)外心中垂线的交点(外接圆的圆心) :外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合(1 1)0OCOBOAO是是ABC的重心的重心. .证法 1:设),(),(),(),(332211yxCyxByxAyxO0OCOBOA0)()()(0)()()(321321y

2、yyyyyxxxxxx33321321yyyyxxxx O是ABC的重心.证法 2:如图OCOBOA02ODOAODAO2DOA、三点共线,且O分AD为 2:1O是ABC的重心(2 2)OAOCOCOBOBOAO为为ABC的垂心的垂心. .证明:如图所示 O 是三角形 ABC 的垂心,BE 垂直 AC,AD 垂直 BC, D、E 是垂足.0)(CAOBOCOAOBOCOBOBOAACOB 同理BCOA ,ABOC O为ABC的垂心(3 3)设设a, ,b, ,c是三角形的三条边长,是三角形的三条边长,O O 是是ABCABC 的内心的内心OOCcOBbOAa0为为ABC的内心的内心. .证明:

3、bACcAB、分别为ACAB、方向上的单位向量,bACcAB平分BAC,( AObACcAB),令cbabc O A B C D E O A B C D E精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业cbabcAO(bACcAB)化简得0)(ACcABbOAcba0OCcOBbOAa(4 4)OCOBOA O为为ABC的外心。的外心。典型例题:典型例题:例 1:O是平面上一定点,CBA、是平面上不共线的三个点,动点P满足)(ACABOAOP,, 0,则点P的轨迹一定通过ABC的()A外心B内心C重心D垂心分析:如图所示ABC,ED、分别为边ACBC、的中点.ADACAB2ADOAOP2APOAO

4、PADAP2AP/AD点P的轨迹一定通过ABC的重心,即选C.例 2: (03 全国理 4)O是平面上一定点,CBA、是平面上不共线的三个点, 动点P满足)(ACACABABOAOP,, 0, 则点P的轨迹一定通过ABC的 (B)A外心B内心C重心D垂心分析:ACACABAB、分别为ACAB、方向上的单位向量,ACACABAB平分BAC,点P的轨迹一定通过ABC的内心,即选B.例 3:O是平面上一定点,CBA、是平面上不共线的三个点,动点P满足)coscos(CACACBABABOAOP,, 0,则点P的轨迹一定通过ABC的 A B C D E精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业()A外

5、心B内心C重心D垂心分析:如图所示 AD 垂直 BC,BE 垂直 AC, D、E 是垂足.)coscos(CACACBABABBC=CACBCACBABBCABcoscos=CACCBCACBABBBCABcoscoscoscos=BC+BC=0点P的轨迹一定通过ABC的垂心,即选D.练习:练习:1已知ABC三个顶点CBA、及平面内一点P,满足0PCPBPA,若实数满足:APACAB,则的值为()A2B23C3D62若ABC的外接圆的圆心为 O,半径为 1,0OCOBOA,则OBOA()A21B0C1D213点O在ABC内部且满足022OCOBOA,则ABC面积与凹四边形ABOC面积之比是()

6、A0B23C45D344ABC的外接圆的圆心为 O,若OCOBOAOH,则H是ABC的()A外心B内心C重心D垂心5O是平面上一定点,CBA、是平面上不共线的三个点,若222OBBCOA222ABOCCA,则O是ABC的()A外心B内心C重心D垂心6ABC的外接圆的圆心为 O, 两条边上的高的交点为 H,)(OCOBOAmOH, A B C D E精选优质文档-倾情为你奉上专心-专注-专业则实数 m =7 (06 陕西)已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|)BC=0 且AB|AB|AC|AC|=12, 则ABC 为()A三边均不相等的三角形B直角三角形C等腰非等边三角形D等边三角形8已知ABC三个顶点CBA、,若CABCCBABACABAB2,则ABC为()A等腰三角形B等腰直角三角形C直角三角形D既非等腰又非直角三角形练习答案:C、D、C、D、D、1、D、C

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