第七章-弯曲应力.ppt

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1、材 料 力 学讲授:顾志荣一 基本概念与假设二 梁的正应力强度计算三 梁的剪应力强度计算四 梁的合理设计 一 基本概念与假设1 纯弯曲与横力弯曲FFFaaaFFABCD纯弯曲：横截面上弯矩为常量，而切力为零。横力弯曲：横截面上既有弯矩，又有切力。 梁弯曲变形后，其横截面仍保持为一平面，并仍与变形后梁的轴线垂直，只是转了一个角度。设各纵向纤维之间互不挤压，每一根纵向纤维均处于单向拉伸、或压缩。FFFF中性层中性轴m1onn2om 中性层与横截面的交中性层与横截面的交线称为中性轴。梁弯曲时，线称为中性轴。梁弯曲时，梁横截面绕各自中性轴旋梁横截面绕各自中性轴旋转。转。3 中性层、中性轴中性层、中性轴

2、 由连续性假设， 存在着一层既不伸长，也不缩短的纵向纤维层，称为中性层。 二 梁的正应力强度计算dxmmnnoddxmmnnFFydddyyE)(ayEMM中性轴dAAdA NFAdAz yMAdAy zMAydAE0AzydAE0AdAyE2ZEI)(bEIMZZ1zzIyMba )(式得由zyozy1 纯弯曲时梁的正应力公式推导zzIyMMZ:横截面上的弯矩y:y:到中性轴的距离到中性轴的距离I IZ Z: :截面对中性轴的惯性矩截面对中性轴的惯性矩dxmmnnozyMM中性轴yzdA zWxMmaxmaxM中性轴MzzWMmax 2 2 梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件ZWMIzMy

3、maxmaxzWMIzyMmaxmaxmaxmax对梁的某一截面：对梁的某一截面：对全梁（等截面）：对全梁（等截面）： WzMmaxmax长为L的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b120mm，h180mm、L2m，F1.6kN，试求B截面上a、b、c各点的正应力。2LF2LABCbh6h2habcFLFLMB21123bhIZZaBaIyM123213bhhFLMPa65. 10bZcBcIyM122213bhhFLMPa47. 2（压）)( 试计算图示简支矩形截面木梁平放与竖放时的最大正应力，并加以比较。m4mkNq210020020010082qL竖放ZWMmaxmax6822

4、bhqLMPa6横放ZWMmaxmax6822hbqLMPa12 图示T形截面简支梁在中点承受集中力F32kN，梁的长度L2m。T形截面的形心坐标yc96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz1.02108mm4。求弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。2L2LABF4maxFLMkNm164 .9650200maxymm6 .153mmy4 .96maxzyC15050200504 .96ZIMymaxmaxMPa09.24ZIMymaxmaxMPa12.15长为长为2.5m2.5m的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为的工字钢外伸梁，如图示，其外伸部分为0.5m0.5m，梁，梁上承受均布荷载

5、，上承受均布荷载，q=30kN/m=30kN/m，试选择工字钢型号。已知工字钢抗，试选择工字钢型号。已知工字钢抗弯强度弯强度=215MPa=215MPa。m5 . 0m2mkNq30ABkNFA9 .46kNFB1 .28159 .311 .28kNkNm75. 316.13 maxMWZ32 .61 cm查表N0 12.6工字钢 WZ=77.5cm3 铸铁梁受荷载情况如图示。已知截面对形心轴的惯性矩Iz=403107m4，铸铁抗拉强度=50MPa，抗压强度=125MPa。试按正应力强度条件校核梁的强度。m1m2ABmkNq12m3kNF25CD2475.12mkN20030170611393

6、0zB截面MPa3 .36733max10403101391024BMPa8 .82733max1040310611024BC截面733max10403101391075.12CMPa44如果T截面倒置会如何? 铸铁制作的悬臂梁，尺寸及受力如图示，图中F20kN。梁的截面为T字形，形心坐标yc=96.4mm。已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力分别为+40MPa， 100MPa。试校核梁的强度是否安全。 1400600FF2ACBzy15050200504 .96kNm16kNm12ZlAAIyM831002. 14 .962501016MPa09.24ZyAAIyM831002. 14 .9

7、61016MPa12.15ZyBBIyM02. 14 .9625010123MPa07.18)()( 为了起吊重量为F300kN的大型设备，采用一台150kN和一台200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力 160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？ 吊车kN200吊车kN150BAC辅助梁xFl1.确定F加在辅助梁的位置FAFB 0AM0 xlFlFB 0BM0lFxFAlFxFAlxlFFPB令:kNlxlFFB150kNlFxF

8、A200mx667. 2mx2667. 22 x 为了起吊重量为F300kN的大型设备，采用一台150kN和一台200kN的吊车，以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁，组成临时的附加悬挂系统，如图示。如果已知辅助梁的长度l=4m，型钢材料的许用应力 160MPa ，试计算：1.F加在辅助梁的什么位置，才能保证两台吊车都不超载？2.辅助梁应该选择多大型号的工字钢？ 吊车kN200吊车kN150BAC辅助梁xFlFAFB667. 22 x 667. 2200maxlAMkNm6 .266 2150maxBMkNm300 zWBMmaxmax 3max1875cmBMWZ%100187518601875

9、%.802.确定I字钢型号选择确定I字钢型号:INO50a 图示结构承受均布载荷，AC为10号工字钢梁，B处用直径d=20mm的钢杆BD悬吊，梁和杆的许用应力 160MPa 。不考虑切应力，试计算结构的许可载荷q。m2m1ABDCqdFAFBkNqFA43kNqFB49329qq21ZWmaxM ZWq5 . 0 mkNWqZ/68.155 . 0 AFNBD梁的强度杆的强度 24149dq 291dq mkN /3 .22 mkNq/68.15验算题图所示广告牌立柱的强度。已知风载设计值为0.5kN/m2，工字钢立柱的215MPa。m2m2m2II2040INmkNq/125 . 0mkNq

10、lM/5 .12212max查表:3310237mmWZMPaWMZ7 .52 m5 试对图示结构布置图中的L2梁进行截面选择。两梁均采用工字钢截面，215MPa，已知L1梁上简支板的荷载设计值为3.5kN/m2。2L1Lm1052m4m2mkNq/725 . 3kNF5 .3143675 .315 .315 .315 .31kNm189 33max87921510189cmMWZ查表:I 36ahbxdxqBlA简支梁如图所示，试求梁的最底层纤维的总伸长。解： 1、计算梁底层微段的伸长量ZWxMx)()()()(xExZEWxMx)()(6212122bhEqxqlx)(322xlxEbhq

11、dxdxx)()(dxxlxEbhqdx)(3)(222、梁的最底层纤维的总伸长ldxl0)(lxlxlEbhq0322)32(3232Ebhql 承受相同弯矩Mz的三根直梁，其截面组成方式如图所示。图（a）的截面为一整体；图（b）的截面由两矩形截面并列而成（未粘接）；图（c）的截面有两矩形截面上下叠合而成（未粘接）。三根梁中的最大正应力分别为max（a）、 max（b）、 max（c）。关于三者之间的关系有四种答案，试判断哪一种是正确的。；)()()()()()()()()()()()()()()()(maxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmaxmaxcbaDcbaCc

12、baBcbaAddd2d2dd2d2d(a)(b)(c)z33max66)(dMdMazzz32max66.22)(dMddMbzzzz32max12622)(dMddMczzB三 梁的剪应力强度计算假设：假设：1、横截面上的方向与FQ平行2、沿截面宽度是均匀分布的zyFs1 几种常见截面梁的剪应力计算公式(1)矩形截面梁的剪应力FaaA1NF2NFxdx112212aayyyaa12dxb0*1*2bdxFFyNN*1*1ANdAF*1AzdAIMy*1AzdAyIM*2*2ANdAF*1AzdAIydMMbdxdAyIdMyAz*1zSdxdMbISzzy*bISFzzQ*(1)矩形截面梁

13、的剪应力yzby2/h2/hMdMM dA1yF FQ Q横截面上的剪力；横截面上的剪力；I IZ Z截面对中性轴的惯性矩；截面对中性轴的惯性矩；bb截面的宽度；截面的宽度； S SZ Z宽度线一侧的面积对中性轴的静矩宽度线一侧的面积对中性轴的静矩. . bISFZzQ*maxbzyAy0y)(223423yhbhFQymaxAFbhFQQ23232/h2/h对于矩形截面的对于矩形截面的 *zS12),41 (8)2(21)2(3222*bhIhybhyhyyhbSzz矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。求max ,max。F2l2lhb4maxFLM62bhWZZWMmaxmax2614

14、bhFL223bhFL2maxFFQAFQ23maxbhF223bhF43maxmaxbhFbhFL43232hL25hL10maxmax细长等值梁 横截面上的切应力(95-97)由腹板承担,而翼缘仅承担了(3-5) ,且翼缘上的切应力情况又比较复杂.为了满足实际工程中计算和设计的需要仅分析腹板上的切应力.)4(2)44(2)22)(2()2222)(22(22121211111*yhdhhbyhyyhdhhhhhbSzdIFdISFZQZzQ*22121242442yhdhhb88821212maxdhbhbhdIFZQ88212minbhbhdIFZQ*maxZZSI(2)工字形截面梁的剪

15、应力maxminzdbt1hhyOy对于图中阴影部分面积对中性轴的静矩dhFQ1max近似计算公式:zydAFQ34max42dADdAFQ2maxA为圆环形截面面积(3)圆形和圆环形截面梁的最大剪应力 如图所示倒T型外伸梁，已知q=3kN/m，F1=12kN，F2=18kN，形心主惯性矩IZ=39800cm4。（1）试求梁的最大拉应力和最大压应力及其所在的位置；（2）若该梁是由两个矩形截面的厚板条沿图示截面上的ab线（实际是一水平面）胶合而成，为了保证该梁的胶合连接强度，水平接合面上的许用切应力值是多少？m6q1Fm3ABm32FCD2003005 .14880z50ab1222414341

16、4363068.32最大拉应力发生在B截面上4331039800105 .1483501036MPa5 .16最大压应力发生在Fs=0的截面上4331039800105 .1483501068.32MPa15ab线上最大切应力发生在BC段bISFZZS*255 .14850200*ZS33*101235mmSZ80103980010123510224-33ab1MPa58 . 0ab1200103980010123510224-33ab2MPa34. 0ab2 MPa85. 0 2 梁的切应力强度条件 bISFZZS* 最大正应力发生在最大弯矩截面的上、下边缘处，该处的切应力为零，即正应力危险

17、点处于单轴应力状态； 最大切应力通常发生在最大剪力截面的中性轴处，该处的正应力为零，即切应力危险点处于纯剪切应力状态；FLbh两个尺寸完全相同的矩形截面梁叠加在一起承受荷载如图示,若材料许用应力为,其许可荷载F为多少?如将两根梁用一个螺栓联成一整体,则其许可荷载F为多少?若螺栓材料许用切应力为,求螺栓的最小直径.两梁叠加:zzzWM2maxmax622bhFL23bhFL max 23bhFL LbhF32两梁用螺栓连接两梁只有一个中性轴zWMmaxmax622hbFL223bhFL LbhF322将两个梁连接成一个整体后,承载能力提高一倍.梁中性层处切应力AFs23max bhLbh2322

18、32 Lh2中性层剪力bLFsmaxAFs 422dbh hbd2四 梁的合理设计 1 合理选择截面形状，尽量增大Wz值(1)梁的合理截面62bh62hb349 cm10ON372.9cm3167.0a3118.0a 工字形、槽形截面比矩形截面合理，矩形截面比圆形截面合理2.2.根据材料特性选择截面根据材料特性选择截面对于抗拉和抗压不相同的脆性材料最好选用关于中性轴不对称的截面二、合理布置梁的形式和荷载，以降低最大弯矩值1. 合理布置梁的支座lqBAl 6 . 0qBAl 2 . 0l 2 . 02125. 0ql2025. 0ql2025. 0ql2025. 0ql2. 适当增加梁的支座lq

19、BAlqBA2125. 0ql2l2l20175. 0ql203125. 0ql3. 3. 改善荷载的布置情况改善荷载的布置情况2lF2l+Fl41llFq 2125. 0ql三、采用变截面梁钢筋xxx混凝土四、合理利用材料钢筋混凝土材料在合理使用材料方面是最优越的)(a)(bdhb 矩形截面简支梁由圆形木材刨成，已知F=5kN，a=1.5m，=10MPa，试确定此矩形截面h/b的最优比值，使其截面的抗弯截面系数具有最大值，并计算所需圆木的最小直径d。FBaCAFFDaa解:1、确定WZ最大时的h/b62bhWZ6)(22bdb0dbdWZ0)2(6122 bh2bh2、确定圆木直径dmaxm

20、axZWMkNmFaM5 . 7maxmaxMWZPamN631010105 . 7341075mm62bhWZ)2(612bb341075mm。mmb131222bhd23b2210515mm 悬臂梁由两根槽钢背靠背(两者之间未作任何固定连接)叠加起来放置,构成如图示.在载荷作用下,横截面上的正应力分布如图_所示.IIFI-I剖面(A)(B)(C)(D)zzD 在图示十字形截面上,剪力为Fs,欲求m-m线上的切应力,则公式中 , _ .bISFZzs* A、 为截面的阴影部分对 轴的静矩， ；*zSz 4bB、 为截面的阴影部分对 轴的静矩， ；*zSz bC、 为截面的阴影部分对 轴的静矩， ；*zSz 4bD、 为截面的阴影部分对 轴的静矩， ；*zSz bzmmzsFy 4D