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1、-三角形四心问题-第 3 页七、三角形四心问题一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设 是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示O是三角形ABC的垂心，BE垂直AC，AD垂直BC， D、E是垂足.同理，为的垂心（3）设,是三角形的三条边长，O是ABC的内心为的内心.证明：分别为方向上的单位向量，
2、平分,)，令化简得（4）为的外心。三、例题分析例1：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的 例2： 是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的 例3：是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足， ，则点的轨迹一定通过的四、巩固练习1已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为 2若的外接圆的圆心为O，半径为1，则 3点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是 4的外接圆的圆心为O，若，则是的 5是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的 6的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，则实数m = 7已知非零向量与满足(+)=0且= , 则ABC为 8已知三个顶点，若，则为