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1、-三角形四心与向量典型问题分析学生版-第 3 页三角形四心与向量的典型问题分析向量是数形结合的载体，有方向，大小，双重性，不能比较大小。在高中数学“平面向量”的学习中，一方面通过数形结合来研究向量的概念和运算；另一方面，我们又以向量为工具，运用数形结合的思想解决数学问题和物理的相关问题。在平面向量的应用中，用平面向量解决平面几何问题时，首先将几何问题中的几何元素和几何关系用向量表示，然后选择适当的基底向量，将相关向量表示为基向量的线性组合，把问题转化为基向量的运算问题，最后将运算的结果再还原为几何关系。下面就以三角形的四心为出发点，应用向量相关知识，巧妙的解决了三角形四心所具备的一些特定的性质
2、。既学习了三角形四心的一些特定性质，又体会了向量带来的巧妙独特的数学美感。一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、典例析解（一）、“重心”的向量风采图【命题1】 已知是所在平面上的一点，若，则是的重心如图.【命题2】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则的轨迹一定通过的重心.M图（二）、“垂心”的向量风采图【命题3】 是所在平面上一点，若，则是的垂心如图.图
3、【命题4】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的垂心（三）、“内心”的向量风采【命题5】 已知为所在平面上的一点，且， 若，则是的内心图图【命题6】 已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的内心（四）、“外心”的向量风采【命题7】 已知是所在平面上一点，若，则是的外心图图【命题7】 已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，则动点的轨迹一定通过的外心。尝试练习：1已知三个顶点及平面内一点，满足，若实数满足：，则的值为（ ）A2 B C3 D62若的外接圆的圆心为O，半径为1，则( )A B0 C1 D3点在内部且满足，则面积与凹四边形面积之比是（ ）A0 B C D4的外接圆的圆心为O，若，则是的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心 5是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，若，则是的（ ）A外心 B内心 C重心 D垂心