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1、-平面向量的概念及线性运算24460-第 10 页平面向量的概念及线性运算知识点：1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小，又有方向的量统称为向量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线0与任一向量平行相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算交换律：abba结合
2、律：(ab)ca(bc)减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(1)(a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab3.向量共线的判定定理a是一个非零向量，若存在一个实数，使得ba，则向量b与非零向量a共线选择题：给出下列命题：零向量的长度为零，方向是任意的；若a，b都是单位向量，则ab；向量与相等则所有正确命题的序号是()A B C D解析根据零向量的定义可知正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单
3、位向量不一定相等，故错误；向量与互为相反向量，故错误已知下列各式：；，其中结果为零向量的个数为()A1 B2 C3 D4解析由题知结果为零向量的是，故选B.设a0为单位向量，若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()A0 B1 C2 D3解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正
4、确的是()Aa0b0 Ba0b01 C|a0|b0|2 D|a0b0|2解析是单位向量，|a0|1，|b0|1设a是非零向量，是非零实数，下列结论中正确的是()Aa与a的方向相反 Ba与2a的方向相同 C|a|a| D|a|a解析对于A，当0时，a与a的方向相同，当0时，a与a的方向相反，B正确；对于C，|a|a|，由于|的大小不确定，故|a|与|a|的大小关系不确定；对于D，|a是向量，而|a|表示长度，两者不能比较大小设a、b是两个非零向量()A若|ab|a|b|，则ab B若ab，则|ab|a|b|C若|ab|a|b|，则存在实数，使得baD若存在实数，使得ba，则|ab|a|b|解析对
5、于A，可得cosa，b1，ab不成立；对于B，满足ab时|ab|a|b|不成立；对于C，可得cosa，b1，成立，而D显然不一定成立如图，已知a，b，3，用a，b表示，则等于()Aab B.ab C.ab D.ab解析ab，又3，(ab)，b(ab)ab如图，在正六边形ABCDEF中，()A0 B. C. D.解析由题图知.如图所示，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，Ab，则A()Aab B.ab Cab D.ab解析连接CD，C，D是半圆弧的三等分点，得CDAB且a，ba已知向量a3b，5a3b，3a3b，则()AA，B，C三点共线 BA，B，D三点共线CA，C，D三
6、点共线 DB，C，D三点共线解析：2a6b2(a3b)2，、共线，又公共点B，A、B、D三点共线设D为ABC所在平面内一点，3，则()A. B. C. D.解析3，3()，即43，.设D，E，F分别为ABC的三边BC，CA，AB的中点，则等于()A. B. C. D.解析()()()在ABC中，c，b，若点D满足2，则等于()A.bc B.cb C.bc D.bc解析2，22()，32，bc.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于()A. B2 C3 D4解析()()224已知点O，A，B不在同一条直线上，点P为该平面上一点，且22，则()A点P
7、在线段AB上 B点P在线段AB的反向延长线上C点P在线段AB的延长线上 D点P不在直线AB上解析22，2，点P在线段AB的反向延长线上，故选B.在ABC中，已知D是AB边上的一点，若2，则等于()A. B. C D解析2，即2()，.在ABC中，点D在线段BC的延长线上，且3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，若x(1x)，则x的取值范围是()A. B. C. D.解析设y，yy()y(1y).3，点O在线段CD上(与点C，D不重合)，y，x(1x)，xy，x.已知a，b是不共线的两个向量，xab，ayb(x，yR)，若A，B，C三点共线，则点P(x，y)的轨迹是()A直线 B双曲线 C圆
8、 D椭圆解析若A，B，C三点共线，即xab(ayb)xy1，故选B.设a，b不共线，2apb，ab，a2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为()A2 B1 C1 D2解析ab，a2b，2ab.又A，B，D三点共线，共线设，2apb(2ab)，22，p，1，p1.已知平面内一点P及ABC，若，则点P与ABC的位置关系是()A点P在线段AB上 B点P在线段BC上C点P在线段AC上 D点P在ABC外部解析由得，即2，所以点P在线段AC上已知点O为ABC外接圆的圆心，且0，则ABC的内角A等于()A30 B60 C90 D120解析由0，知点O为ABC的重心，又O为ABC外接圆的圆心，ABC为等边
9、三角形，A60.填空题：设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，ADAB，BEBC.若12(1，2为实数)，则12的值为_解析()，12，1，2，故12.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，则_解析ABCD为平行四边形，2，已知，故2已知ABCD的对角线AC和BD相交于O，且a，b，则_，_(用a，b表示)解析如图，ba，ab.已知a与b是两个不共线向量，且向量ab与(b3a)共线，则_.解析由已知得abk(b3a)，解得已知O为四边形ABCD所在平面内一点，且向量，满足等式，则四边形ABCD的形状为_解析由得，四边形ABCD为平行四边形若点O是ABC所在平面内的一点，且
10、满足|2|，则ABC的形状为_解析：2()()，|，故A，B，C为矩形的三个顶点，ABC为直角三角形设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，216，|，则|_解析由|得，则AM为RtABC斜边BC上的中线，|2在ABC中，点M，N满足2，.若xy，则x_；y_解析()，x，y.解答题：在ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示，.解()ab.()()ab.设两个非零向量e1和e2不共线(1)如果e1e2，3e12e2，8e12e2，求证：A、C、D三点共线；(2)如果e1e2，2e13e2，2e1ke2，且A、C、D三点共线，求k的值
11、(1)证明e1e2，3e12e2，8e12e2，4e1e2(8e12e2)，与共线又与有公共点C，A、C、D三点共线(2)解(e1e2)(2e13e2)3e12e2，A、C、D三点共线，与共线，从而存在实数使得，即3e12e2(2e1ke2)，得解得，k.专项能力提升设a，b不共线，2apb，ab，a2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值是()A2 B1 C1 D2解析ab，a2b，2ab.又A，B，D三点共线，共线设，2apb(2ab)，22，p，1，p1.如图，已知AB是圆O的直径，点C，D是半圆弧的两个三等分点，a，b，则等于()Aab B.ab Cab D.ab解析连接CD，由点C，
12、D是半圆弧的三等分点，得CDAB且a，ba.设G为ABC的重心，且sinAsinBsinC0，则B的大小为()A45 B60 C30 D15解析G是ABC的重心，0，()，将其代入sinAsinBsinC0，得(sinBsinA)(sinCsinA)0.又，不共线，sinBsinA0，sinCsinA0，则sinBsinAsinC根据正弦定理知bac，ABC是等边三角形，则角B60设e1与e2是两个不共线向量，3e12e2，ke1e2，3e12ke2，若A，B，D三点共线，则k的值为()A B C D不存在解析由题意，A，B，D三点共线，故必存在一个实数，使得.又3e12e2，ke1e2，3e12ke2，3e12ke2(ke1e2)(3k)e1(2k1)e2，3e12e2(3k)e1(2k1)e2，解得k.在ABCD中，a，b，3，M为BC的中点，则_(用a，b表示)解析由3得(ab)，ab，(ab)ab.如图，经过OAB的重心G的直线与OA，OB分别交于点P，Q，设m，n，m，nR，则的值为_解析设a，b，由题意知()(ab)，nbma，ab，由P，G，Q三点共线得，存在实数，使得，即nbmaab，从而消去得3.