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1、-平面向量的概念及线性运算37883-第 13 页5.1平面向量的概念及线性运算1.向量的有关概念名称定义备注向量既有_又有_的量；向量的大小叫做向量的_(或称_)平面向量是自由向量零向量长度为_的向量；其方向是任意的记作_单位向量长度等于_的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向_或_的非零向量0与任一向量_或共线共线向量_的非零向量又叫做共线向量相等向量长度_且方向_的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度_且方向_的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算(1)交换律：ab_.(2)结合律：(ab)c_.减法求a与b的相
2、反向量b的和的运算叫做a与b的差_法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|_；(2)当0时，a的方向与a的方向_；当|b|，则ab；(2)若|a|b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反；(3)若|a|b|，且a与b方向相同，则ab；(4)由于零向量的方向不确定，故零向量不与任意向量平行；(5)若向量a与向量b平行，则向量a与b的方向相同或相反；(6)若向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上；(7)起点不同，但方向相同且模相等的几个向量是相等向量；(8)任一向量与它的相反向量不相等.题型二向量的线性运算例2在ABC中，D、E分别为BC、AC边上的中点，G为BE上
3、一点，且GB2GE，设a，b，试用a，b表示，.探究提高(1)解题的关键在于搞清构成三角形的三个问题间的相互关系，能熟练地找出图形中的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本向量表示某个向量问题的基本技巧：观察各向量的位置；寻找相应的三角形或多边形；运用法则找关系；化简结果.在ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设a，b，试用a，b表示.题型三平面向量的共线问题例3设两个非零向量a与b不共线，(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使kab和akb共线.探究提高(1)证明三点共线问题，可用向量共线解决，
4、但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.(2)向量a、b共线是指存在不全为零的实数1，2，使1a2b0成立，若1a2b0，当且仅当120时成立，则向量a、b不共线. 如图所示，ABC中，在AC上取一点N，使得ANAC，在AB上取一点M，使得AMAB，在BN的延长线上取点P，使得NPBN，在CM的延长线上取点Q，使得时，试确定的值.11.用方程思想解决平面向量的线性运算问题试题：(14分)如图所示，在ABO中，AD与BC相交于点M，设a，b.试用a和b表示向量.审题视角(1)用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本要领，要尽可能地转化到平行四边形
5、或三角形中去.(2)既然能用a、b表示，那我们不妨设出manb.(3)利用共线定理建立方程，用方程的思想求解.规范解答解设manb，则manba(m1)anb.ab.3分又A、M、D三点共线，与共线.存在实数t，使得t，即(m1)anbt.5分(m1)anbtatb.，消去t得，m12n，即m2n1.7分又manbaanb，baab.又C、M、B三点共线，与共线.10分存在实数t1，使得t1，anbt1，消去t1得，4mn1.12分由得m，n，ab.14分批阅笔记(1)本题考查了向量的线性运算，知识要点清楚，但解题过程复杂，有一定的难度.(2)学生的易错点是，找不到问题的切入口，亦即想不到利用
6、待定系数法求解.(3)数形结合思想是向量加法、减法运算的核心，向量是一个几何量，是有“形”的量，因此在解决向量有关问题时，多数习题要结合图形进行分析判断求解，这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题学生易忽视A、M、D共线和B、M、C共线这个几何特征.(4)方程思想是解决本题的关键，要注意体会.方法与技巧1.将向量用其它向量(特别是基向量)线性表示，是十分重要的技能，也是向量坐标形式的基础.2.可以运用向量共线证明线段平行或三点共线问题.如且AB与CD不共线，则ABCD；若，则A、B、C三点共线.失误与防范1.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向
7、；二是考虑零向量是否也满足条件.要特别注意零向量的特殊性.2.在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.5.1平面向量的概念及线性运算(时间：60分钟)A组专项基础训练题组一、选择题1.给出下列命题：两个具有公共终点的向量，一定是共线向量；两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小；a0 (为实数)，则必为零；，为实数，若ab，则a与b共线.其中错误命题的个数为()A.1B.2C.3D.42.设P是ABC所在平面内的一点，2，则()A.0B.0C.0D.03.已知向量a，b不共线，ckab (kR)，dab.如果cd，那么()A.k1且c与d同向B.k1且c与
8、d反向C.k1且c与d同向D.k1且c与d反向二、填空题4.设a、b是两个不共线向量，2apb，ab，a2b，若A、B、D三点共线，则实数p的值为_.5.在平行四边形ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若，其中，R，则_.6.如图，在ABC中，P是BN上的一点，若m，则实数m的值为_.三、解答题7.如图，以向量a，b为边作OADB，用a、b表示、.8.若a，b是两个不共线的非零向量，a与b起点相同，则当t为何值时，a，tb，(ab)三向量的终点在同一条直线上？B组专项能力提升题组一、选择题1.已知P是ABC所在平面内的一点，若，其中R，则点P一定在()A.ABC的内部B.AC边所在直线
9、上C.AB边所在直线上D.BC边所在直线上2.已知ABC和点M满足0，若存在实数m使得m成立，则m等于()A.2 B.3C.4 D.53.O是平面上一定点，A、B、C是平面上不共线的三个点，动点P满足： ，0，)，则P的轨迹一定通过ABC的()A.外心 B.内心C.重心 D.垂心二、填空题4.已知向量a，b是两个非零向量，则在下列四个条件中，能使a、b共线的条件是_(将正确的序号填在横线上).2a3b4e，且a2b3e；存在相异实数、，使ab0；xayb0(实数x，y满足xy0)；若四边形ABCD是梯形，则与共线.5.如图所示，在ABC中，点O是BC的中点.过点O的直线分别交直线AB、AC于不
10、同的两点M、N，若m，n，则mn的值为_.6.在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则_.7.已知直线xya与圆x2y24交于A、B两点，且|，其中O为坐标原点，则实数a的值为_.三、解答题8.已知点G是ABO的重心，M是AB边的中点.(1)求；(2)若PQ过ABO的重心G，且a，b，ma，nb，求证：3.答案要点梳理1.大小方向长度模零01个单位相同相反方向相同或相反平行相等相同相等相反2.三角形平行四边形(1)ba(2)a(bc)三角形(1)|a|(2)相同相反0aaaab3.ba基础自测1.2.ba3.4.25.A题型分类深度剖析例1变式训练1解(1)不正确，因为向量只讨论相等和不等，
11、而不能比较大小.(2)不正确，因为向量模相等与向量的方向无关.(3)正确.(4)不正确，因为规定零向量与任意向量平行.(5)不正确，因为两者中若有零向量，零向量的方向是任意的.(6)不正确，因为与共线，而AB与CD可以不共线即ABCD.(7)正确.(8)不正确，因为零向量可以与它的相反向量相等.例2解()ab；()()ab.变式训练2解()()(1)(1)ab.又m()(1m)a(1m)b，解得m，ab.例3(1)证明ab，2a8b，3(ab)，2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5.、共线，又它们有公共点B，A、B、D三点共线.(2)解kab与akb共线，存在实数，使kab(akb)
12、，即kabakb.(k)a(k1)b.a、b是不共线的两个非零向量，kk10，k210.k1.变式训练3课时规范训练A组1.C2.B3.D4.15.6.7.解ab，ab，ab.又ab，(ab).ababab.即ab，ab，ab.8.解设a，tb，(ab)，ab，tba.要使A、B、C三点共线，只需.即abtba.有当t时，三向量终点在同一直线上.B组1.B2.B3.B4.5.26.7.28.(1)解2，又2，0.(2)证明显然(ab).因为G是ABO的重心，所以(ab).由P、G、Q三点共线，得，所以，有且只有一个实数，使.而(ab)maab，nb(ab)ab，所以ab.又因为a、b不共线，所以，消去，整理得3mnmn，故3.