平面向量中的最值问题浅析(4页).doc

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1、-平面向量中的最值问题浅析-第 4 页平面向量中的最值问题浅析耿素兰 山西平定二中(045200)平面向量中的最值问题多以考查向量的基本概念、基本运算和性质为主,解决此类问题要注意正确运用相关知识,合理转化。一、利用函数思想方法求解例1、给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为.如图所示,点C在以O为圆心的圆弧上变动.若其中,则的最大值是_.图 1 1分析:寻求刻画点变化的变量,建立目标与此变量的函数关系是解决最值问题的常用途径。解:设,以点为原点,为轴建立直角坐标系,则,。即因此,当时,取最大值2。例2、已知点Q为射线OP上的一个动点,当取最小值时,求分析:因为点Q在射线OP上,向量与同向

2、,故可以得到关于坐标的一个关系式,再根据取最小值求解:设,则当时,取最小值-8,此时二、利用向量的数量积求最值例3、三边长为,以A为圆心,r为半径作圆,PQ为直径,试判断P、Q在什么位置时,有最大值。分析:用已知向量表示未知向量,然后用数量积的性质求解。解:图 2 1当且仅当与同向时,有最大值。三、利用向量模的性质求解例4:已知求的最大值与最小值。分析:注意到,考虑用向量模的性质求解。解:由条件知。设,则=,所以当与同向时,取最大值3;当与反向时,取最小值1。四、利用几何意义,数形结合求解例5、如图,已知正六边形,下列向量的数量积中最大的是(A) (B) 图3 (C) (D)分析:平面向量数量积的几何意义为等于的长度与在方向上的投影的乘积。显然,由图可知,在方向上的投影最大,故选(A)。例6、是两个夹角为1200的单位向量,且p+q=1(p、qR),则的最小值是 分析: 如图3,设则即因此点C在直线AB上,显然当OCAB时,最小,其最小值为。 COAB图4

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