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1、-高中数学选修2-2推理与证明教案及章节测试及答案-第 7 页推理与证明一、核心知识1.合情推理（1）归纳推理的定义： 从个别事实 中推演出一般性 的结论，像这样的推理通常称为归纳推理。 归纳推理是由部分到整体 ，由个别到一般 的推理。 （2）类比推理的定义： 根据两个（或两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出它们在其他方面也相似或相同，这样的推理称为类比推理。类比推理是由特殊到特殊的推理。 2.演绎推理(1)定义： 演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。演绎推理是由一般到特殊的推理。(2)演绎推理的主要形式：三段论 “三段
2、论”可以表示为：大前题：M 是 P小前提：S 是 M 结论：S 是 P。 其中是大前提，它提供了一个一般性的原理；是小前提，它指出了一个 特殊对象；是结论，它是根据一般性原理，对特殊情况做出的判断。3.直接证明直接证明是从命题的条件或结论出发，根据已知的定义、公理、定理，直接 推证结论的真实性。直接证明包括综合法和分析法。 （1）综合法就是 “由因导果” ， 从已知条件出发， 不断用必要条件代替前面的条件，直至推出要证的结论。 （2）分析法就是从所要证明的结论出发，不断地用充分条件替换前面的条件或者 一定成立的式子，可称为“由果索因” 。要注意叙述的形式：要证 A，只要证 B，B 应是 A 成
3、立的充分条件. 分析法和综合法常结合使用，不要将它们割裂开。 4反证法（1）定义：是指从否定的结论出发，经过逻辑推理，导出矛盾，证实结论的否 定是错误的，从而肯定原结论是正确的证明方法。 （2）一般步骤：（1）假设命题结论不成立，即假设结论的反面成立；从假设出发，经过推理论证，得出矛盾；从矛盾判定假设不正确 ，即所求证命题正确。（3）反证法的思维方法:正难则反 5数学归纳法（只能证明与正整数有关的数学命题）的步骤 (1)证明：当 n 取第一个值 n0（n0N*）时命题成立； (2)假设当 n=k (kN*，且 kn0)时命题成立，证明当 n=k+1 时命题也成立由(1)，(2)可知，命题对于从
4、 n0 开始的所有正整数 n 都正确。二、典型例题例1. 已知 ，猜想的表达式为（ B ）A.； B.； C.； D.例2. 已知，计算得，由此推测：当时，有 例3. 已知：； 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的命题：_=（ * ）并给出（ * ）式的证明.解：一般形式: 证明：左边 = = = = = （将一般形式写成 等均正确。）例4若均为实数，且。求证：中至少有一个大于0。答案：（用反证法）假设都不大于0，即，则有，而 =均大于或等于0，这与假设矛盾，故中至少有一个大于0。例5.求证：1+3+5+（2n+1）=（nN*）三、课后练习1数列1,3,6,10,15，的递推公式可能是(
5、B)A. B.C. D. 解析记数列为an，由已知观察规律：a2比a1多2，a3比a2多3，a4比a3多4，可知当n2时，an比an1多n，可得递推关系(n2，nN*)2用数学归纳法证明等式123(n3)(nN*)时，验证n1，左边应取的项是(D)A1 B12 C123 D1234 解析当n1时，左12(13)124，故应选D.3已知f(n)，则(D)Af(n)中共有n项，当n2时，f(2)Bf(n)中共有n1项，当n2时，f(2)Cf(n)中共有n2n项，当n2时，f(2)Df(n)中共有n2n1项，当n2时，f(2) 解析项数为n2(n1)n2n1，故应选D.4已知abc0，则abbcca
6、的值(D)A大于0 B小于0 C不小于0 D不大于0 解析解法1：abc0，a2b2c22ab2ac2bc0，abacbc0.5已知c1，a，b，则正确的结论是(B)Aab Bab Cab Da、b大小不定 解析a，b，因为0，0，所以0，所以a0，则。答案：证明：要证，只需证。a0，两边均大于零，因此只需证只需证，只需证，只需证，即证，它显然成立。原不等式成立。14.中，已知，且，求证：为等边三角形。解: 分析：由 由 所以为等边三角形15已知：a、b、cR，且abc1. 求证：a2b2c2.证明由a2b22ab，及b2c22bc，c2a22ca.三式相加得a2b2c2abbcca.3(a2b2c2)(a2b2c2)2(abbcca)(abc)2.由abc1，得3(a2b2c2)1，即a2b2c2.