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1、-高中数学解析几何题型-第 20 页解析几何题型考点1.求参数的值求参数的值是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,构造方程解之.例1若抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，则的值为（ ）A B C D考查意图: 本题主要考查抛物线、椭圆的标准方程和抛物线、椭圆的基本几何性质.解答过程：椭圆的右焦点为(2,0)，所以抛物线的焦点为(2,0)，则，考点2. 求线段的长求线段的长也是高考题中的常见题型之一,其解法为从曲线的性质入手,找出点的坐标,利用距离公式解之.例2已知抛物线y-x2+3上存在关于直线x+y=0对称的相异两点A、B，则|AB|等于A.3 B.4 C.3 D.4考查意图: 本
2、题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系和距离公式的应用.解：设直线的方程为，由，进而可求出的中点，又由在直线上可求出，由弦长公式可求出例3如图，把椭圆的长轴分成等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于七个点，是椭圆的一个焦点，则_.考查意图: 本题主要考查椭圆的性质和距离公式的灵活应用.解答过程：由椭圆的方程知考点3. 曲线的离心率曲线的离心率是高考题中的热点题型之一,其解法为充分利用:(1)椭圆的离心率e(0,1) (e越大则椭圆越扁);(2) 双曲线的离心率e(1, ) (e越大则双曲线开口越大).例4已知双曲线的离心率为2，焦点是，则双曲线方程为A B C D考查意图:本题主要考查双曲线
3、的标准方程和双曲线的离心率以及焦点等基本概念.解答过程： 所以故选(A).例5已知双曲线,则双曲线右支上的点P到右焦点的距离与点P到右准线的距离之比等于（ ） A. B. C. 2 D.4考查意图: 本题主要考查双曲线的性质和离心率e(1, ) 的有关知识的应用能力.解答过程：依题意可知 考点4.求最大(小)值求最大(小)值, 是高考题中的热点题型之一.其解法为转化为二次函数问题或利用不等式求最大(小)值:特别是,一些题目还需要应用曲线的几何意义来解答.例6已知抛物线y2=4x,过点P(4,0)的直线与抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，则y12+y22的最小值是 .考查意图:
4、 本题主要考查直线与抛物线的位置关系，以及利用不等式求最大(小)值的方法.解:设过点P(4,0)的直线为故填32.考点5 圆锥曲线的基本概念和性质例7 在平面直角坐标系xOy中,已知圆心在第二象限、半径为2的圆C与直线y=x相切于坐标原点O.椭圆=1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10.（1）求圆C的方程；（2）试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长.若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 解答过程 (1) 设圆C 的圆心为 (m, n) 则 解得 所求的圆的方程为 (2) 由已知可得 ， 椭圆的方程为 , 右焦点为 F( 4, 0) ;
5、 假设存在Q点使,整理得 ， 代入 得: , 因此不存在符合题意的Q点.例8 如图,曲线G的方程为.以原点为圆心，以 为半径的圆分别与曲线G和y轴的 正半轴相交于 A 与点B. 直线AB 与 x 轴相交于点C.（）求点 A 的横坐标 a 与点 C 的横坐标c的关系式；（）设曲线G上点D的横坐标为,求证：直线CD的斜率为定值.解答过程（I）由题意知，因为由于 （1）由点B（0，t），C（c，0）的坐标知，直线BC的方程为又因点A在直线BC上，故有将（1）代入上式，得解得 .（II）因为，所以直线CD的斜率为所以直线CD的斜率为定值.例9已知椭圆，AB是它的一条弦，是弦AB的中点，若以点为焦点，椭
6、圆E的右准线为相应准线的双曲线C和直线AB交于点，若椭圆离心率e和双曲线离心率之间满足，求：（1）椭圆E的离心率；（2）双曲线C的方程.解答过程：（1）设A、B坐标分别为， 则，二式相减得： 所以， 则；（2）椭圆E的右准线为，双曲线的离心率， 设是双曲线上任一点，则： 两端平方且将代入得：或， 当时，双曲线方程为：，不合题意，舍去； 当时，双曲线方程为：，即为所求.考点6 利用向量求曲线方程和解决相关问题例10双曲线C与椭圆有相同的焦点，直线y=为C的一条渐近线.(1)求双曲线C的方程；(2)过点P(0,4)的直线，交双曲线C于A,B两点，交x轴于Q点（Q点与C的顶点不重合）.当，且时，求Q
7、点的坐标.考查意图: 本题考查利用直线、椭圆、双曲线和平面向量等知识综合解题的能力,以及运用数形结合思想,方程和转化的思想解决问题的能力.解答过程：（）设双曲线方程为, 由椭圆,求得两焦点为，对于双曲线，又为双曲线的一条渐近线 解得 ，双曲线的方程为（）解法一：由题意知直线的斜率存在且不等于零.设的方程：，,则.在双曲线上， .同理有：若则直线过顶点，不合题意.是二次方程的两根.,，此时.所求的坐标为.解法二：由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程，则.， 分的比为.由定比分点坐标公式得下同解法一解法三：由题意知直线的斜率存在且不等于零设的方程：，则.又， ,即.将代入得.，否则与渐近线平行
8、.解法四：由题意知直线l得斜率k存在且不等于零，设的方程：，,则.同理.即.（*）又消去y得.当时，则直线l与双曲线得渐近线平行，不合题意，.由韦达定理有： 代入（*）式得.所求Q点的坐标为.例11 设动点P到点A(l，0)和B(1，0)的距离分别为d1和d2，APB2,且存在常数(01,使得d1d2 sin2（1）证明：动点P的轨迹C为双曲线，并求出C的方程；（2）过点B作直线交双曲线C的右支于M、N两点,试确定的范围,使0,其中点O为坐标原点 解答过程解法1：（1）在中，即，即（常数），点的轨迹是以为焦点，实轴长的双曲线方程为：（2）设，当垂直于轴时，的方程为，在双曲线上即，因为，所以当不
9、垂直于轴时，设的方程为由得：，由题意知：，所以，于是：因为，且在双曲线右支上，所以由知，解法2：（1）同解法1（2）设，的中点为当时，因为，所以；当时，又所以；由得，由第二定义得所以于是由得因为，所以，又，解得：由知考点7 利用向量处理圆锥曲线中的最值问题例12设椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为，过点的直线交椭圆E于A、B两点，且，求当的面积达到最大值时直线和椭圆E的方程.解答过程：因为椭圆的离心率为，故可设椭圆方程为，直线方程为，由得：，设，则又，故，即由得：，则，当，即时，面积取最大值，此时，即，所以，直线方程为，椭圆方程为.例13已知，且， 求的最大值和最小值.解答过程：
10、设，因为，且，所以，动点P的轨迹是以A、B为焦点，长轴长为6的椭圆，椭圆方程为，令，则，当时，取最大值，当时，取最小值.考点8 利用向量处理圆锥曲线中的取值范围问题例14（2006年福建卷）已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点.（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围.考查意图:本小题主要考查直线、圆、椭圆和不等式等基本知识，考查平面解析几何的基本方法，考查运算能力和综合解题能力.解答过程：（I）圆过点O、F，圆心M在直线上.设则圆半径由得解得所求圆的方程为（II）设直
11、线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根.记中点则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为例15已知双曲线C：，B是右顶点，F是右焦点，点A在x轴正半轴上，且满足成等比数列，过F作双曲线C在第一、三象限的渐近线的垂线，垂足为P，（1）求证：；（2）若与双曲线C的左、右两支分别相交于点D,E，求双曲线C的离心率e的取值范围.解答过程：（1）因成等比数列，故，即，直线：，由，故：，则：，即；（或，即）（2）由，由得：（或由）例16已知， （1）求点的轨迹C的方程； （2）若直线与曲线C交于A、B两点，且， 试求m的取值范围.解答过程：（1），因，故，即，故P点
12、的轨迹方程为.（2）由得：，设，A、B的中点为则，即A、B的中点为，则线段AB的垂直平分线为：，将的坐标代入，化简得：，则由得：，解之得或，又，所以，故m的取值范围是.考点9 利用向量处理圆锥曲线中的存在性问题例17已知A,B,C是长轴长为4的椭圆上的三点，点A是长轴的一个顶点，BC过椭圆的中心O，且，（1）求椭圆的方程；（2）如果椭圆上的两点P,Q使的平分线垂直于OA，是否总存在实数，使得？请说明理由；解答过程：（1）以O为原点，OA所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则，设椭圆方程为，不妨设C在x轴上方，由椭圆的对称性，又，即为等腰直角三角形，由得：，代入椭圆方程得：，即，椭圆方程为；（2）
13、假设总存在实数，使得，即，由得，则，若设CP：，则CQ：，由，由得是方程的一个根，由韦达定理得：，以代k得，故，故，即总存在实数，使得.考点10 利用向量处理直线与圆锥曲线的关系问题例18设G、M分别是的重心和外心，且， （1）求点C的轨迹方程； （2）是否存在直线m，使m过点并且与点C的轨迹交于P、Q两点，且？若存在，求出直线m的方程；若不存在，请说明理由.解答过程：（1）设，则， 因为，所以，则， 由M为的外心，则，即， 整理得：；（2）假设直线m存在，设方程为， 由得：， 设，则， 由得：， 即，解之得， 又点在椭圆的内部，直线m过点， 故存在直线m，其方程为.【专题训练与高考预测】一、
14、选择题1如果双曲线经过点，且它的两条渐近线方程是，那么双曲线方程是（） A B C D2已知椭圆和双曲线有公共的焦点，那么双曲线的的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 3已知为椭圆的焦点，M为椭圆上一点，垂直于x轴， 且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D.4二次曲线，当时，该曲线的离心率e的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5直线m的方程为，双曲线C的方程为，若直线m与双曲线C的右支相交于不重合的两点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D.6已知圆的方程为，若抛物线过点，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 二、填
15、空题7已知P是以、为焦点的椭圆上一点，若 ，则椭圆的离心率为 _ .8已知椭圆x2+2y2=12，A是x轴正方向上的一定点，若过点A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，点A的坐标是_ .9P是椭圆上的点，是椭圆的左右焦点，设，则k的最大值与最小值之差是_ .10给出下列命题： 圆关于点对称的圆的方程是；双曲线右支上一点P到左准线的距离为18，那么该点到右焦点的距离为；顶点在原点，对称轴是坐标轴，且经过点的抛物线方程只能是；P、Q是椭圆上的两个动点，O为原点，直线OP,OQ的斜率之积为，则等于定值20 .把你认为正确的命题的序号填在横线上_ .三、解答题11已知两点，动点P在y轴上的射影为Q，
16、（1）求动点P的轨迹E的方程； （2）设直线m过点A，斜率为k，当时，曲线E的上支上有且仅有一点C到直线m的距离为，试求k的值及此时点C的坐标.12如图，是双曲线C的两焦点，直线是双曲线C的右准线， 是双曲线C的两个顶点，点P是双曲线C右支上异于的一动点，直线、交双曲线C的右准线分别于M,N两点，（1）求双曲线C的方程；（2）求证：是定值.13已知的面积为S，且，建立如图所示坐标系，（1）若，求直线FQ的方程；（2）设，若以O为中心，F为焦点的椭圆过点Q，求当取得最小值时的椭圆方程.14已知点，点P在y轴上，点Q在x轴的正半轴上，点M在直线PQ上，且满足，（1）当点P在y轴上移动时，求点M的轨
17、迹C；（2）过点作直线m与轨迹C交于A、B两点，若在x轴上存在一点，使得为等边三角形，求的值.15已知椭圆的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点，向量与是共线向量（1）求椭圆的离心率e；（2）设Q是椭圆上任意一点， 、分别是左、右焦点，求 的取值范围；16已知两点M（-1，0），N（1，0）且点P使成公差小于零的等差数列，（）点P的轨迹是什么曲线？（）若点P坐标为，为的夹角，求tan【参考答案】一. 1C .提示，设双曲线方程为，将点代入求出即可.2D .因为双曲线的焦点在x轴上，故椭圆焦点为，双曲线焦点为，由得，所以，双曲线的渐近线为 .3C .设，则
18、，4.C .曲线为双曲线，且，故选C；或用，来计算.5B .将两方程组成方程组，利用判别式及根与系数的关系建立不等式组.6B .数形结合，利用梯形中位线和椭圆的定义.二.7解：设c为为椭圆半焦距， . 又 解得： 选D8解：设A（x0，0）（x00），则直线的方程为y=x-x0，设直线与椭圆相交于P（x1，y1），Q（x2、y2），由 y=x-x0 可得3x2-4x0x+2x02-12=0， x2+2y2=12，则，即x02=4，又x00，x0=2，A（2，0）91； .10.三. 11解（1）设动点P的坐标为，则点，因为，所以，即动点P的轨迹方程为：；（2）设直线m：，依题意，点C在与直线m
19、平行，且与m之间的距离为的直线上，设此直线为，由，即，把代入，整理得：，则，即，由得：，此时，由方程组 .12解：（1）依题意得：，所以， 所求双曲线C的方程为；（2）设，则，因为与共线，故，同理：，则，所以 .13解：（1）因为，则，设，则，解得，由，得，故，所以，PQ所在直线方程为或；（2）设，因为，则，由得：，又，则，易知，当时，最小，此时，设椭圆方程为，则，解得，所以，椭圆方程为 .14解：（1）设，由得：， 由得：，即， 由点Q在x轴的正半轴上，故， 即动点M的轨迹C是以为顶点，以为焦点的抛物线，除去原点；（2）设，代入得：设，则是方程的两个实根，则，所以线段AB的中点为，线段AB的垂直平分线方程为，令，得，因为为正三角形，则点E到直线AB的距离等于，又，所以，解得：， .15解：（1）， .是共线向量，b=c,故 .（2）设当且仅当时，cos=0， .16解：（）记P（x,y），由M（-1，0）N（1，0）得所以 . ， .于是， 是公差小于零的等差数列等价于 即 . 所以，点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的右半圆.（）点P的坐标为。 . 因为 0， 所以