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1、-大学文科高等数学习题-第 26 页一、极限1.根据极限定义证明：(1) (2)(3) (4)(5) (6)2.根据极限定义证明：. 问n应从何值开始，使3.设，问？n从何值开始，才能使与其极限之差的绝对值小于正数？当时，n应为何值？4.根据极限定义证明：(1) (2)(3)5.证明：不存在.6.证明：当时，与是同阶无穷小量.7.证明：.8.当时，两无穷小和中哪一个是高阶的？9.当时，无穷小和下列无穷小是否同阶？是否等价？(1); (2).10.设当时，求的值.11.求极限：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)12.求极限：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)(8)(9
2、)(10) (11)(12) (13)(14) (15)(16) (17)(18) (19)(20) (21) (22) (23)(24) (25)*13.若，求，的值.*14.求下列极限：(1)(2)(3)*15.利用极限存在准则证明：(1) (2)*16.利用极限存在准则证明数列的极限存在，并求出该极限.17.求下列极限：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12)(13) (14)(15) (16)(17) (18)(19) (20)(21) (22)(23) (24)(25) (26)18.已知，求常数.*19.求下列极限：(1) (2)(
3、3)(重根号) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)二、连续函数20.设函数，求，.21.设，求，.22.设，求，.23.设，求.24.设，求.25.设，求.26.设函数，当时，求及.27.设 ，求函数的定义域.28.设为定义在上的奇函数，且在上单调减少. 试证明：在上也单调减少.29.设函数在内单调增加，且对一切有. 证明：.30.证明任一定义在区间上的函数可表示为一个奇函数与一个偶函数之和.31.求下列各函数的定义域：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)32.求函数的定义域与值域.33.求下列函数的反函数：(1) (2)(3) (4)(5) (6)34.已知，求及
4、其定义域.35.设函数的定义域为，求下列各函数的定义域：(1) (2)(3) 36.设一矩形面积为，是将周长表示为宽的函数，并求其定义域.37.在半径为的球内嵌入一圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并确定此函数的定义域.38.用铁皮做一个容积为的圆柱形罐头筒，试将它的全面积表示成底半径的函数，并确定此函数的定义域.39.拟建一个容积为的长方体水池，设它的底为正方形，如果池底所用材料单位面积的造价是四周单位面积造价的2倍，试将总造价表示成底边长的函数，并确定此函数的定义域.40.设生产与销售某产品的总效益是产量的二次函数，经统计得知：当产量、2、4时，总效益、6、8，试确定总效益与产量的函数
5、关系.41.某商品供给量对价格的函数关系为今知当时；时；时. 求供给量对价格的函数关系.42.某化肥厂生产某产品1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时超过的部分需打9折出售，试将销售总收益与总销售量的函数关系用数学表达式表出.43.在区间上有3克重的物质均匀分布着. 此外又有1克重的物质集中在处. 设x在内变化，试将区间一段的质量M表为x的函数.44.求函数当，时的增量.45.求函数当，时的增量.46.若，求.47.下列函数在处是否连续？为什么？(1) (2)(3)48.讨论函数 在处的连续性.49.设，已知在处连续，试确定，的值.50.设，要使在内
6、连续，应当怎样选择？51.求极限：(1) (2)(3) (4)(5) (6)52.求证：当时，.53.求函数的连续区间，并求.*54.若，求的值.*55.若，求，的值.56.根据连续函数的性质，验证方程至少有一个根介于1和2之间.57.证明方程在开区间内至少有一个根.58.试证方程至少有一个小于1的正根.59.试证方程，其中，至少有一个正根，并且它不超过.60.证明方程在区间内各有一个实根.61.证明曲线在与值之间至少与轴有一个交点.*62.若函数在闭区间上连续，. 证明：至少有一点，使得.三、导数与微分63.按照导数定义，求下列函数的导数：(1) (2)64.一物体的运动方程为，求该物体在时
7、的瞬时速度.65.求在抛物线上点处的切线方程.66.求曲线在点处的切线方程.67.曲线上哪一点处的切线与直线平行？68.试求曲线在它与直线的交点处的切线方程和法线方程.69.求曲线在点处的切线方程和法线方程.70.确定，之值，使曲线与直线相切于点.71.设曲线与都通过点，且在点有公共切线，求，的值.*72.设函数可导，且，证明曲线与曲线在交点处相切.73.设，求.74.设，求.75.设在处可导，求.*76.证明：(1)可导的偶函数的导数是奇函数；(2)可导的奇函数的导数是偶函数；(3)可导的周期函数的导函数是具有相同周期的周期函数.77.设函数，证明：在处右连续，但右导数不存在.78.函数在点
8、处是否可导？为什么？79.讨论函数在点处的可导性.80.在点处的导数是否存在？81.设，讨论在处的连续性与可导性.82.设函数 ，试问在处是否可导？ 83.讨论函数 在处的连续性与可导性.84.设，试确定，的值，使在处可导，并求.*85.设 ，求，.*86.设 ，又在处可导，求.*87.设函数在处连续，且，求.88.求下列函数的导数： (1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12)(13) (14)(15) (16)(17) (18)(19) (20)(21) (22)(23) (24) (25) (26)*(27)(28) (29)(30) (31
9、)(32) (33)(34)89.求下列隐函数的导数（其中，为常数）：(1) (2)(3) (4)(5)90.方程确定是的函数，求.91.方程确定y是x的函数，求.92.求下列函数的导数：(1) (2)(3) (4)93.已知，求.94.求下列函数的二阶导数：(1) (2)(3) (4)(5) (6)95.求下列函数的二阶导数（其中函数二阶可导）：(1) (2) (3) (4)(5) 96.设函数由方程确定，求.97.设函数，当时，求.98.求下列函数的微分：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7)99.求函数当由变到的微分.100.求由，复合而成的复合函数的微分.101.正方体的棱长
10、米，如果棱长增加0.01米，求此正立方体体积增加的精确值与近似值.102.证明当很小时，下列各近似公式成立：四、中值定理导数的应用103.证明：，. 104.证明：，其中0a1.105.设在内具有二阶导数，又. 证明在内至少存在一点，使.106.求极限：(1) (2)(3)（为任何实数）(4) (5)(6) (7)(8) (9)(10) (11)(12) (13)(14) （为正整数，）(15) (16)(17) (18)(19) (20)(21) (22)(23) (24)(25) (26)(27) (28)(29) (30)(31) (32)(33) (34)(35) (36)(37) (
11、38)*(39) *(40)*(41) *(42)*(43) *(44)107.证明函数在区间上单调增加，而在区间上单调减少.108.求下列函数的单调区间：(1) (2)(3) (4)109.证明不等式：(1) (2)(3) (4) (5) (6) ， .110.求下列函数的极值：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)111.试问为何值时，函数在处具有极值？它是极大值还是极小值？并求此极值.112.求下列函数在所给区间的最大值与最小值：(1) (2) (3)113.求函数的单调区间，并求该函数在区间上的最大值与最小值.114.试证方程只有一个正实根.115.讨
12、论方程有几个实根.116.欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法所用材料最省？117.欲用围墙围成面积为216平方米的一块矩形土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大的尺寸，才能使所用建筑材料最省？118.欲做一个容积为300立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造价的2倍. 问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低？五、不定积分119.求下列不定积分：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12)(13) (14)120.求下列不定积分：(1) (2) (3)121.设，求.122.已知
13、一个函数的导函数为，并当时，这个函数值等于，求这个函数.123.已知曲线上任一点的切线的斜率为，且时，是极大值，求和的极小值.124.已知的图形过点，的图形是过点且不平行于坐标轴的直线，2是的极值，求.125.求下列不定积分：(1) (2) (3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10) (11) (12)(13) (14)(15) (16)(17) (18)(19) (20)(21) (22)(23) (24) (25) (26)(27) (28)(29) (30)(31) (32)(33) (34)(35) (36) 126.求下列不定积分：(1) (2)(3) (4)(5)
14、(6)(7) (8)(9) (10)(11) (12)(13)127.求下列不定积分：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)(11) (12)(13) (14)(15) (16)(17) (18)(19) (20)(21) (22)*(23)128.设的原函数为，求.129.设，求.130.求下列不定积分：(1) (2)(3) *(4)*(5) *(6)六、定积分131.不计算积分的值，比较各对积分中哪一个较大：(1)与 (2)与(3)与 (4)与(5)与*132.估计下列积分的值：(1) (2) (3)*133.证明下列不等式：(1) (2)134.求下列函
15、数的导数：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)*135.设是连续函数，且，求.136.设 ，其中有连续的导数且. 研究：(1)在处的连续性；(2)在处的可导性.*137.设 ，讨论函数在处的连续性与可导性.*138.试求由所确定的隐函数对于的导数.*139.设，求.140.求下列极限：(1) (2) 141.判断函数在区间上的单调性.142.求函数的极值.143.求函数在上的最大值与最小值.*144.设函数在内可微，且，试求.145.求下列定积分：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8) (9) (10)(11)146.设在上连续，试证 .147.证明，其中
16、为连续函数.148.证明.149.证明.150.求下列定积分：(1) (2) (3) (4)(5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)151.已知，求.152.求下列定积分：(1) (2) (3) (4) (5) (6)(7) (8)(9) (10)153.已知常数，且，求的值.*154.设，求.155.求下列各题中平面图形的面积：(1)曲线与轴所围成的图形.(2)曲线在区间0，1上的曲边梯形.(3)曲线与所围成的图形.(4)曲线与直线、所围成的图形.(5)在区间上，曲线与直线所围成的图形.(6)曲线与直线所围成的图形.(7)曲线与直线所围成的图形.156.求由抛物线
17、，横轴及直线所围成的图形的面积.157.求由曲线，横轴及直线所围成的图形的面积.158.求由曲线，纵轴与直线，(ba0)所围成的图形的面积.159.求由抛物线与横轴所围成的图形的面积.160.抛物线分割圆成两部分，分别求出这两部分的面积.161.求下列平面图形分别绕轴、轴旋转产生的立体的体积：(1)曲线与直线所围成的图形.(2)在区间上，曲线与直线所围成的图形.(3)曲线与直线所围成的图形.(4)曲线与所围成的两个图形中较小的一块.162.求曲线与直线，及所围成的图形绕轴旋转所成旋转体的体积.163.设平面图形由，所围成，(1)求此平面图形的面积；(2)求此平面图形绕轴旋转所形成的旋转体的体积.164.证明圆锥体的体积为其底面积与高的乘积的三分之一.165.求下列广义积分：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)(9) (10) (11) 166.计算与直线之间位于第一象限内的平面图形绕轴旋转产生的旋转体的体积.