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1、大学文科高等数学习题一、极限1.根据极限定义证实：(1)0n1lim2n=(2)11nnlimn=+(3)231n21n3limn=-+(4)11nn5nnlim22n=-+-(5)1nanlim22n=+(6)1a(1alimn1n=2.根据极限定义证实：11n1nun+-=.问n应从何值开场，使4n10u1-2xsina2，求a的值.11.求极限：(1)232x)2x(2xlim+-(2)4x5x3x2lim21x+-(3)1xx1x3lim21x-+-(4)xxsinlimx(5)x1sinxlim0x(6)xxarctanlimx(7)xcosx2xcosxlimx-+12.求极限：(
2、1)1xx21xlim22x-(2)3x5x1xlim43x+-(3)?+-1x2x1x2xlim223x(4)332x1x3xlim+-+(5)1n1nnnn3232lim+(6)?-+2n2nn321limn(7)nnn31913112141211lim+(8)()1n(21n21limn-+-+(9)?+-+?+?+?)1n2)(1n2(1751531311limn(10)xx1x2xlim321x-+-(11)?-x11x13lim31x(12)Nn(1x1xlimn1x+-(13)x2x3xx2x4lim2230x+-(14)4x5x8x6xlim224x+-+-(15)xcot)x
3、cos1(lim20x-(16)1xx1x3lim21x-+-(17)220xx11xlim+- (18)xx1x1limx-+(19)()xxxlim2x-+(20)()x1xxlim2x-+(21)()1x1xlim22x-+(22)()xxxxlim22x-+(23)1x1xlim31x-(24)38xx23x1lim+-(25)1x11x1lim30x-+-+*13.若0bax1x1xlim2x=?-+，求a，b的值.*14.求下列极限：(1)?+222n)n2(1)1n(1n1lim(2)?+nn12n11n1lim222n(3)?+nnnn2nn21nn1lim222n*15.利用
4、极限存在准则证实：(1)1n11limn=+(2)1nn12n1n1nlim222n=?+*16.利用极限存在准则证实数列2，22+，222+，的极限存在，并求出该极限.17.求下列极限：(1)xsinx1sinxlim20x?(2)?3xsinxlim220x (3)x5sinx2tanlim0x(4)x3cotxlim0x?(5)xsinxcos1lim20x-(6)x3xarcsin2lim0x(7)xcos1xlim0x-+(8)nnn2xsin2lim(9)xsinxsinxtanlim30x-(10)?+x2sin3x55x3lim2x(11)xsinx1x1limx-+(12)x
5、xx11lim?-(13)x20x)x1(lim-(14)x21x)x31(lim-(15)xxx11lim?-+(16)xxx1xlim?+(17)x2xx21lim?+(18)12xxx21lim-?-(19)x20x2x2lim?-(20)xx1x1xlim?+-(21)1xxaxaxlim+?-+(22)1xx1x23x2lim+?+(23)x22x1xxlim?-(24)xsec32x)xcos1(lim+(25)()x10xxsin1lim+(26)xcot20x2)xtan31(lim+18.已知4axaxlimxx=?-+，求常数a.*19.求下列极限：(1)503020x)1
6、x5()2x3()3x2(lim+-(2)xcos1(xxcos1lim0x-+ (3)333limn(n重根号)(4)()x3xxxx532lim+(5)=+n1knk211lim(6)2x3x3x663xlim-?-+(7)ex1xlnlimex-(8)0a(x1alimx0x-(9)x111xxlim-(10)-+x212x)xcos1(lim二、连续函数20.设函数1t)t(3+=?，求)t(2?，2)t(?.21.设x1x1)x(f+-=，求)x(f-，)x1(f-，?x1f.22.设1xx)x(f-=，求)1x(f-，?-1xxf.23.设?=1.x,01x,1)x(f，求)x(f
7、f.25.设?30.证实任一定义在区间)a,a(-)0a(上的函数可表示为一个奇函数与一个偶函数之和.31.求下列各函数的定义域：(1)2xx11y2+-=(2)21xarcsiny-=(3)1x)x3lg(y-= (4)4xx5lgy2-=(5)2x)x1lg(1y+-= (6)xsinx16y2+-=(7)xx2ln(xx1y22-+-=32.求函数2x1x2arccosy+=的定义域与值域.33.求下列函数的反函数：(1)122yxx+=(2)110101010yxxxx+-+=-(3)1e1eyxx+-=(4)5x23y+=(5)2xlg(1y+=(6)x411x411y+-=34.已
8、知xsin)x(f=，2x1)x(f-=?，求)x(?及其定义域.35.设函数)x(f的定义域为0,1-，求下列各函数的定义域：(1)x(f3(2)x2(sinf(3)ax(f)ax(f-+)0a(36.设一矩形面积为A，是将周长s表示为宽x的函数，并求其定义域.37.在半径为r的球内嵌入一圆柱，试将圆柱的体积表示为其高的函数，并确定此函数的定义域.38.用铁皮做一个容积为V的圆柱形罐头筒，试将它的全面积表示成底半径的函数，并确定此函数的定义域.39.拟建一个容积为V的长方体水池，设它的底为正方形，假如池底所用材料单位面积的造价是四周单位面积造价的2倍，试将总造价表示成底边长的函数，并确定此函
9、数的定义域.40.设生产与销售某产品的总效益R是产量x的二次函数，经统计得知：当产量0x=、2、4时，总效益0R=、6、8，试确定总效益R与产量x的函数关系.41.某商品供应量Q对价格p的函数关系为pcba)p(QQ?+=今知当2p=时30Q=；3p=时50Q=；4p=时90Q=.求供应量9Q=对价格p的函数关系.42.某化肥厂生产某产品1000吨，每吨定价为130元，销售量在700吨以内时，按原价出售，超过700吨时超过的部分需打9折出售，试将销售总收益与总销售量的函数关系用数学表达式表出.43.在区间2x0上有3克重的物质均匀分布着.此外又有1克重的物质集中在3x=处.设x在),(+-内变
10、化，试将区间)x,(-一段的质量M表为x的函数.44.求函数x21xy2+-=当1x=，5.0x=?时的增量.45.求函数x1y+=当3x=，2.0x-=?时的增量.46.若x2cos)x(f=，求x)x(f)xx(flimx?-?+?.47.下列函数)x(f在0x=处能否连续？为什么？(1)?=x,1x,xxsin)x(f(2)?=x,0x,x1sinx)x(f2 (3)?=0x,xxsin0x,e)x(fx48.讨论函数?+=0x,xa0x,x1sinx)x(f2，要使)x(f在),(+-内连续，应当如何选择a？51.求极限：(1)1x5x2xlim221x+(2)221xx11xlim+
11、-(3)x1arcsin(xcoselim2x0x+?(4)x)x1ln(lim0x+(5)x)x1ln(lim0x+(6)x1ln()xcos1(x1cosxxsin3lim20x+52.求证：当0x时，xsinsin)x1ln(+.53.求函数322x3x1)x(f+-=的连续区间，并求)x(flim0x.*54.若43xkx2xlim23x=-+-，求k的值.*55.若5x1baxxlim21x=-+，求a，b的值.56.根据连续函数的性质，验证方程1x3x5=-至少有一个根介于1和2之间.57.证实方程01xxsin=+在开区间?-2,2内至少有一个根.58.试证方程12xx=?至少有
12、一个小于1的正根.59.试证方程bxsinax+=，其中0b,0a，至少有一个正根，并且它不超过ab+.60.证实方程03xx3x23=+-在区间)4,2(,)2,0(,)0,2(-内各有一个实根.61.证实曲线10x7x3xy24-+-=在1x=与2x=值之间至少与x轴有一个交点.*62.若函数)x(f在闭区间b,a上连续，a)a(f.证实：至少有一点)b,a(，使得=)(f.三、导数与微分63.根据导数定义，求下列函数的导数：(1)1x3xy2-+=(2)1x3sin(y+=64.一物体的运动方程为10ts3+=，求该物体在3t=时的瞬时速度.65.求在抛物线2xy=上点3x=处的切线方程
13、.66.求曲线3x3)1x(y-?+=在点)0,1(A-处的切线方程.67.曲线1eyx+=上哪一点处的切线与直线01yx2=+-平行？68.试求曲线2xy+-=在它与直线xy=的交点处的切线方程和法线方程.69.求曲线53)1x2()2y5(+=+在点?-51,0处的切线方程和法线方程.70.确定a，b之值，使曲线baxxy2+=与直线x2y=相切于点)4,2(.71.设曲线axx)x(f3+=与cbx)x(g2+=都通过点)0,1(-，且在点)0,1(-有公共切线，求a，b，c的值.*72.设函数)x(f可导，且0)x(f，证实曲线)x(fy1=与曲线xsin)x(fy2=在交点处相切.7
14、3.设3)x(f0-=，求x)x3x(f)xx(flim000x?-?+?.74.设2)3(f=，求h2)3(f)h3(flim0h-.75.设)x(f在ax=处可导，求h)mha(f)nha(flim0h-+.*76.证实：(1)可导的偶函数的导数是奇函数；(2)可导的奇函数的导数是偶函数；(3)可导的周期函数的导函数是具有一样周期的周期函数.77.设函数1x1x)x(f+=，证明：)x(f在0x=处右连续，但右导数不存在.78.函数?-84.设?+=0x,axsin0x,be)x(fx，试确定a，b的值，使)x(f在0x=处可导，并求)0(f.*85.设?=0x,00x,xsinx1)x(
15、f2，求)0(f，?2f.*86.设?=0x,00x,x1cosx)x(g2，又)x(f在0x=处可导，求0x)x(gfdxd=.*87.设函数)x(f在1x=处连续，且21x)x(flim1x=-，求)1(f.88.求下列函数的导数：(1)xx1y3-=(2)()?-+=1x11xy(3)22x51)x32(y+=(4)2x1xy-= (5)x1x1y-+= (6)xlogya=(7)xlnxlny+=(8)xx1xlny2-+=(9)x1x1lny-+=(10)xtanln5y=(11)xcoseyx-=(12)2xarcsiny=(13)xarcsiny=(14)x1cotarcy=(15)2x1x2arctany-=(16)2x1xarccosy-= (17)22xarcsiny?=(18)xsiney2x?=(19)x21ln(cosy+=