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1、-含30度角的直角三角形的性质-第 7 页含角的直角三角形的性质教学目标：经历猜测、验证的过程，理解含锐角直角三角形的性质。学会应用含锐角直角三角形的性质解决线段之间倍半关系的问题。教学重点：含角的直角三角形的性质的发现与应用教学难点：含角的直角三角形性质的探索与证明；引导学生全面、周到地思考问题。 教学方法：探索发现法教学工具：两个全等的含角的三角尺；圆规教学过程：一、回顾与思考1等边三角形有哪些性质？如何判定一个三角形是等边三角形？2问题情境：为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌.现测得钭坡与水平面所成的角的度数是30,为
2、使出水口的高度为35m,那么需要准备多长的水管?这个问题实际上可以归结为:在ABC中,C=90,A=30,BC=35m，求AB(如图1)。这个问题解决的关键是寻找: 之间的关系。二、自主探究：活动1我们学习过直角三角形，直角三角形的角之间都有什么数量关系？今天，我们先来看一个特殊的直角三角形，看它的边具有什么性质用你的30角的直角三角尺，把斜边和30角所对的直角边量一量，你有什么发现？活动2请同学们准备好两个全等的含角的直角三角形，把相等的边拼在一起组成平面图形，有几种拼法？探究：在这些图形中，轴对称图形有 个，其中三角形有 个，各是一个怎样的三角形？说说你的理由。活动3我们仅凭实际操作得出的
3、结论还需证明吗?在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所角所对的直角边等于斜边的一半。其条件和结论分别是什么？如何用数学符号来表达？如何证明？已知：如图，在RtABC中，C=90BAC=30 求证：BC=1/2AB证明：在ABC中，ACB=90，BAC=30，则B=60。延长BC至D，使CD=BC，连接AD(如下图)ACB=90， ACD=90AC=AC， ABCADC(SAS) AB=AD(全等三角形的对应边相等)ABD是等边三角形(有一个角是60的等腰三角形是等边三角形) BC=BD=AB该性质适用范围是什么？运用该性质可求什么？三、含300角的直角三角形的性质：定理：在直角三角形
4、中，如果有一个锐角等于30，那么它所角所对的直角边等于斜边的一半。注：定理满足的条件：直角三角形；有一个锐角等于30；数学语言：； 线，则。作用：计算和证明线段的倍分。证明的方法：倍分法。 逆命题成立吗？在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30，（请同学们课后验证）逆定理：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的角等于30注：数学语言：四、例题评讲：例1、如图，ABC中，ACB=90，A=30CDAB，AB=4，则BC= ，BCD= ，BD= 例2、如图1，ABC=30，ACBC，AB=4cm，（1） 求AC的长，如图2，若D是AB
5、中点，连结DC，求DC的长（2） 如图3，若D是AB中点，DEBC，求DE的长如图1 如图2 如图3例3、如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC、DE垂直于横梁AC，AB=7.4 m，A=30，立柱BC、DE要多长？分析：观察图形可以发现在RtAED与RtACB中，由于A=30，所以DE=1/2AD，BC=AB，又由D是AB的中点，所以DE=AB解：DEAC，BCAC，A=30，BC=AB，DE=AD， BC=74=37(m)又AD=AB， DE=AD=37=185(m) 答：立柱BC的长是37 m，DE的长是185 m追问：（1）若D变成AB上使CDAB于D的点，其它条件不
6、变，如图a，你能分解出30角的直角三角形吗？求出那些线段的长？（2）如图a，BD与AB有何数量关系，此结论与AB的长度有关吗？（课后讨论）五、习题选练：下列结论正确的是（ ）在直角三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所所对的直角边等于另一直角边的一半在一个三角形中，如果有一个锐角等于30，那么它所角所对的直角边等于斜边的一半在直角三角形中，30角所对的直角边等于斜边的一半在一个直角三角形中，直角三角形的斜边是最小的直角边的2倍A（1）、（2） B（3）、（4） C（1）、（3） D（2）、（4）填空：RtACB中，C=90，A=30，BC=（ ）RtABC中，C=90，B=2A，B和A各是
7、多少度?边AB与BC之间有什么关系?小明沿倾斜角为30的山坡从山脚步行到山顶，共走了200m，求山的高度已知：如图，在等腰ABC中，AB=AC，BAC=120，D为BC中点，DEAB与E，求证：AE=AB已知直角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线线把对边分成两条线段，求证：其中一条是另一条的2倍已知：在RtABC, A=90,ABC=2C,BD是ABC的平分线求证：CD=2AD三角形的三个角的度数之比为1:2:3，它的最大边长等于16cm，求最小边的长。如图，ABC中，ACB=90，CD是高，A=30，求证BD=AB如图，在ABC中，BA=BC，B=120，AB的垂直平分线MN交AC于D，DC=6cm，求AC的长.如图，已知ABC中，AB=AC，C=30，ABAD，AD=2cm求BC的长如图，已知RtABC中，A=30，ACB=90，BD平分ABC，求证：AD=2DC 已知：如图，在ABC中，AB=AC=2a，ABC=ACB=15，CD是腰AB上的高。求：CD的长